Fluent是一款强大的通用CFD软件，其涵盖了流体仿真的诸多方面，涉及的理论极为庞杂。Fluent 2024R2版本的Theory Guide一共有1148页，翻译全文是一件非常耗时的工程。借助于人工智能机器翻译，这项工作才得以实现。

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本次翻译基于Fluent 2024R2版本。

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注意：本版本译文为初版，内部可能包含有大量排版、公式以及翻译上的错误，请对照原版查看。对质量有需求的道友可等待润色版，预计第二版在国庆前发布。

本章介绍了Ansys Fluent提供的用于流体流动的一些基本物理模型的理论背景。

本章中的信息分为以下几个部分：

• 1.1 Fluent中的物理模型概述
• 1.2 连续方程与动量方程
• 1.3 用户自定义标量方程
• 1.4 周期性流动
• 1.5 旋流与旋转流动
• 1.6 可压缩流动
• 1.7 无粘流动

Fluent提供全面的模拟功能，适用于各种不可压缩和可压缩流体、层流和湍流的流动问题。它支持稳态或瞬态分析，并将广泛应用于传输现象（如热传递和化学反应）的数学模型与复杂几何形状的模拟能力相结合。Fluent的应用实例包括过程设备中的层流非牛顿流体流动、透平机械和汽车发动机部件中的共轭传热、锅炉中的粉煤燃烧、外部空气动力学分析、通过压缩机、泵和风扇的流动，以及泡罩塔和流化床中的多相流动。

为了模拟工业设备和过程中的流体流动及相关传输现象，Fluent提供了一系列实用功能。这些功能涵盖多孔介质、集总参数（如风扇和换热器）、周期性流动与传热、旋转流动以及运动参考系模型等。运动参考系模型系列支持模拟单个或多个参考系。此外，Fluent还提供了时间精确的滑移网格方法，适用于涡轮机械等多级建模应用，并结合混合平面模型计算时间平均流场。

在Fluent软件中，自由表面和多相流模型是非常实用的工具。这些模型适用于分析气-液、气-固、液-固以及气-液-固的流动情况。针对此类问题，Fluent提供了体积分数法（VOF）、Mixture模型和欧拉模型，以及离散相模型（DPM）。DPM通过拉格朗日轨迹计算来处理分散相（如颗粒、液滴或气泡）的运动，并考虑与连续相的相互作用。多相流的典型应用包括明渠流动、喷雾、沉降、分离和空化等。

此外，Fluent能够模拟多种热传递模式，涵盖自然对流、强制对流和混合对流等多种情况，包括涉及共轭传热和多孔介质等领域。其辐射模型的通用性较强，能有效应对燃烧过程中的复杂性问题。Fluent的一个显著特点是它能够利用多种模型来模拟燃烧现象，如涡耗散模型和概率密度函数模型等。同时，还有许多其他适用于反应流动的实用模型可供选择，包括煤和液滴燃烧模拟、表面反应机理以及污染物形成预测等。

对于所有流动，Fluent 求解动量守恒方程以确保质量的守恒。涉及热传递或可压缩性的流动，还需额外求解能量守恒方程。涉及组分混合或反应的流动，则求解组分守恒方程；若采用非预混燃烧模型，则求解混合分数及其方差的守恒方程。当流动为湍流时，还需要求解额外的湍流输运方程。

在本节中，我们将介绍在惯性（非加速）参考系下层流流动的守恒方程。适用于运动参考系的方程将在《运动参考系中的流动》（第19页）中呈现。与热传递、湍流建模和组分传输相关的守恒方程将在描述这些模型的章节中进行讨论。

针对无粘流动求解的欧拉方程在《无粘流动》（第15页）中有所阐述。

1.2.1 质量守恒方程

质量守恒方程，又称连续性方程，可以表述如下：

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \left(\rho \vec{v}\right)=S_m\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

方程1.1为质量守恒方程的一般形式，其适用于不可压缩流体和可压缩流体。源项$S_m$表示从分散的次相加入连续相的质量（例如，由于液滴蒸发）以及任何用户定义的源项。

对于二维轴对称几何模型，连续方程可表示为：

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}\left(\rho v_x\right)+\frac{\partial }{\partial r}\left(\rho v_r\right)+\frac{\rho v_r}{r}=S_m\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

式中$x$ 为轴向坐标，$r$ 为径向坐标，$v_x$ 为轴向速度，而 $v_r$ 为径向速度。

1.2.2 动量守恒方程

在惯性（非加速）参考系中，动量守恒由 [47]描述。

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho \vec{v}\right)+\nabla \cdot \left(\rho \vec{v}\vec{v}\right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left(\overline{\overline{\tau }}\right)+\rho \vec{g}+\vec{F}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

其中，$p$ 为静压，$\overline{\bar{\tau }}$ 为应力张量（如下所述），而 $\rho \vec{g}$ 和 $\vec{F}$ 分别代表重力体积力和外部体积力（例如由与分散相相互作用产生的力）。$\vec{F}$ 还包含其他模型依赖的源项，如多孔介质和用户定义的源项。

应力张量 $\overline{\bar{\tau }}$ 由以下式给出：

$$\overline{\overline{\tau }}=\mu \left[\left(\nabla \vec{v}+\nabla {\vec{v}}^T\right)-\frac{2}{3}\nabla \cdot \vec{v}I\right]\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

其中，$\mu$ 为分子粘度，$I$ 为单位张量，右侧第二项代表体积膨胀效应。

对于二维轴对称几何形状，轴向和径向的动量守恒方程分别为

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho v_x\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial x}\left(r\rho v_x{v}_x\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\rho v_r{v}_x\right)& =-\frac{\partial p}{\partial x}\\ & +\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial x}\left[r\mu \right[2\frac{\partial v_x}{\partial x}-\frac{2}{3}(\nabla \cdot \vec{v})\left]\right]\\ & +\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left[r\mu \right[\frac{\partial v_x}{\partial r}+\frac{\partial v_r}{\partial x}\left]\right]+F_x\end{array}\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

及

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho v_r\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial x}\left(r\rho v_x{v}_r\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\rho v_r{v}_r\right).& =-\frac{\partial p}{\partial r}\\ & +\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial x}\left[r\mu \left(\frac{\partial v_r}{\partial x}+\frac{\partial v_x}{\partial r}\right)\right]\\ & +\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left[r\mu [2\frac{\partial v_r}{\partial r}-\frac{2}{3}(\nabla \cdot \vec{v})]\right]\\ & -2\mu \frac{v_r}{r^2}+\frac{2}{3}\frac{\mu }{r}\left(\nabla \cdot \vec{v}\right)+\rho \frac{v_z^2}{r}+F_r\end{array}\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

式中

$$\nabla \cdot \vec{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_r}{\partial r}+\frac{v_r}{r}\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

其中，$v_z$ 为旋转速度。（有关轴对称旋流的建模信息，请参阅《旋流与旋转流动》第9页。）

Fluent能够以求解物质质量分数等标量传输方程的方式，处理用户自定义标量（UDS）的传输方程。在某些燃烧应用或例如等离子增强表面反应模拟中，可能需要额外的标量传输方程。

本节提供如何指定用户自定义标量（UDS）传输方程以增强Fluent标准功能的信息。通过User Defined Scalar对话框，Fluent允许在模型中定义额外的标量传输方程。关于在Fluent中设置用户自定义标量传输方程的更多信息，请参阅《用户指南》中的“用户自定义标量（UDS）传输方程”部分。

1.3.1 单相流

对于任意标量 ${\varphi }_{k^{\prime }}$，Fluent 求解方程：

$$\frac{\partial \rho {\varphi }_k}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho u_i{\varphi }_k-{\Gamma }_k\frac{\partial {\varphi }_k}{\partial x_i}\right)=S_{{\varphi }_k},k=1,\dots ,N\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

其中，${\Gamma }_k$ 和 $S_{{\varphi }_k}$ 分别为您为 $N$ 个标量方程提供的扩散系数和源项。注意，在各向异性扩散的情况下，${\Gamma }_k$ 被定义为一个张量。因此，扩散项表示为 $\nabla \cdot \left({\Gamma }_k\cdot {\varphi }_k\right)$。

对于各向同性扩散情况，${\Gamma }_k$ 可以写成 ${\Gamma }_{k}I$，其中 I 是单位矩阵。

对于稳态情况，Fluent会根据计算对流流量所采用的方法，解决以下三种方程之一：

• 如果不需要计算对流通量，Fluent将解下面的方程

$$-\frac{\partial }{\partial x_i}\left({\Gamma }_k\frac{\partial {\varphi }_k}{\partial x_i}\right)=S_{{\varphi }_k},k=1,\dots ,N\text{\hspace{1em}(1.9)}$$

其中，${\Gamma }_k$ 和 $S_{{\varphi }_k}$ 分别是您为每个标量方程提供的扩散系数和源项。

• 如果使用质量流率计算对流通量，Fluent将求解该方程

$$\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho u_i{\varphi }_k-{\Gamma }_k\frac{\partial {\varphi }_k}{\partial x_i}\right)=S_{{\varphi }_k},k=1,\dots ,N\text{\hspace{1em}(1.10)}$$

也可以指定一个用户定义的函数，用于计算对流通量。在这种情况下，假设用户定义的质量通量形式为

$$F={\int }_S\rho \vec{u}\cdot d\vec{S}\text{\hspace{1em}(1.11)}$$

其中，$d\vec{S}$ 为网格面的面积向量。

1.3.2 多相流

对于多相流，Fluent 求解两种标量的输运方程：各分相和混合相。对于任意一个在主相中的 $k$ 标量，记作 ${\varphi }_l^k$，Fluent 会在第I相所占据的体积内求解其输运方程：

$$\frac{\partial {\alpha }_l{\rho }_l{\varphi }_l^k}{\partial t}+\nabla \cdot \left({\alpha }_l{\rho }_l{\vec{u}}_l{\varphi }_l^k-{\alpha }_l{\Gamma }_l^k\nabla {\varphi }_l^k\right)=S_l^k,k=1,\dots ,N\text{\hspace{1em}(1.12)}$$

其中，${\alpha }_l$、${\rho }_l$ 和 ${\vec{u}}_l$ 分别表示$l$相的体积分数、密度及速度。${\Gamma }_l^k$ 和 $S_l^k$ 分别为扩散系数和源项，需要用户指定。在此情况下，标量 ${\varphi }_l^k$ 仅与一个相（即相 $l$）相关联，并被视为$l$相的一个独立场变量。

$l$相的质量通量定义为

$$F_l={\int }_S{\alpha }_l{\rho }_l{\vec{u}}_l\cdot d\vec{S}\text{\hspace{1em}(1.13)}$$

