Ansys Fluent 允许您在模型中的流体和/或固体区域中包括热传递。因此，从流体内部的热混合到复合固体中的传导等问题都可以由 Ansys Fluent 处理。当您的 Ansys Fluent 模型包含热传递时，您必须启用相关的物理模型，提供热边界条件，并在设置过程中输入控制热传递和/或随温度变化的材料属性。有关在您的 Ansys Fluent 模型中设置和使用热传递模型的信息，请参阅用户指南中的“建模热能”部分。

以下小节介绍了热传递理论的信息。

5.2.1. 热传递理论
5.2.2. 自然对流和浮力驱动流动理论
5.2.3. 高超音速流动的二温度模型

5.2.1 热传递理论

5.2.1.1 能量方程

Ansys Fluent 以以下形式求解能量方程：

$\frac{\partial}{\partial t} (ρ (e + \frac{v ^{2}}{2})) + \nabla \cdot (ρ v (h + \frac{v ^{2}}{2})) = \nabla \cdot (k_{e ff} \nabla T - j \sum h_{j} j_{j} + \overset{τ}{ˉ}_{e ff} \cdot v) + S_{h} (5.1)$

在方程 5.1（第 172 页）中，

有效导热系数 $k_{e ff}$ 定义为 $(k + k_{t})$ ，其中 $k_{t}$ 是湍流热导率，根据所使用的湍流模型定义，而 $J_{j}$ 是物质 $j$ 的扩散通量。方程 5.1（第 172 页）右侧的前三项分别表示由于传导、物质扩散和粘性耗散引起的能量转移。 $S_{h}$ 包括您定义的体积热源以及方程 5.11（第 174 页）所示的化学反应产生的热生成速率。然而，这一反应源不适用于总焓方程（详见反应引起的能量源（第 174 页））。

在方程 5.1（第 172 页）中，

焓 $h$ 对于理想气体定义为

$h = j \sum Y_{j} h_{j} (5.2)$

对于不可压缩材料，还包括压力功的贡献。

$h = j \sum Y_{j} h_{j} + \frac{p}{ρ} (5.3)$

在公式5.2（第172页）和公式5.3（第172页）中， $Y_{j}$ 表示物种 $j$ 的质量分数，而 $h_{j}$ 物种的显热则是焓的一部分，仅包括由于比热引起的焓变。

$h_{j} = \int_{T_{re f}}^{T} c_{p, j} d T (5.4)$

在显焓计算中使用的参考温度 $T_{ref}$ 的值取决于所使用的求解器和模型。对于基于压力的求解器， $T_{ref}$ 通常为 $298.15 K$ ，但在 PDF 模型中， $T_{ref}$ 是用户为物种输入的值。对于基于密度的求解器， $T_{ref}$ 通常为 $0 K$ ，但在涉及反应的物种输运模型中， $T_{ref}$ 是用户为物种输入的值。

内能 $e_{q}$ 对于可压缩和不可压缩材料都定义为一致的。

$e = h - \frac{p _{o p} + p}{ρ} (5.5)$

在上述公式中， $p$ 和 $p_{o p}$ 分别表示表压和操作压力。这种焓和内能的定义方式能够适应在常见表述中不可压缩理想气体的情况：

$h = c_{v} T + \frac{p _{ab s}}{ρ} = c_{v} T + R_{g} T + \frac{p}{ρ} = c_{p} T + \frac{p}{ρ} (5.6)$

5.2.1.2 移动参考系中的能量方程

能量方程在移动（相对）参考系中求解。在移动参考系中，能量输运方程采用旋转焓作为守恒量。有关移动参考系中能量方程的详细信息，请参见公式2.6（第22页）。

5.2.1.3 非预混燃烧模型的能量方程

当启用非绝热非预混燃烧模型时，Ansys Fluent求解总焓形式的能量方程：

$\frac{\partial}{\partial t} (ρ H) + \nabla \cdot (ρ v H) = \nabla \cdot (\frac{k _{e ff}}{C _{p}} \nabla H) + S_{h} (5.7)$

在假设Lewis数（Le） $= 1$ 的前提下，传导项与物种扩散项合并，形成了上述方程右侧的首项，而粘性耗散的贡献则以非守恒形式呈现，作为第二项。总焓 $H$ 定义为

$H = j \sum Y_{j} H_{j} (5.8)$

其中， $Y_{j}$ 表示物质 $j$ 的质量分数，

$H_{j} = \int_{T_{re f, j}}^{T} c_{p, j} d T + h_{j}^{0} (T_{re f, j}) (5.9)$

$h_{j}^{0} (T_{re f, j})$ 是物种 $j$ 在参考温度 $T_{re f, j}$ 下的生成焓。

5.2.1.4 包含压力功和动能项

公式 5.1（第 172 页）包含了压力功和动能项，这些项在不可压缩流动中通常可以忽略。因此，基于压力的求解器默认在求解不可压缩流动时不包括压力功或动能。如果你想包含这些项，请使用 define/models/energy? 文本命令。当被问及是否在能量方程中包含压力功和是否包含动能时，请在控制台窗口中输入 yes 进行响应。