若由标量 ${\varphi }_l^k$ 描述的传输变量代表相间共享或各相视为相同的物理场，则应将此标量视为与混合相相关联，记作 ${\varphi }^k$。在此情况下，该标量的通用传输方程为

$$\frac{\partial {\rho }_m{\varphi }^k}{\partial t}+\nabla \cdot \left({\rho }_m{\vec{u}}_m{\varphi }^k-{\Gamma }_m^k\nabla {\varphi }^k\right)=S^{k_m}k=1,\dots ,N\text{\hspace{1em}(1.14)}$$

混合相密度 ${\rho }_m$、速度 ${\vec{u}}_m$ 以及标量 $k$ 的混合扩散率 ${\Gamma }_m^k$ 根据公式计算得到：

$${\rho }_m=\sum _l{\alpha }_l{\rho }_l\text{\hspace{1em}(1.15)}$$

$${\rho }_m{\vec{u}}_m=\sum _l{\alpha }_l{\rho }_l{\vec{u}}_l\text{\hspace{1em}(1.16)}$$

$$F_m={\int }_S{\rho }_m{\vec{u}}_m\cdot d\vec{S}\text{\hspace{1em}(1.17)}$$

$${\Gamma }_m^k=\sum _l{\alpha }_l{\Gamma }_l^k\text{\hspace{1em}(1.18)}$$

$$S_m^k=\sum _l{S}_l^k\text{\hspace{1em}(1.19)}$$

要计算混合相的扩散系数，需要为每个材料关联的各相指定单独的扩散系数。

注意，如果启用了用户定义的质量通量选项，那么在相应的标量输运方程中，需要替换式1.13和式1.17中显示的质量通量。

当感兴趣的物理几何形状和预期的流动/热分布模式具有周期性重复的特性时，就会发生周期性流动。在Fluent中可以模拟两种类型的周期性流动：

1. 周期面之间没有压力降
2. 平移周期边界之间存在压力降，从而形成完全发展或流向周期的流动。

本节讨论流向周期的流动情况。无压力降的周期性流动描述见Fluent用户指南中的Periodic Boundary Conditions部分，而流向周期的传热描述见Fluent用户指南中的Modeling Periodic Heat Transfer部分。有关在Fluent中设置周期性流动的更多信息，请参阅Fluent用户指南中的Periodic Flows章节。

1.4.1 概述

Fluent具备计算流向周期性（或称“完全发展”）流体流动的能力。这类流动在多种应用中都会遇到，包括紧凑型换热器通道内的流动和管束间的流动。在这些流动问题中，几何形状沿流动方向以重复方式变化，导致形成周期性的完全发展流动状态，其中流型在连续循环中重复出现。其他流向周期性流动的例子还包括管道和风道中的完全发展流动。这些周期性条件是在经过足够的入口长度后达到的，该长度取决于流动的雷诺数和几何配置。

当流场在某一长度$L$​上重复出现，并且在沿流动方向的每个重复模块中存在恒定的压降时，就形成了流向周期性流动条件。图1.1展示了一个二维换热器几何结构中的周期性流动示例，该示例通过包含一个代表性模块进行了建模。

1.4.2 局限性

关于模拟顺流向周期性流动时适用的限制列表，请参阅《Fluent用户指南》中的“模拟顺流向周期性流动的限制”；如果在该模拟中包含传热模型，另请参阅《Fluent用户指南》中的“周期性传热预测的约束条件”。

1.4.3 周期性流动的物理特性

1.4.3.1 周期速度的定义

周期性假设意味着速度分量在空间上如下重复自身：

$$\begin{array}{c}u\left(\vec{r}\right)=u\left(\vec{r}+\vec{L}\right)=u\left(\vec{r}+2\vec{L}\right)=\cdots \\ v\left(\vec{r}\right)=v(\vec{r}+\vec{L})=v(\vec{r}+2\vec{L})=\cdots \\ w\left(\vec{r}\right)=w\left(\vec{r}+\vec{L}\right)=w\left(\vec{r}+2\vec{L}\right)=\cdots \end{array}\text{\hspace{1em}(1.20)}$$

其中，$\vec{r}$ 为位置向量，而 $\vec{L}$ 则是所考虑区域的周期长度向量（参见图1.2）。

1.4.3.2 流向周期性压力的定义

对于粘性流动，压力并非如公式1.20所述那样具有周期性。相反，模块间的压降是周期性的：

$$\Delta p=p\left(\vec{r}\right)-p\left(\vec{r}+\vec{L}\right)=p\left(\vec{r}+\vec{L}\right)-p\left(\vec{r}+2\vec{L}\right)=\cdots \text{\hspace{1em}(1.21)}$$

若采用密度基求解器，$\Delta p$ 设定为恒定值。对于压力基求解器，局部压力梯度可分解为两部分：周期性分量的梯度 $\nabla \tilde{p}\left(\vec{r}\right)$ 和线性变化分量的梯度 $\beta \frac{\vec{L}}{|\vec{L}|}$。

$$\nabla p\left(\vec{r}\right)=\beta \frac{\vec{L}}{\left|\vec{L}\right|}+\nabla \tilde{p}\left(\vec{r}\right)\text{\hspace{1em}(1.22)}$$

其中，$\tilde{p}\left(\vec{r}\right)$ 为周期性压力，而 $\beta \left|\vec{r}\right|$ 则是压力的线性变化部分。周期性压力是在减去线性变化的压力后剩余的部分。压力的线性变化部分会导致作用在流体上的力出现在动量方程中。由于 $\beta$ 的值事先未知，必须通过迭代直至计算模型中达到所指定的质量流量率为止。这种对 $\beta$ 的修正发生在 SIMPLE、SIMPLEC 或 PISO 算法的压力校正步骤中，该步骤根据所需质量流量与实际质量流量之间的差异来更新 $\beta$ 值。用户可以控制用于更新 $\beta$ 的子迭代次数。关于在 Fluent 中设置 $\beta$ 参数的更多信息，请参阅《Fluent用户指南》中的“设置计算 $\beta$ 的参数”部分。

注意：由于顺流周期性流动是“完全发展的”，在收敛时产生的压力梯度仅包含其线性分量。因此，计算出的压力场并不代表实际的物理压力。

通过对式1.21进行积分，可以得到平移周期性流动的静压为：

$$p\left(\vec{r}\right)=p\left({\vec{r}}_{\text{ref }}\right)+\frac{\beta }{L}\vec{L}\cdot \left(\vec{r}-{\vec{r}}_{\text{ref }}\right)+\tilde{p}\left(\vec{r}\right)\text{\hspace{1em}(1.23)}$$

许多重要工程流体涉及旋流或旋转，而Fluent具备出色模拟此类流动的能力。旋流在燃烧过程中十分常见，通过在燃烧器和燃烧室内引入旋流，能延长停留时间并稳定流动模式。此外，旋转流动还广泛应用于涡轮机械、混合罐及其他多种场合。

开始分析旋转或旋流时，将问题归类为以下五种流动类型之一至关重要：

• 带有旋流或旋转的轴对称流动
• 完全三维的旋流或旋转流动
• 需要运动参考系的流动
• 需要多个运动参考系或混合平面的流动
• 需要滑移网格的流动

本节介绍了前两类模型的建模和求解过程。其余三类涉及“移动区域”的内容将在《带运动参考系的流动》中讨论。

1.5.1 旋流与旋转流动

1.5.1.1 带有旋流或旋转的轴对称流动

用户可以解决涉及预测周向或旋流速度的二维轴对称问题。根据轴对称的假设，流动中不存在周向梯度，但可能存在非零的周向速度。图1.3展示了一个涉及旋流或旋转的轴对称流动示例：腔体内的旋转流动；而图1.4（第10页）则展示了燃气燃烧器中的旋流情况。

问题可能在几何形状和流动条件上呈现对称性，但仍可能包含旋流或旋转。在这种情况下，可以在二维空间中模拟流动（即解决轴对称问题）并预测周向（或旋流）速度。需要注意的是，尽管轴对称假设意味着流动中不存在周向梯度，但仍可能存在非零的旋流速度。

1.5.1.1.1 旋流速度的动量守恒方程

对于二维旋流流动，切向动量方程可以写为

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho w\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial x}\left(r\rho uw\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\rho vw\right)& =\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial x}\left[r\mu \frac{\partial w}{\partial x}\right]\\ & +\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left[r^3\mu \frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{w}{r}\right)\right]-\rho \frac{vw}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}(1.24)}$$

其中，$x$ 为轴向坐标，$r$ 为径向坐标，$u$ 为轴向速度，$v$ 为径向速度，而 $w$ 为旋流速度。

1.5.1.2 三维旋流流动

在几何形状变化或周向流动梯度存在的情况下，预测旋流流动需采用三维模型。若打算构建包含旋流或旋转的3D Fluent模型，应熟悉相关的设置限制（详见《Fluent用户指南》中的坐标系限制部分）。此外，在建模初期考虑将问题简化为等效的轴对称问题可能更为有利。鉴于旋流流动的高度复杂性，通过二维研究快速评估不同模拟和设计方案的影响具有重要意义。

重要提示：对于涉及旋流或旋转的3D问题，在设置问题时无需特殊输入，也不需要特殊的求解步骤。但请注意，您可能希望使用柱坐标系来定义速度入口边界条件输入，如用户指南中“定义速度”部分所述。此外，在求解过程中逐步增加旋转速度（作为壁面或入口边界条件设定）可能会对稳定性有所帮助。更多详情，请参阅用户指南中的“通过逐渐增加旋转或旋流速度提高解的稳定性”章节。

1.5.1.3 涉及运动参考系的流动

若流场涉及穿过流体的旋转边界（例如，叶轮叶片或带有凹槽或缺口的表面），则需采用移动参考系来建模。此类应用在“移动参考系中的流动”一节中有详细描述。若存在多个旋转边界（例如，串联的多个叶轮），可使用多参考系模型（详见“多重参考系模型”一节，第24页）或混合面模型（详见“混合面模型”一节）。

1.5.2 旋流与旋转流动的物理学

在旋流中，角动量守恒（$rw$ 或 $r^2\Omega =$ 常数）倾向于形成自由涡流，其中周向速度 $w$ 随着半径 $r$ 的减小而急剧增加（最终在 $r=0$ 附近因粘性力开始占主导地位而衰减至零）。龙卷风就是自由涡流的一个例子。图1.5：自由涡流中的典型周向速度径向分布（第11页）展示了典型自由涡流中 $w$ 的径向分布情况。

可以证明，对于一个理想的自由涡流，由圆周运动产生的离心力与径向压力梯度处于平衡状态：

$$\frac{\partial p}{\partial r}=\frac{\rho w^2}{r}\text{\hspace{1em}(1.25)}$$

随着非理想涡旋中角动量分布的演变，这种径向压力梯度的形式也会发生变化，从而驱动径向和轴向流以响应由此产生的非常不均匀的压力。因此，当你在Fluent模型中计算漩涡分布时，你也会注意到静压分布的变化以及相应的轴向和径向流速变化。正是漩涡与压力场之间的高度耦合，使得旋流建模变得复杂。

在由壁面旋转驱动的流动中，壁面的运动倾向于给流体施加强迫涡流运动，其中 $w/r$ 或 $\Omega$ 为常数。这类流动的一个重要特征是具有高角动量（例如，靠近壁面的流动）的流体趋向于径向向外抛出（参见图1.6：腔体旋转流动的势函数等值线（第12页），使用图1.3：腔体旋转流动的几何形状（第10页））。这通常被称为“径向泵送”，因为旋转壁面正在将流体径向向外泵送。

在高速度气流和/或在压力变化较大的气流传动中会遇到可压缩性效应。当流动速度接近或超过气体音速时，或者当系统中的压力变化 $\left(\Delta p/p\right)$ 很大时，气体密度随压力的变化对流动速度、压力和温度有显著影响。可压缩流产生一组独特的流动物理现象，对于这部分描述的特殊输入要求和求解技术，你必须有所了解。图1.7：收敛-发散喷嘴中的跨音速流动（第13页）和图1.8：二维通道中隆起上方的马赫0.675流动（第13页）展示了使用Fluent计算的可压缩流例子。

有关在Fluent中设置可压缩流的更多信息，请参阅用户指南中的“可压缩流”部分。

1.6.1 何时使用可压缩流动模型

可压缩流动可通过马赫数的大小来表征：

$$M\equiv u/c\text{\hspace{1em}(1.26)}$$

式中$c$ 为气体中的声速：

$$c=\sqrt{\gamma RT}\text{\hspace{1em}(1.27)}$$

其中$\gamma$ 是比热容比，即 $\left(c_p/c_v\right)$。

式1.27适用于理想气体。在一般情况下，对于真实流体，声速根据等熵压缩率来定义：

$$c=1/\sqrt{{\left(\frac{\partial \rho }{\partial p}\right)}_s}\text{\hspace{1em}(1.28)}$$

其中，$\rho$ 为流体的密度，$p$ 为压力，下标 $s$ 为在恒定熵条件下密度 $\rho$ 对压力 $p$ 的偏导数。

当马赫数低于1.0时，流动被定义为亚音速。在马赫数远低于1.0（大约M < 0.1）的情况下，可压缩性效应可以忽略不计，气体密度的压力变化在流动中可以安全地忽略。随着马赫数接近1.0（这一区域被称为跨音速流动区），可压缩性效应变得重要。当马赫数超过1.0时，流动称为超音速，流场中可能包含激波和膨胀波等现象，这些都会显著影响流动模式。Fluent提供了广泛的适用于亚音速、跨音速和超音速的可压缩流体模拟能力。

1.6.2. 可压缩流体的物理特性

可压缩流动通常以总压 $p_0$ 和总温 $T_0$ 为特征。对于理想气体，这些物理量可以通过以下关系与静压和温度相关联：

$$\frac{p_0}{p}=\exp \left(\frac{{\int }_T^{T_0}\frac{C_p}{T}dT}{R}\right)\text{\hspace{1em}(1.29)}$$

当$C_p$为常数时，式1.29可简化为：

$$\frac{p_0}{p}={\left(1+\frac{\gamma -1}{2}{M}^2\right)}^{\gamma /\left(\gamma -1\right)}\text{\hspace{1em}(1.30)}$$

$$\frac{T_0}{T}=1+\frac{\gamma -1}{2}{M}^2\text{\hspace{1em}(1.31)}$$

这些关系描述了在等熵条件下，随着速度（马赫数）变化时流体静压和温度的变化情况。例如，给定从入口到出口（总压到静压）的压力比，可以使用式1.30来估算在一维等熵流动中存在的出口马赫数。对于空气，式1.30预测在等熵压力比$p/p_0$为0.5283时会出现临界流（马赫数为1.0）。这种临界流条件将在最小流通面积处（如喷管喉部）建立。在随后的面积扩张中，流动可能加速至超音速状态，压力继续下降；或者恢复到亚音速流动条件，减速并伴随着压力上升。如果超音速流动遇到外部施加的压力增加，将会发生激波现象，激波前后压力突然升高且速度骤减。

1.6.2.1 可压缩流动基本方程

可压缩流动由Fluent标准连续性方程和动量方程描述，并且无需启用任何特殊物理模型（除了以下详细说明的密度可压缩处理）。Fluent求解的能量方程正确地考虑了流速与静温度之间的耦合关系，因此在求解可压缩流动时应当启用。此外，如果使用压力基求解器，应启用方程5.1中的粘性耗散项，这些项在高马赫数流中需要考虑。

1.6.2.2 气体定律的可压缩形式

对于可压缩流，理想气体定律表示为：

$$\rho =\frac{p_{op}+p}{\frac{R}{M_w}T}\text{\hspace{1em}(1.32)}$$

其中，$p_{op}$ 为在Operating Conditons对话框中定义的操作压力，$p$ 为相对于操作压力的局部静压，$R$ 为通用气体常数， $M_w$ 为分子量。温度 $T$ 通过能量方程计算得出。

某些可压缩流问题涉及的流体并不表现为理想气体。例如，在极高压力条件下的流动通常不能用理想气体假设来准确模拟。这种情况应使用《用户指南》中描述的真实气体模型（Real Gas Models）来进行模拟。

无粘流动分析忽略了粘性对流动的影响，适用于高雷诺数应用场景，其中惯性力往往主导粘性力。一个适合进行无粘流计算的例子是对某些高速抛射体的空气动力学分析。在这种情形下，物体上的压力作用力将主导粘性作用力。因此，无粘分析能快速估算作用在物体上的主要作用力。在调整物体形状以最大化升力和最小化阻力后，可以进行粘性分析，以考虑流体粘性和湍流粘度对升力和阻力的影响。

另一个常规使用无粘流动分析的领域是为涉及复杂流动物理和/或复杂流动几何的问题提供良好的初始解。在这种情况下，虽然粘性力很重要，但在计算初期会忽略动量方程中的粘性项。一旦计算开始且残差下降后，可以通过启用层流或湍流来开启粘性项并继续求解直至收敛。对于一些非常复杂的流动问题来说这可能是启动计算的唯一方法了.

要了解更多关于如何在Fluent中设置无粘流的详细信息，可参阅用户指南中的"Inviscid Flows".

1.7.1 欧拉方程

对于无粘流动，Fluent求解是欧拉方程。质量守恒方程与层流相同，但由于没有分子扩散，因此动量和能量守恒方程得以简化。

在本节中，介绍了惯性（非旋转）参考系中无粘流体的守恒方程。适用于非惯性参考系的方程在“具有运动参考系的流动”（第19页）中进行描述。与组分属于和其他模型相关的守恒方程将在介绍这些模型的章节中进行讨论。

1.7.1.1 质量守恒方程

质量守恒或连续性方程可以写成如下形式：

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \left(\rho \vec{v}\right)=S_m\text{\hspace{1em}(1.33)}$$

方程1.33是质量守恒方程的一般形式，适用于不可压缩流以及可压缩流的情形。源项 $S_m$ 是从分散的次相（如由于液滴蒸发产生的蒸汽）添加到连续相中的质量以及任何用户定义的源项。

对于二维轴对称几何模型，连续性方程由以下给出：

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}\left(\rho v_x\right)+\frac{\partial }{\partial r}\left(\rho v_r\right)+\frac{\rho v_r}{r}=S_m\text{\hspace{1em}(1.34)}$$

其中，$x$ 为轴向坐标，$r$ 为径向坐标，$v_x$ 为轴向速度，而 $v_r$ 为径向速度。

1.7.1.2 动量守恒方程

动量守恒方程描述为：

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho \vec{v}\right)+\nabla \cdot \left(\rho \vec{v}\vec{v}\right)=-\nabla p+\rho \vec{g}+\vec{F}\text{\hspace{1em}(1.35)}$$

其中，$p$ 为静压，$\rho \vec{g}$ 和 $\vec{F}$ 分别代表重力体积力和外部体积力（例如，由分散相相互作用产生的力）。$\vec{F}$ 还包含其他模型依赖的源项，如多孔介质和用户定义的源项。

对于二维轴对称几何形状，轴向和径向动量守恒方程如下给出：

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho v_x\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial x}\left(r\rho v_x{v}_x\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\rho v_r{v}_x\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}+F_x\text{\hspace{1em}(1.36)}$$

且有

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho v_r\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial x}\left(r\rho v_x{v}_r\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\rho v_r{v}_r\right)=-\frac{\partial p}{\partial r}+F_r\text{\hspace{1em}(1.37)}$$

其中

$$\nabla \cdot \vec{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_r}{\partial r}+\frac{v_r}{r}\text{\hspace{1em}(1.38)}$$

1.7.1.3 能量守恒方程

能量守恒定律描述为：

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho E\right)+\nabla \cdot \left(\vec{v}\left(\rho E+p\right)\right)=-\nabla \cdot \left(\sum _j{h}_j{J}_j\right)+S_h\text{\hspace{1em}(1.39)}$$

本章阐述了在移动参考系中建模流动的理论基础。关于如何使用本章中各种模型的信息，请参阅用户指南中的“移动参考系中的流动建模”部分。本章内容分为以下几个小节：

• 2.1 介绍
• 2.2 运动参考系中的流动
• 2.3. 多参考系中的流动

Fluent 默认在静止（或惯性）参考系中求解流体流动和传热方程。然而，在许多问题中，采用运动（或非惯性）参考系来求解这些方程更为有利。这类问题通常涉及运动部件，如旋转叶片、叶轮和运动壁面，而我们关注的是这些运动部件周围的流动情况。从静止参考系来看，大多数情况下这些运动部件使得问题变得非定常。但在运动参考系下，考虑到该运动参考系的特定限制条件，围绕运动部件的流动可以被模拟成相对于该运动参考系的稳态问题。

Fluent的运动参考系模拟功能使您能够通过在选定的单元区域激活运动参考系来模拟涉及运动部件的问题。当启用运动参考系时，运动方程会进行修改，以纳入由于从静止参考系转换到运动参考系而产生的额外加速度项。

对于许多问题，可能可以将整个计算域参照到一个单一的运动参考系中（参见图2.1：单一部件（鼓风机叶片通道）（第20页））。这种方法被称为单参考系（或SRF）方法。只要几何形状满足特定要求（如“运动参考系中的流动”一节所述（第21页）），就可以使用SRF方法。对于更复杂的几何形状，可能无法使用单一参考系来处理问题（参见图2.2：多部件组合（鼓风机叶轮和壳体）(第20页) ）。在这种情况下，必须将问题分解为多个单元区域，并在各区域之间设置明确的接口。这些接口的处理方式导致了两种近似的稳态模拟方法：多重参考系法(MRF)和混合平面法。这两种方法将在“多重参考系模型”一节(第24页)和“混合平面模型”一节(第28页)中讨论。如果静止部分与运动部分之间的非定常相互作用很重要，可以采用滑移网格法来捕捉流场的瞬态行为。滑移网格模型将在“使用滑动及动态网格的流动”一章中进行探讨(第35页) 。

图2.1 单一组件（风机叶轮叶片通道）

图2.2 多部件组合（风机叶轮与外壳）

采用运动参考系的主要目的是将原本在静止（惯性）坐标系中非定常的问题，转换为相对于运动坐标系的定常问题。对于匀速运动的参考系（例如，旋转速度恒定），可以将流体运动方程变换到该运动参考系中，从而可能获得稳态解。此外，值得注意的是，即使在具有恒定旋转速度的运动参考系中，也可以进行非定常模拟。这在需要模拟某些现象时是必要的，比如从旋转风扇叶片上脱落的涡旋。此种情况下的非定常性源于流体的自然不稳定性（涡旋生成）而非与静止部件相互作用所致。

在Fluent中，还可以实现具有非定常平移和旋转速度的参考系运动。同样地，适当的加速度项会被添加到流体运动的方程中。由于参考系运动的非定常性，这类问题相对于运动参考系而言本质上是非定常的。

2.2.1. 运动参考系的方程

考虑一个相对于静止（惯性）参考系以线速度 ${\vec{v}}_t$ 平移并绕角速度 $\vec{\omega }$ 旋转的坐标系，如图2.3所示：静止与运动参考系（第21页）。运动系统的原点由位置矢量 ${\vec{r}}_0$ 定位。

图2.3：静止与运动参考系

旋转轴由单位方向向量 $\hat{a}$ 定义，使得

$$\vec{\omega }=\omega \hat{a}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

CFD问题的计算域是相对于运动坐标系定义的，使得CFD域中的任意一点可以通过从运动坐标系的原点出发的位置矢量$\vec{r}$来定位。

流体速度可以通过以下关系从静止坐标系转换到运动坐标系：

$${\vec{v}}_r=\vec{v}-{\vec{u}}_r\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

where

$${\vec{u}}_r={\vec{v}}_t+\vec{\omega }\times \vec{r}\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

在上面的方程中，${\vec{v}}_r$ 表示相对速度（从运动参考系观察到的速度），$\vec{v}$ 是绝对速度（从静止参考系观察到的速度），${\vec{u}}_r$ 是运动参考系相对于惯性参考系的速度，${\vec{v}}_t$ 是平移参考系的速度，而 $\vec{\omega }$ 则是角速度。需要注意的是，$\vec{\omega }$ 和 ${\vec{v}}_t$ 都可能是时间的函数。

在运动参考系中求解运动方程时，流体的加速度会因动量方程中出现的额外项而增加[47]（第1059页）。此外，这些方程可以用两种不同的方式来表述：

• 使用相对速度作为因变量来表达动量方程（称为相对速度公式）。
• 在动量方程中使用绝对速度作为因变量来表达（称为绝对速度公式）。

这两种公式的控制方程将在下文中提供。需要注意的是，Fluent的压力基求解器提供了选择其中任一公式的选项，而密度基求解器则始终采用绝对速度公式。关于每种速度公式的优势的更多信息，请参阅用户指南中的“选择相对或绝对速度公式”部分。

2.2.1.1. 相对速度公式

在相对速度公式中，运动参考系中流体流动的控制方程可以写成如下形式：

质量守恒：

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \rho {\vec{v}}_r=0\text{\hspace{1em}(2.4)}$$ 动量守恒： $$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho {\vec{\nu }}_r\right)+\nabla \cdot \left(\rho {\vec{\nu }}_r{\vec{\nu }}_r\right)+\rho \left(2\vec{\omega }\times {\vec{\nu }}_r+\vec{\omega }\times \vec{\omega }\times \vec{r}+\vec{\alpha }\times \vec{r}+\vec{a}\right)=& -\nabla p\\ & +\nabla \cdot {\overline{\tau }}_r+\vec{F}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

式中，$\vec{\alpha }=\frac{d\vec{\omega }}{dt}$ ，$\vec{a}=\frac{d{\vec{v}}_t}{dt}$

能量守恒：

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho E_r\right)+\nabla \cdot \left(\rho {\vec{v}}_r{H}_r\right)=\nabla \cdot \left(k\nabla T+{\overline{\bar{\tau }}}_r\cdot {\vec{v}}_r\right)+S_h\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

动量方程包含四个额外的加速度项。前两项分别是科里奥利加速度 $\left(2\vec{\omega }\times {\vec{v}}_r\right)$ 和向心加速度 $\left(\vec{\omega }\times \vec{\omega }\times \vec{r}\right)$。这些项在稳定运动的参考系（即，角速度和线速度恒定）和加速参考系（即，角速度和/或线速度随时间变化）中都会出现。第三和第四项分别是由旋转速度和线性速度的非稳态变化引起的。对于恒定的平移和/或旋转速度，这些项消失。此外，粘性应力 $\left({\overline{\bar{\tau }}}_r\right)$ 与公式 $1.4\left(\mathrm{p}.3\right)$ 相同，只是使用了相对速度导数。能量方程以相对内能 $\left(E_r\right)$ 和相对总焓 $\left(H_r\right)$（也称为转焓）表示。这些变量定义为：

$$E_r=h-\frac{p}{\rho }+\frac{1}{2}\left(v_r^2-u_r^2\right)\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

$$H_r=E_r+\frac{p}{\rho }\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

2.2.1.2 绝对速度公式

在绝对速度公式中，对于一个稳定运动的参考系，流体流动的控制方程可以写成如下形式：

质量守恒：

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \rho {\vec{v}}_r=0\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

动量守恒：

$$\frac{\partial }{\partial t}\rho \vec{v}+\nabla \cdot \left(\rho {\vec{v}}_r\vec{v}\right)+\rho \left[\vec{\omega }\times \left(\vec{v}-{\vec{v}}_t\right)\right]=-\nabla p+\nabla \cdot \bar{\tau }+\vec{F}\text{\hspace{1em}(2.10)}$$

能量守恒：

$$\frac{\partial }{\partial t}\rho E+\nabla \cdot \left(\rho {\vec{v}}_{r}H+p{\vec{u}}_r\right)=\nabla \cdot \left(k\nabla T+\overline{\bar{\tau }}\cdot \vec{v}\right)+S_h\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

在这种表述中，科里奥利加速度和向心加速度可以简化为一个单一项 $\left(\left[\vec{\omega }\times \left(\vec{v}-{\vec{v}}_t\right)\right]\right)$。需要注意的是，绝对速度方程的动量表达式中不包含任何显式的涉及 $\vec{\alpha }$ 或 $\vec{a}$ 的项。

2.2.1.3. 参考坐标系运动的相对指定

Fluent允许您相对于一个已经运动（旋转和平移）的参考坐标系来指定运动参考系。在这种情况下，最终的速度矢量是根据这个相对运动计算得出的。

$${\vec{v}}_r=\vec{v}-{\vec{u}}_r\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

式中

$${\vec{u}}_r=\overrightarrow{u_{r1}}+\overrightarrow{u_{r2}}\text{\hspace{1em}(2.13)}$$

以及

$$\vec{\omega }=\overrightarrow{{\omega }_1}+\overrightarrow{{\omega }_2}\text{\hspace{1em}(2.14)}$$

方程2.13（第23页）被称为伽利略变换。

旋转矢量如同方程2.14（第23页）所示相加，因为参考系的运动可以视为刚体旋转，其中每个点的旋转速率是恒定的。此外，这允许将旋转表述为角速度轴向（也称为伪）矢量，描述瞬时无穷小的变换。在这种情况下，两个旋转速率都遵循交换律。需要注意的是，这种方法在处理有限旋转时是不够的。在这种情况下，基于欧拉角的旋转矩阵公式是必要的[544]（第1088页）。

要学习如何在另一个运动参考系内指定一个运动参考系，请参阅用户指南中的“设置多个参考系”部分。

涉及多个运动部件的问题无法采用单参考系方法进行模拟。对于这类问题，必须将模型分解为多个流体/固体单元区域，各区域之间由界面边界分隔。包含运动组件的区域可使用运动参考系方程（运动参考系的方程 (第21页)）求解，而静止区域则可采用静止坐标系方程求解。在Fluent中，处理这些界面处方程的方式支持两种方法：

• 多运动参考系

  • 多参考系模型（MRF）（参见《多参考系模型》第24页）

  • 混合平面模型（MPM）（参见《混合平面模型》第28页）

• 滑移网格模型（SMM）

MRF和混合平面方法均为稳态近似，主要区别在于界面条件的处理方式。这些方法将在下文中讨论。而滑移网格模型方法则由于网格随时间运动的特性，本质上是不稳定的。该方法在《使用滑动和动态网格的流动》第35页中讨论。

2.3.1.多参考系模型

2.3.1.1.概述

MRF模型[399]（第1080页）可能是处理多区域问题的两种方法中最简单的一种。它是一种稳态近似，其中各个单元区域可以被赋予不同的旋转和/或平移速度。每个运动单元区域的流动通过运动参考系方程求解。（详细内容请参见“运动参考系中的流动”（第21页））。如果该区域是静止的$\left(\omega =0\right)$，方程简化为静止形式。在单元区域之间的界面处，执行局部参考系变换，以便使用一个区域的流动变量来计算相邻区域边界处的通量。MRF界面公式的具体讨论将在“MRF界面公式”（第26页）中进行更详细的阐述。

需要注意的是，MRF方法并未考虑运动区域相对于相邻区域（可能也在运动或静止）的相对运动；计算时网格保持固定。这类似于将运动部件的运动冻结在特定位置，并观察该位置下的瞬时流场。因此，MRF常被称为“冻结转子法”。

尽管MRF方法显然是一种近似处理，但它能为许多应用提供合理的流动模型。例如，在涡轮机械应用中，当转子和定子之间的相互作用较弱且流动在运动与静止区域的交界处相对简单时，可以使用MRF模型。在搅拌槽中，由于叶轮与挡板间的相互作用较弱，不存在大规模瞬态效应，因此也可以采用MRF模型进行模拟。

MRF模型的另一个潜在应用是计算流场，该流场可作为瞬态滑移网格计算的初始条件。这样就无需进行启动计算。然而，如果需要实际模拟强转子-定子相互作用中可能出现的瞬态现象，则不应使用多参考系模型，而应仅使用滑移网格模型（参见用户指南中的“使用滑动和动态网格模拟流动”部分）。

2.3.1.2. 示例

对于配备单个叶轮的混合罐，可以定义一个运动参考系来包含叶轮及其周围的流动，同时对叶轮区域外的流动使用固定参考系。图2.4展示了这种配置的示例：带有单个旋转叶轮的几何结构（第25页）。（虚线表示两个参考系之间的界面。）假设在两个参考系的界面处为稳态流动条件，即界面上每个参考系的速度必须相同（以绝对值表示）。网格不运动。

图2.4：带有单个旋转叶轮的几何结构

您还可以构建一个包含多个运动参考系的问题模型。图2.5：带有两个旋转叶轮的几何结构（第26页）展示了一个包含两个并排旋转叶轮的几何体。此问题将采用三个参考系进行模拟：固定在两个叶轮区域外部的静止参考系，以及分别为两个叶轮设定的两个独立运动参考系。（如前所述，虚线表示各参考系之间的界面。）

图2.5：带有两个旋转叶轮的几何结构

2.3.1.3 MRF交界面公式

应用于交界面（Interface）的MRF公式取决于所使用的速度公式。针对每种情况的具体方法将在下文讨论。需要注意的是，交界面处理适用于速度和速度梯度，因为这些矢量随参考系的改变而变化。标量如温度、压力、密度、湍流动能等，不需要特殊处理，因此可以在本地直接传递而不做任何更改。

注意：Fluent 使用的界面公式未考虑不同法向（相对于界面）的单元区域速度。您应指定相邻两个单元区域的运动方式，使得界面法向速度差为零。

2.3.1.3.1. 界面处理：相对速度公式

在Fluent的MRF模型实现中，计算域被划分为多个子域，每个子域可能相对于实验室（惯性）坐标系进行旋转和/或平移。每个子域中的控制方程是相对于该子域的参考系书写的。因此，静止和运动子域中的流动由连续性和动量方程（第2页）控制，而运动子域中的流动则由运动参考系的方程（第21页）控制。

在两个子域的交界处，一个子域中控制方程的扩散项及其他项需要相邻子域的速度值（参见图2.6：MRF模型的界面处理（第27页））。Fluent强制绝对速度$\vec{v}$的连续性，以确保所考虑子域正确获取相邻子域的速度值。（这种方法与混合平面模型中所述的方法不同（第28页），后者采用周向平均技术。）

当采用相对速度公式时，每个子域内的速度是相对于该子域的运动计算的。通过方程2.15（第27页）将速度和速度梯度从运动参考系转换到绝对惯性系。

图2.6：MRF模型的界面处理

对于一个平移速度 $\overrightarrow{v_t}$，我们有

$$\vec{v}={\vec{v}}_r+\left(\vec{\omega }\times \vec{r}\right)+{\vec{v}}_t\text{\hspace{1em}(2.15)}$$

从公式2.15（第27页）可以看出，绝对速度矢量的梯度可以表示为

$$\nabla \vec{v}=\nabla {\vec{v}}_r+\nabla \left(\vec{\omega }\times \vec{r}\right)\text{\hspace{1em}(2.16)}$$

请注意，像密度、静压、静温、组分质量分数等标量数据，都是直接从相邻单元格中局部获取的。

2.3.1.3.2. 界面处理：绝对速度公式

使用绝对速度公式时，每个子域的控制方程是相对于该子域的参考系书写的，但速度存储在绝对坐标系中。因此，两个子域之间的界面不需要特殊变换。同样，标量值从相邻单元局部确定。

2.3.2 混合平面模型

在Fluent中，混合平面模型（Mixing Plane Model）为模拟具有一个或多个相对运动区域的流场提供了一种替代多参考系模型和滑移网格模型的方法。本节简要概述了该模型及其局限性列表。

2.3.2.1. 概述

如《多重参考系模型》（第24页）中所讨论的，当相邻运动/静止区域界面处的流动近乎均匀（“混合完毕”）时，MRF模型适用。如果该界面处的流动不均匀，MRF模型可能无法提供物理上有意义的解决方案。在这种情况下，滑移网格模型（参见用户指南中的“使用滑动和动态网格模拟流动”）可能是合适的，但在许多情况下采用滑移网格并不实际。例如，在多级涡轮机械中，如果每排叶片数量不同，则需要大量叶片通道以保持周向周期性。此外，滑移网格计算必然是不稳定的，因此为了达到最终的时间周期性解需要显著更多的计算资源。对于那些不适合使用滑移网格模型的情形，混合平面模型可以作为一种经济有效的替代方案。

在混合平面方法中，每个流体区域被视为稳态问题。来自相邻区域的流动场数据作为边界条件传递，这些条件在混合平面接口处进行空间平均或“混合”处理。这种混合消除了由于通道间流动场的周向变化（例如尾迹、激波、分离流）引起的任何非定常性，从而得到一个稳态结果。尽管混合平面模型存在固有的简化，但其得到的解仍能提供时间平均流动场的合理近似。

2.3.2.2 转子和定子域

考虑图2.7（轴向转子-定子相互作用示意图，展示混合平面概念）（第29页）和图2.8（径向转子-定子相互作用示意图，展示混合平面概念）（第29页）所示的涡轮机械级。每个叶片通道包含周期性边界。图2.7展示了轴流式机器中单级的恒定径向平面，而图2.8则显示了混流设备中的恒定$\theta$平面。在每种情况下，该级由两个流动域组成：旋转于规定角速度的转子域，随后是静止的定子域。转子和定子的顺序是任意的（即，转子位于定子下游的情况同样有效）。

图2.7：轴向转子-定子相互作用（示意图展示混合平面概念）

图2.8：径向转子-定子相互作用（示意图展示混合面概念）

在数值模拟中，每个区域将由一个独立的网格表示。这些区域之间的流动信息将在混合平面接口处耦合（如图2.7：轴向转子-定子相互作用（说明混合平面概念的示意图）（第29页）和图2.8：径向转子-定子相互作用（说明混合平面概念的示意图）（第29页）所示），使用混合平面模型实现。请注意，您可以这种方式耦合任意数量的流体区域；例如，四个叶片通道可以通过三个混合平面进行耦合。

重要提示：请注意，定子和转子通道是独立的单元区域，各自具有自己的入口和出口边界。您可以将此系统视为一组为每个叶片通道设置的SRF模型，通过混合平面模型提供的边界条件进行耦合。

2.3.2.3. 混合平面概念

混合平面概念的核心思想是将每个流体区域视为稳态问题进行求解。在规定的迭代间隔内，混合平面接口处的流动数据会在静子出口和转子入口边界上沿周向进行平均处理。Fluent提供了三种平均方法供选择：面积加权平均、质量平均和混合输出平均。通过在指定的径向或轴向位置执行周向平均，可以定义边界条件流动变量的“轮廓”。这些轮廓——根据混合平面的方向，可能是轴向或径向坐标的函数——随后用于更新混合平面接口两侧区域的边界条件。如图2.7所示的轴向转子-静子相互作用（示意图展示混合平面概念）（第29页）和图2.8所示的径向转子-静子相互作用（示意图展示混合平面概念）（第29页）中，计算了转子出口处的总压$\left(p_0\right)$、径向、切向和轴向上当地流动角的方向余弦$\left({\alpha }_r,{\alpha }_t,{\alpha }_z\right)$、总温$\left(T_0\right)$、湍流动能$\left(k\right)$以及湍流耗散率$\left(\epsilon \right)$的平均值轮廓，并据此更新静子入口的边界条件。同样地，计算了静子入口处的静压$\left(p_s\right)$及相应方向余弦后作为转子出口的边界条件使用。

如上所述，在混合面接口传递轮廓的前提是已在该接口定义了特定的边界条件类型。将上游出口边界区域与下游入口边界区域相耦合的操作称为“混合面配对”。要在Fluent中创建混合面配对，边界区域必须属于以下类型：

关于设置混合平面的具体指导，请参阅用户指南中的“设置传统混合平面模型”部分。

2.3.2.4. 选择平均方法

在混合平面模型中提供了三种轮廓平均方法：

• 面积平均法
• 质量平均法
• 混合输出平均法

2.3.2.4.1. 区域平均法

区域平均法是默认的平均方法，其定义如下：

$$\bar{f}=\frac{1}{A}{\int }_{A}fdA\text{\hspace{1em}(2.17)}$$

重要提示：通过面积平均获得的压力和温度可能无法准确代表流体的动量和能量。

2.3.2.4.2. 质量加权平均

质量加权平均的计算公式为

$$\bar{f}=\frac{1}{\dot{m}}{\int }_{A}f\rho \vec{V}\cdot \hat{n}dA\text{\hspace{1em}(2.18)}$$

其中

$$\dot{m}={\int }_A\rho \vec{V}\cdot \hat{n}dA\text{\hspace{1em}(2.19)}$$

此方法相较于面积平均法能更好地反映总量。若混合平面存在严重逆流，可能会引发收敛问题。因此，为了保证解的稳定性，建议先采用面积平均启动计算，待逆流消失后再切换至质量平均。

重要提示：多相流中无法使用质量平均。

2.3.2.4.3. 混合输出平均法

混合输出平均法基于质量、动量和能量的守恒原理推导而来：

$$\begin{array}{rl}& F={\int }_A\rho (\vec{V}\cdot \hat{n})dA\\ & M_1={\int }_A\rho (\vec{V}\cdot \hat{n})udA+{\int }_{A}P({\hat{e}}_x\cdot \hat{n})dA\\ & M_2={\int }_A\rho (\vec{V}\cdot \hat{n})vdA+{\int }_{A}P({\hat{e}}_y\cdot \hat{n})dA\\ & M_3={\int }_A\rho (\vec{V}\cdot \hat{n})wdA+{\int }_{A}P({\hat{e}}_z\cdot \hat{n})dA\\ & E=\frac{\gamma R}{(\gamma -1)}{\int }_A\rho (\vec{V}\cdot \hat{n})TdA+\frac{1}{2}{\int }_A\rho (\vec{V}\cdot \hat{n})(u^2+v^2+w^2)dA\end{array}\text{\hspace{1em}(2.20)}$$ 由于基于守恒原则，混合平均被认为能更好地代表流动情况，因为它反映了与流动轮廓不均匀性相关的损失。然而，与质量加权平均法类似，当混合平面存在严重逆流时，可能会出现收敛困难。因此，最佳做法是先采用面积平均启动求解过程，待逆流消失后再切换到混合平均。

混合平均假设流体为具有常数定压比热的可压缩理想气体 ${\mathcal{C}}_p$ 。

重要提示：多相流情况下无法使用混合平均方法。

2.3.2.5. Fluent混合平面算法

Fluent的基本混合平面算法可以描述如下：

1. 更新静子和转子域中的流场解。

2. 在静子出口和转子入口边界处平均流体属性，获取用于更新边界条件的轮廓。

3. 将这些轮廓传递到静子出口和转子入口所需的边界条件输入中。

4. 重复步骤1-3直至收敛。

重要提示：注意，为了防止解的发散（尤其是在计算初期），可能需要对边界条件值的变化进行欠松弛处理。Fluent允许您控制混合平面变量的欠松弛程度。

2.3.2.6. 质量守恒

需要注意的是，如果混合平面由压力出口和压力入口对表示，上述算法不会严格保持通过混合平面的质量流量守恒。相反，如果你使用压力出口和质量流量入口对，Fluent将强制实现混合平面上的质量守恒。基本技术包括计算上游区域（压力出口）的质量流量，并调整应用于质量流量入口的质量通量分布，使得下游的质量流量与上游匹配。这种调整在每次迭代中都会进行，从而确保在整个计算过程中严格保持质量流量的守恒。

重要提示：请注意，由于在这种情况下固定了质量流量，因此混合平面上的总压会有跳跃。与流场其他地方的总压变化相比，这种跳跃的幅度通常较小。

2.3.2.7. 旋流守恒

默认情况下，Fluent在混合平面处不保持旋流守恒。对于扭矩转换器等应用，作用在组件上的扭矩总和应为零，因此在混合平面处强制执行旋流守恒至关重要，这在Fluent中作为模拟选项提供。确保旋流守恒很重要，因为否则会在混合平面接口处存在切向动量的源或汇。

考虑一个包含静止或运动部件（例如泵叶轮或涡轮叶片）的控制体积。利用流体力学中的动量矩方程可以证明，对于稳态流动，

$$T={\iint }_{S}r{v}_{\theta }\rho \vec{v}\cdot \hat{n}dS\text{\hspace{1em}(2.21)}$$

其中，$T$ 表示流体作用在部件上的扭矩，$r$ 是从旋转轴到径向的距离，$v_{\theta }$ 是绝对切向速度，$\vec{v}$ 是总的绝对速度，而 $S$ 是边界表面。（乘积 $r{v}_{\theta }$ 被称为旋度。）

对于一个具有明确进出口边界的周向周期性域，方程2.21（第33页）变为

$$T=\int {\int }_{\text{outlet }}r{v}_{\theta }\rho \vec{v}\cdot \hat{n}dS+\int {\int }_{\text{inlet }}r{v}_{\theta }\rho \vec{v}\cdot \hat{n}dS\text{\hspace{1em}(2.22)}$$

其中，“inlet”和“outlet”分别表示进口和出口边界表面。

现在考虑混合平面接口具有有限的轴向厚度。将方程2.22（第33页）应用于该区域，并注意到在厚度收缩至零的极限情况下，扭矩应消失，方程变为：

$$\int \underset{\text{downstream }}{\int }r{v}_{\theta }\rho \vec{v}\cdot \hat{n}dS=\int \underset{\text{upstream }}{\int }r{v}_{\theta }\rho \vec{v}\cdot \hat{n}dS\text{\hspace{1em}(2.23)}$$

上游和下游分别指混合面接口的上游侧和下游侧。需要注意的是，公式2.23（第33页）适用于混合面接口的全区域（360度）。

公式2.23（第33页）提供了一种合理的方法来确定切向速度分量。即，Fluent计算出一个切向速度分布图，然后均匀调整该分布以满足旋流积分条件。需要注意的是，在混合面上插值切向（及径向）速度分量分布不会影响质量守恒，因为这些速度分量与用于计算质量通量的面向法线速度正交。

2.3.2.8.总焓守恒

默认情况下，Fluent在混合平面处不保持总焓守恒。对于某些应用，混合平面处的总焓守恒非常理想，因为效率等全局参数直接与叶片排或级间的总焓变化相关。这在Fluent中作为模拟选项提供。

确保总焓守恒的过程简单地涉及调整下游总温分布，使得积分后的总焓与上游积分后的总焓相匹配。对于多相流，质量、旋流和焓的守恒针对每个相进行计算。然而，对于欧拉多相模型，由于不允许质量流量入口，上述量的守恒不会发生。

第三章：使用滑动和动态网格的流动模拟 本章阐述了Ansys Fluent中滑动和动态网格模型的理论基础。如需深入了解在Ansys Fluent中如何运用滑动网格，请参阅用户指南中的“使用滑动网格”部分。关于如何在Ansys Fluent中应用动态网格的更多详情，可查阅用户指南的“使用动态网格”章节。

以下各节将介绍有关滑动和动态网格模型的理论信息：

• 3.1 引言
• 3.2 动网格理论
• 3.3 滑移网格理论

动网格模型允许您相对于区域的其他边界移动单元区域的边界，并相应地调整网格。边界的运动可以是刚性的，例如发动机气缸内的活塞运动（参见图3.1：与移动活塞相关的网格（第36页））或飞机机翼上的襟翼偏转，也可以是变形的，例如气球膨胀时的弹性壁或在心脏压力脉冲作用下的柔性动脉壁。无论哪种情况，定义域内单元的节点都必须随时间更新，因此动网格解本质上是瞬态的。描述流体运动的控制方程（与用于移动参考系的方程不同，如《带有移动参考系的流动》（第19页）中所述）在《动网格理论》（第37页）中描述。

图3.1：与移动活塞相关的网格

动网格运动的一个重要特例称为滑移网格，其中给定网格区域的所有边界和单元作为一个整体进行刚体运动。在这种情况下，网格节点在空间中移动（相对于固定的全局坐标），但由这些节点定义的单元不会发生形变。此外，相邻移动的网格区域可以通过一个或多个非共形界面相互连接。只要这些界面保持相互接触（即在界面上沿着共同的交叠边界“滑动”），随着网格的移动，非共形界面可以动态更新，流体可以从一个区域传递到另一个区域。这种情景在Fluent中被称为滑移网格模型。滑移网格模型的应用实例包括模拟压缩机或涡轮中旋转叶片与静止叶片的转子-定子相互作用、模拟带有旋转叶片和固定外壳的风扇（参见图3.2：风扇(第37页)）以及通过定义列车与隧道壁之间的滑动界面来模拟列车在隧道中的运动。

图3.2：风扇

Fluent中的动网格模型可用于模拟由于域边界上的运动导致域形状随时间变化的流动。该模型适用于单相或多相（以及多组分）流动。通用的输运方程（见第38页的公式3.1）适用于所有相关的模型方程，如湍流、能量、组分、相等。在稳态求解器中，当移动网格有益时，动网格模型也可用于稳态应用。运动可以是预定义的（例如，可以指定固体关于重心的时间线性和角速度）或非预定义的运动，其中后续运动基于当前时间的解来确定（例如，线性和角速度根据固体上的力平衡计算得出，如同六自由度（Six DOF）求解器所做的那样；参见用户指南中的Six DOF求解器设置）。体积网格的更新由Fluent在每个时间步自动处理，基于边界的新位置进行调整。要使用动网格模型，您需要提供初始体积网格以及模型中任何移动区域的移动描述。Fluent允许您通过边界轮廓、用户自定义函数(UDFs)或六自由度求解器来描述这种运动方式的选择和设定过程。

Fluent 要求在面或单元区域上指定运动描述。如果模型包含移动和非移动区域，您需要在生成的初始体积网格中通过将这些区域分组到各自的面或单元区域来识别它们。此外，由于相邻区域的移动而发生变形的区域也必须在初始体积网格中分组到单独的区域。各个区域之间的边界不需要一致。您可以使用 Fluent 中的非一致或滑移界面功能来连接最终模型中的各个区域。

3.2.1. 守恒方程

对于动网格，任意控制体积 $V$（其边界正在移动）上的通用标量 $\varphi$ 的守恒方程的积分形式可以写为

$$\frac{d}{dt}{\int }_V\rho \varphi dV+{\int }_{\partial V}\rho \varphi \left(\overrightarrow{u}-{\overrightarrow{u}}_g\right)\cdot d\overrightarrow{A}={\int }_{\partial V}\Gamma \nabla \varphi \cdot d\overrightarrow{A}+{\int }_V{S}_{\varphi }dV\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

其中

$\rho$ 表示流体密度

$\overrightarrow{u}$ 表示流动速度矢量

${\overrightarrow{u}}_g$ 表示移动网格的网格速度

$\Gamma$ 表示扩散系数

$S_{\varphi }$ 表示 $\varphi$ 的源项

这里，$\partial V$ 用于表示控制体积 $V$ 的边界。

通过使用一阶后向差分公式，方程3.1（第38页）中的时间导数项可以写为

$$\frac{d}{dt}{\int }_V\rho \varphi dV=\frac{{\left(\rho \varphi V\right)}^{n+1}-{\left(\rho \varphi V\right)}^n}{\Delta t}\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

其中，$n$ 和 $n+1$ 分别表示当前时刻和下一时刻的量。第 $\left(n+1\right)$ 个时间层的体积 $V^{n+1}$通过下式进行计算： $$V^{n+1}=V^n+\frac{dV}{dt}\Delta t\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

其中，$\frac{dV}{dt}$ 表示控制体积的体积随时间的变化率。为了满足网格守恒定律，控制体积的体积时间导数是通过计算得出的。

$$\frac{dV}{dt}={\int }_{\partial V}{\overrightarrow{u}}_g\cdot d\overrightarrow{A}=\sum _j^{n_f}{\overrightarrow{u}}_{g,j}\cdot {\overrightarrow{A}}_j\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

其中，$n_f$ 表示控制体积上的面数，而 ${\overrightarrow{A}}_j$ 是第 $j$ 个面的面积矢量。在每个控制体积面上计算的点积 ${\overrightarrow{u}}_{g,j}\cdot {\overrightarrow{A}}_j$。

$${\overrightarrow{u}}_{g,j}\cdot {\overrightarrow{A}}_j=\frac{\delta V_j}{\Delta t}\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

其中，$\delta V_j$ 表示控制体积面 $j$ 在时间步长 $\Delta t$ 内扫过的体积。

通过采用二阶后向差分公式，方程3.1（第38页）中的时间导数可以表示为

$$\frac{d}{dt}{\int }_V\rho \varphi dV=\frac{3{\left(\rho \varphi V\right)}^{n+1}-4{\left(\rho \varphi V\right)}^n+{\left(\rho \varphi V\right)}^{n-1}}{2\Delta t}\text{\hspace{1em}(3.6)}$$

其中，$n+1,n$, 和 $n-1$ 分别表示连续时间层上的相应量，$n+1$ 表示当前时间层。

在二阶差分格式的情况下，控制体积的体积时间导数与一阶方案中的计算方式相同，如公式3.4（第38页）所示。对于二阶差分格式，每个控制体积面上的点积 ${\overrightarrow{u}}_{g,j}\cdot {\overrightarrow{A}}_j$ 是根据...

$${\left({\overrightarrow{u}}_{g,j}\cdot {\overrightarrow{A}}_j\right)}^{n+1}=\frac{3}{2}{\left({\overrightarrow{u}}_{g,j}\cdot {\overrightarrow{A}}_j\right)}^n-\frac{1}{2}{\left({\overrightarrow{u}}_{g,j}\cdot {\overrightarrow{A}}_j\right)}^{n-1}=\frac{3}{2}{\left(\frac{\delta V_j}{\delta t}\right)}^n-\frac{1}{2}{\left(\frac{\delta V_j}{\delta t}\right)}^{n-1}\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

在当前和前一时间步长内，控制体积面扫过的体积分别为 ${\left(\delta V_j\right)}^n$ 和 ${\left(\delta V_j\right)}^{n-1}$。

3.2.2. 六自由度求解器理论

Fluent中的六自由度求解器利用物体的力和力矩来计算其重心处的平移和角运动。重心的平移运动的控制方程是在惯性坐标系中求解的：

$${\dot{\overrightarrow{v}}}_G=\frac{1}{m}\sum {\overrightarrow{f}}_G\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

其中，$\overrightarrow{v_G}$ 表示重心处的平移运动，$m$ 是质量，而 ${\overrightarrow{f}}_G$ 是由于重力产生的力矢量。

物体的角运动 $\overrightarrow{{\omega }_B}$ 使用体坐标系计算更为简便：

$${\overrightarrow{\omega }}_B=L^{-1}\left(\sum {\overrightarrow{M}}_B-{\overrightarrow{\omega }}_B\times L{\overrightarrow{\omega }}_B\right)\text{\hspace{1em}(3.9)}$$

其中，$L$ 是惯性张量，$\overrightarrow{M_B}$ 是物体的力矩矢量，而 $\overrightarrow{{\omega }_B}$ 则是刚体角速度矢量。

这些力矩通过转换从惯性坐标系变换到物体坐标系中。

$${\overrightarrow{M}}_B=R{\overrightarrow{M}}_G\text{\hspace{1em}(3.10)}$$

其中，$R$ 表示以下变换矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\theta }{C}_{\psi }& C_{\theta }{S}_{\psi }& -S_{\theta }\\ S_{\varphi }{S}_{\theta }{C}_{\psi }-C_{\varphi }{S}_{\psi }& S_{\varphi }{S}_{\theta }{S}_{\psi }+C_{\varphi }{C}_{\psi }& S_{\varphi }{C}_{\theta }\\ C_{\varphi }{S}_{\theta }{C}_{\psi }+S_{\varphi }{S}_{\psi }& C_{\varphi }{S}_{\theta }{S}_{\psi }-S_{\varphi }{C}_{\psi }& C_{\varphi }{C}_{\theta }\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3.11)}$$

在一般术语中，$C_{\chi }=\cos \left(\chi \right)$ 和 $S_{\chi }=\sin \left(\chi \right)$。角度 $\varphi ,\theta$ 和 $\psi$ 是欧拉角，表示以下旋转序列：

• 绕 $Z$ 轴的旋转（例如，飞机的偏航）
• 绕 $Y$ 轴的旋转（例如，飞机的俯仰）
• 绕 $\mathrm{X}$ 轴的旋转（例如，飞机的滚转）

从方程3.8（第39页）和方程3.9（第39页）计算出角加速度和线性加速度后，通过数值积分[614]（第1092页）得出速率。角速度和线性速度用于动网格计算中更新刚体位置。

如前所述，滑移网格模型是通用动网格运动的一个特例，其中节点在给定的动网格区域内刚性地移动。此外，多个单元区域通过非共形接口相互连接。随着时间的更新，这些非共形接口也会相应更新以反映各区域的新位置。需要注意的是，必须预设网格运动使得通过非共形接口相连的区域保持接触（即沿着接口边界“滑动”），以便流体能够从一个网格流向另一个。任何未接触的部分都被视为墙壁处理，这在用户指南中的非一致网格部分有详细描述。

对于动网格的一般守恒方程公式（如第38页的公式3.1所示）同样适用于滑移网格。由于滑移网格公式中的网格运动是刚性的，所有单元都保持其原始形状和体积不变。因此，单元的体积变化率为零，并且第38页的公式3.3简化为：

$$V^{n+1}=V^n\text{\hspace{1em}(3.11)}$$

并且方程3.2（第38页）变为：

$$\frac{d}{dt}{\int }_V\rho \varphi dV=\frac{\left[{\left(\rho \varphi \right)}^{n+1}-{\left(\rho \varphi \right)}^n\right]V}{\Delta t}\text{\hspace{1em}(3.12)}$$

此外，方程3.4（第38页）可简化为

$$\sum _j^{n_f}{\overrightarrow{u}}_{g,j}\cdot {\overrightarrow{A}}_j=0\text{\hspace{1em}(3.13)}$$

结合上述简化条件，方程3.1（第38页）允许更新移动网格区域内的流动情况，前提是为每个区域定义了适当的刚性网格运动规范（通常是简单的线性或旋转运动，但也可以使用更复杂的运动方式）。需要注意的是，由于网格本身在移动，滑移网格应用中方程3.1（第38页）的解本质上将是非定常的（正如所有动网格的情况一样）。

本章为Ansys Fluent中可用的湍流模型提供了理论背景。相关信息将在以下各节中介绍：

• 4.1 湍流模拟的基本原理
• 4.2 Spalart-Allmaras模型
• 4.3 Standard, RNG, 及Realizable k-ε模型
• 4.4 Standard, BSL 及 SST k-omega 模型
• 4.5 Generalized k-ω (GEKO) 模型
• 4.6 k-kl-ω Transition 模型
• 4.7 Transition SST 模型
• 4.8 Intermittency Transition模型
• 4.9 Algebraic Transition模型
• 4.10 显式代数雷诺应力模型（EARSM）
• 4.11 雷诺应力模型（RSM）
• 4.12 尺度自适应模拟（SAS）模型
• 4.13 分离涡模拟（DES）
• 4.14 屏蔽分离涡模拟（SDES）
• 4.15 应力混合涡模拟（SBES）
• 4.16 大涡模拟（LES）模型
• 4.17 嵌入式大涡模拟（ELES）
• 4.18 近壁处理在边界层湍流流动中的应用

以下章节概述了湍流建模的基本原理。

• 4.1.1. Reynolds (Ensemble) Averaging
• 4.1.2. Filtered Navier-Stokes Equations
• 4.1.3. Hybrid RANS-LES Formulations
• 4.1.4. Boussinesq Approach vs. Reynolds Stress Transport Models

4.1.1 Reynolds (Ensemble) Averaging

在雷诺平均法中，瞬时（精确）的纳维-斯托克斯方程中的求解变量被分解为平均值（总体平均或时间平均）和脉动分量。对于速度分量而言：

$$u_i={\bar{u}}_i+u_i^{\prime }\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

其中，${\bar{u}}_i$ 和 $u_i^{\prime }$ 分别表示平均速度分量和脉动速度分量 $\left(i=1,2,3\right)$。

同样，对于压力和其他标量：

$$\phi =\bar{\phi }+{\phi }^{\prime }\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

其中，$\phi$ 表示压力、能量或组分浓度等标量。

将这种形式的表达式代入瞬时连续性和动量方程，并进行时间（或集合）平均（同时去掉平均速度 $\bar{u}$ 上的横杠），即可得到集合平均的动量方程。它们可以用笛卡尔张量形式表示为：

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho u_i\right)=0\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho u_i\right)+\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\rho u_i{u}_j\right)& =-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial }{\partial x_j}\left[\mu \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\frac{2}{3}{\delta }_{ij}\frac{\partial u_l}{\partial x_l}\right)\right]\\ & +\frac{\partial }{\partial x_j}\left(-\rho \overline{u_i^{{}^{\prime }}{u}_j^{{}^{\prime }}}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

方程4.3和方程4.4被称为雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程。它们与瞬时纳维-斯托克斯方程具有相同的一般形式，但其中的速度和其他解变量现在代表的是总体平均（或时间平均）值。新增的项表示湍流效应，这些雷诺应力 $-\rho \overline{u_i^{\prime }{u}_j^{\prime }}$ 必须被建模以封闭方程4.4（第42页）。

对于变密度流动，方程4.3和方程4.4可以解释为Favre平均的Navier-Stokes方程[247]（第1071页），其中速度表示质量平均值。因此，方程4.3和方程4.4适用于变密度流动。

4.1.2 Filtered Navier-Stokes Equations

用于大涡模拟（LES）的控制方程是通过对时间相关的纳维-斯托克斯方程在傅里叶（波数）空间或配置（物理）空间进行滤波得到的。这一滤波过程有效地剔除了尺度小于计算中所用滤波宽度或网格间距的涡流。因此，所得方程主要描述了大涡的动态变化。

过滤后的变量（用上划线表示）由公式4.5定义：

$$\bar{\varphi }\left(x\right)={\int }_D\varphi \left(x^{\prime }\right)G\left(x,x^{\prime }\right)d{x}^{\prime }\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

其中，$D$ 表示流体域，而 $G$ 是滤波函数，用于确定可解析涡旋的尺度。

在 Ansys Fluent 中，有限体积离散化本身隐式地提供了滤波操作：

$$\bar{\phi }\left(x\right)=\frac{1}{V}{\int }_v\phi \left(x^{\prime }\right)d{x}^{\prime },x^{\prime }\in v\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

其中 $V$ 表示计算单元的体积。此处隐含的滤波函数为 $G\left(x,x^{\prime }\right)$。

$$G\left(x,x^{\prime }\right)=\{\begin{array}{cc}1/V,& x^{\prime }\in v\\ 0,& x^{\prime }\text{ otherwise }\end{array}\text{\hspace{1em}(4.7)}$$ Ansys Fluent中的LES功能适用于可压缩和不可压缩流动。为了简化符号表示，以下理论讨论将仅限于不可压缩流动。

通过对连续性和动量方程进行滤波处理，可以得到

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho {\bar{u}}_i\right)=0\text{\hspace{1em}(4.8)}$$

且有

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho {\bar{u}}_i\right)+\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\rho {\bar{u}}_i{\bar{u}}_j\right)=\frac{\partial }{\partial x_j}\left({\sigma }_{ij}\right)-\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i}-\frac{\partial {\tau }_{ij}}{\partial x_j}\text{\hspace{1em}(4.9)}$$

其中，${\sigma }_{ij}$ 是由于分子粘性定义的应力张量。

$${\sigma }_{ij}\equiv \left[\mu \left(\frac{\partial {\bar{u}}_i}{\partial x_j}+\frac{\partial {\bar{u}}_j}{\partial x_i}\right)\right]-\frac{2}{3}\mu \frac{\partial {\bar{u}}_l}{\partial x_l}{\delta }_{ij}\text{\hspace{1em}(4.10)}$$

而 ${\tau }_{ij}$ 表示由以下定义的亚格子尺度应力：

$${\tau }_{ij}\equiv \rho \overline{u_i{u}_j}-\rho {\bar{u}}_i{\bar{u}}_j\text{\hspace{1em}(4.11)}$$

通过过滤能量方程，得到：

$$\frac{\partial \rho \overline{h_s}}{\partial t}+\frac{\partial \rho \overline{u_i{h}_s}}{\partial x_i}-\frac{\partial \bar{p}}{\partial t}-\overline{u_j}\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i}-\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\lambda \frac{\partial \bar{T}}{\partial x_i}\right)=-\frac{\partial }{\partial x_j}\left[\underset{\text{subgrid enthalpy flux }}{\rho \left(\overline{u_i{h}_s}-\overline{u_i{h}_s}\right)}\right]\text{\hspace{1em}(4.12)}$$

其中，$h_s$ 和 $\lambda$ 分别代表显焓和热导率。

在公式4.12中，亚网格焓通量项采用梯度假设进行近似：

$$\rho \left(\overline{u_i{h}_s}-\overline{u_i}\overline{h_s}\right)=-\frac{{\mu }_{\mathrm{SGS}}{C}_p}{\underset{\mathrm{SGS}}{\mathrm{Pr}}}\frac{\partial \bar{T}}{\partial x_j}\text{\hspace{1em}(4.13)}$$

其中，${\mu }_{\mathrm{SGS}}$ 表示亚格子粘度，而 $\underset{\mathrm{SGS}}{\mathrm{Pr}}$ 是等于0.85的亚格子普朗特数。

4.1.3 Hybrid RANS-LES Formulations

起初，雷诺平均和空间滤波的概念看似不相容，因为它们在动量方程中引入了不同的附加项（雷诺应力和次网格应力）。

这将排除混合模型，如尺度自适应模拟（SAS）、分离涡模拟（DES）、屏蔽DES（SDES）或应力混合涡模拟（SBES），这些模型在整个RANS和LES区域基于同一组动量方程。然而，重要的是要注意到一旦将湍流模型引入动量方程中，它们就不再携带任何关于其推导过程（平均化处理）的信息。一个典型的例子是，无论是雷诺平均数值模拟（RANS）还是大涡模拟（LES）中，最流行的模型都是涡粘性模型，这些模型用于替代雷诺应力张量或亚格子应力张量。引入涡粘度（湍流粘度）后，RANS和LES的动量方程在形式上是完全相同的。二者的区别仅在于底层湍流模型提供的涡粘度大小不同。这使得可以构建能够在RANS模式和大涡模拟模式之间切换的湍流模型，只需在LES区域适当降低涡粘度即可，而无需对动量方程进行任何形式上的改变。

4.1.4 Boussinesq Approach vs. Reynolds Stress Transport Models

雷诺平均方法在湍流建模中要求对公式4.4（第42页）中的雷诺应力进行适当建模。一种常见的方法是采用Boussinesq假设[247]（第1071页），将雷诺应力与平均速度梯度联系起来：

$$-\rho \overline{u_i^{\prime }{u}_j^{\prime }}={\mu }_t\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)-\frac{2}{3}\left(\rho k+{\mu }_t\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right){\delta }_{ij}\text{\hspace{1em}(4.14)}$$

Boussinesq假设在Spalart-Allmaras模型、$k$-$\epsilon$模型以及$k$-$\omega$模型中得到应用。这种方法的优势在于计算湍流粘性${\mu }_t$时，相对较低的计算成本。以Spalart-Allmaras模型为例，仅需要引入一个额外的变量。

传输方程（代表湍流粘度）被求解。在 $k$ - $\epsilon$ 和 $k$ - $\omega$ 模型中，还需额外求解两个传输方程（分别用于湍流动能 $k$ 以及湍流耗散率 $\epsilon$ 或比耗散率 $\omega$），并且 ${\mu }_t$ 是根据这些变量计算得出的函数。

$k$ 和 $\epsilon$ 或 $k$ 和 $\omega$。Boussinesq假设的一个缺点是它假定${\mu }_t$是一个各向同性的标量，这并不完全准确。然而，各向同性的假设在实际应用中仍然被广泛采用。

湍流粘性通常在剪切流动中表现良好，这些流动主要受单一湍流剪切应力的影响。这涵盖了许多技术性流动，例如壁面边界层、混合层、射流等。

RSM所体现的另一种方法，是对雷诺应力张量中的每一项求解输运方程。此外，还需一个额外的尺度确定方程（通常针对$\epsilon$或$\omega$）。这意味着在二维流动中需要五个额外的输运方程，而在三维流动中则必须求解七个额外的输运方程。

在许多情况下，基于Boussinesq假设的模型表现非常出色，采用Reynolds应力模型所带来的额外计算成本并不合理。然而，在湍流各向异性对平均流动影响显著的情况下，Reynolds应力模型明显更为优越。这类情况包括高度旋流和应力驱动的二次流动等。

4.2.1. 概述

Spalart-Allmaras模型[621]是一种单方程模型，用于求解运动涡流（湍流）粘度的模拟输运方程。该模型专为涉及壁边界流动的航空航天应用设计，并已被证明对承受逆压梯度的边界层能给出良好的结果。此外，它在涡轮机械应用中也逐渐受到欢迎。

在原始形式中，Spalart-Allmaras 模型实际上是一个低雷诺数模型，要求边界层的粘性影响区域得到适当解析（ $y^{+}\sim$ 1 网格）。在 Ansys Fluent 中，Spalart-Allmaras 模型已通过一种对 $y^{+}$ 不敏感的壁面处理方法进行了扩展，使得该模型可以独立于近壁面 $y^{+}$ 分辨率应用。该公式会根据 $y^{\star }$ 自动从粘性子层公式过渡到对数层公式。在中等网格上 $\left(1<y^{+}<30\right)$，该公式保持其完整性并提供一致的壁面剪应力和热传递系数。尽管去除了对 $y^{+}$ 的敏感性，仍需确保边界层以至少10-15个单元的最小分辨率进行解析。

Spalart-Allmaras模型专为空气动力学流动设计，未针对一般工业流动进行校准。在某些自由剪切流中，尤其是平面和圆形射流流动中，该模型会产生较大误差。此外，它无法准确预测均匀各向同性湍流的衰减情况。

4.2.2. Spalart-Allmaras模型中的输运方程

在Spalart-Allmaras模型中，传输变量$\tilde{v}$与湍流运动粘度相同，除了在近壁（受粘性影响的）区域。修正湍流粘度$\tilde{v}$的输运方程为

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho \tilde{\nu }\right)+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho \tilde{\nu }{u}_i\right)=G_v+\frac{1}{{\sigma }_{\tilde{\nu }}}[\frac{\partial }{\partial x_j}\left\{\left(\mu +\rho \tilde{\nu }\right)\frac{\partial \tilde{\nu }}{\partial x_j}\right\}+C_{b2}\rho {\left(\frac{\partial \tilde{\nu }}{\partial x_j}\right)}^2]-Y_v+S_{\tilde{\nu }}\text{\hspace{1em}(4.15)}$$

其中，$G_v$ 表示湍流粘度的生成项，而 $Y_v$ 则是在近壁区域由于壁面阻塞和粘性阻尼导致的湍流粘度破坏。${\sigma }_{\tilde{v}}$ 和 $C_{b2}$ 是常数，$v$ 代表分子运动粘度。$S_{\tilde{v}}$ 是一个用户定义的源项。需要注意的是，由于在 Spalart-Allmaras 模型中不计算湍流动能 $k$，因此在估计雷诺应力时会忽略公式4.14（第44页）中的最后一项。

4.2.3. 湍流粘度的建模

湍流粘度 ${\mu }_t$ 通过公式计算得到：

$${\mu }_t=\rho \tilde{v}{f}_{v1}\text{\hspace{1em}(4.16)}$$

其中，粘性阻尼函数 $f_{v{1}^{\prime }}$ 由以下公式给出：

$$f_{v1}=\frac{{\chi }^3}{{\chi }^3+C_{v1}^3}\text{\hspace{1em}(4.17)}$$

且有：

$$\chi \equiv \frac{\tilde{\nu }}{\nu }\text{\hspace{1em}(4.18)}$$

4.2.4. 湍流生成建模

生成项 $G_v$ 模拟为：

$$G_v=C_{b1}\rho \tilde{S}\tilde{v}\text{\hspace{1em}(4.19)}$$

式中：

$$\tilde{S}\equiv S+\frac{\tilde{v}}{{\kappa }^2{d}^2}{f}_{v2}\text{\hspace{1em}(4.20)}$$

且

$$f_{v2}=1-\frac{\chi }{1+\chi f_{v1}}\text{\hspace{1em}(4.21)}$$

$C_{b1}$ 和 $\kappa$ 是常数，$d$ 表示与壁面的距离，而 $S$ 则是变形张量的标量度量。在Ansys Fluent中，默认情况下，如同Spalart和Allmaras最初提出的模型一样，$S$ 基于涡量的幅值来确定：

$$S\equiv \sqrt{2{\Omega }_{ij}{\Omega }_{ij}}\text{\hspace{1em}(4.22)}$$

其中 ${\Omega }_{ij}$ 表示平均转速张量，其定义为

$${\Omega }_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)\text{\hspace{1em}(4.23)}$$

默认表达式中$S$的合理性在于，对于剪切流动，涡度和应变率是相同的。涡度的一个优势是在无粘流区域（如滞止线）中为零，而由于应变率引起的湍流生成在这些区域可能是不合理的。然而，已经有人提出了一种替代公式[129]（第1064页）并被整合到Ansys Fluent中。

这一修改在定义$S$时结合了涡度和应变张量的测量：

$$S\equiv \left|{\Omega }_{ij}\right|+C_{\text{prod }}\min \left(0,\left|S_{ij}\right|-\left|{\Omega }_{ij}\right|\right)\text{\hspace{1em}(4.24)}$$

其中

$$C_{\text{prod }}=2.0,\left|{\Omega }_{ij}\right|\equiv \sqrt{2{\Omega }_{ij}{\Omega }_{ij}},\left|S_{ij}\right|\equiv \sqrt{2S_{ij}{S}_{ij}}$$

定义平均应变率 $S_{ij}$ 为

$$S_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_j}{\partial x_i}+\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right)\text{\hspace{1em}(4.25)}$$

同时考虑旋转张量和应变张量可以减少涡粘度的产生，从而在涡量的度量超过应变率的区域中降低涡粘度本身。一个典型的例子可以在旋流中发现，即靠近受纯旋转影响的涡核附近的流动，已知这种情况下湍流会被抑制。同时包含旋转和应变张量能更准确地描述旋转对湍流的影响。默认选项（仅包括旋转张量）倾向于过高估计涡粘度的产生，因此在涡旋内部会过高估计涡粘度本身。

您可以在“粘性模型”对话框中选择修改后的形式来计算产生项。

4.2.5. 模拟湍流的消失过程

湍流消失项（Turbulent Destruction Term）模拟为：

$$Y_v=C_{w1}\rho f_w{\left(\frac{\tilde{v}}{d}\right)}^2\text{\hspace{1em}(4.26)}$$