当你进行以下操作时，压力功和动能会自动被考虑：

模拟可压缩流动
模拟带有粘性耗散的不可压缩流动，并使用基于压力的求解器
使用基于密度的求解器

5.2.1.5 包含粘性耗散项

公式 5.1（第 172 页）和公式 5.7（第 173 页）描述了由流动中的粘性剪切产生的热能。

当使用基于压力的求解器时，Ansys Fluent 的默认能量方程形式不包括这些项（因为粘性加热通常可以忽略）。当 Brinkman 数 $B r$ 接近或超过 1 时，粘性加热将变得重要，其中

$B r = \frac{μ U _{e}^{2}}{k Δ T} (5.10)$

$Δ T$ 表示系统中的温度差，而 $U_{e}$ 表示系统的特征速度。

当您的问题需要包含粘性耗散项，并且您使用的是基于压力的求解器时，应通过在“粘性模型”对话框中启用“粘性加热”选项来启用这些项。通常，可压缩流动的 $B r \geq 1$ 。但请注意，当使用基于压力的求解器时，如果已定义了可压缩流动模型，Ansys Fluent 不会自动启用粘性耗散。

当使用基于密度的求解器时，求解能量方程时总是会包含粘性耗散项。

5.2.1.6 包含物种扩散项

方程 5.1（第 172 页）和方程 5.7（第 173 页）都包含了由于物种扩散引起的焓传输效应。

当使用基于压力的求解器时，该项...

$\nabla \cdot (j \sum h_{j} J_{j})$

默认情况下，该项已包含在方程 5.1（第 172 页）中。如果您不希望包含它，可以在物种模型对话框中禁用“扩散能量源”选项。

当使用非绝热非预混燃烧模型时，该项不会在能量方程中显式出现，因为它已包含在方程 5.7（第 173 页）右侧的第一个项中。

当使用基于密度的求解器时，该项始终包含在能量方程中。

5.2.1.7 反应引起的能量源

方程 5.1（第 172 页）中的能量源 $S_{h}$ 包括化学反应引起的能量源：

$S_{h, r x n} = - j \sum \frac{h _{j}^{0}}{M _{j}} R_{j} (5.11)$

其中， $h_{j}^{0}$ 是物种 $j$ 的生成焓， $M_{j}$ 是物种 $j$ 的分子量， $R_{j}$ 是物种 $j$ 的体积生成速率。

在用于非绝热非预混燃烧的能量方程（方程 5.7，第 173 页）中，生成热包含在焓的定义中（参见方程 5.8，第 173 页），因此能量反应源项不包含在 $S_{h}$ 中。

5.2.1.8 辐射引起的能量源项

当使用辐射模型时，方程 5.1（第 172 页）或方程 5.7（第 173 页）中的 $S_{h}$ 还包括辐射源项。详细信息请参见辐射模型（第 183 页）。

5.2.1.9 焦耳加热引起的能量源项

当求解电势方程（方程 18.1，第 856 页）时，方程 5.1（第 172 页）中的 $S_{h}$ 还包括焦耳加热源项。

5.2.1.10 相间能量源项

需要注意的是，能量源项 $S_{h}$ 还包括连续相和离散相之间的热传递。这在离散相和连续相之间的耦合（第 583 页）中有进一步讨论。

5.2.1.11 固体区域的能量方程

在固体区域，Ansys Fluent 使用的能量传输方程具有以下形式：

$\frac{\partial}{\partial t} (ρ h) + \nabla \cdot (v ρ h) = \nabla \cdot (k \nabla T) + S_{h} (5.12)$

其中

$ρ$ = 密度

$h$ = 显焓， $\int_{T_{ref}}^{T} c_{p} d T$

$k$ = 导热系数

$T$ = 温度

$S_{h}$ = 体积热源

方程 5.12（第 175 页）左侧的第二项表示由于固体旋转或平移运动引起的对流能量传递。速度场 $v$ 是根据为固体区域指定的运动计算得出的。（详细信息请参阅用户指南中的固体条件）。方程 5.12（第 175 页）右侧的项分别表示由于传导和固体内部体积热源引起的热流。

5.2.1.12 固体中的各向异性导热

ANSYS Fluent 可以求解固体区域和壳体中的导热方程，并将热导率指定为矩阵。热流矢量写为：

$q_{i} = k_{ij} (\frac{\partial T}{\partial x _{j}}) (5.13)$

其中， $k_{ij}$ 表示热导率张量，默认情况下以全局坐标系为基准。

$k_{ij} = k_{g l o b} = k_{xx} k_{y x} k_{z x} k_{x y} k_{yy} k_{zy} k_{x z} k_{yz} k_{zz} (5.14)$

$k_{g l o b}$ 也可以按以下方式计算：

$k_{glob} = A k_{loc} A^{T} (5.15)$

其中， $k_{l oc}$ 是用户指定的局部热导率。

$k_{l oc} = k_{1} 00 0 k_{2} 0 00 k_{3} (5.16)$

$A$ 是变换矩阵，对于网格中的每个单元，它具有三个主方向。

$A = e_{xx} e_{y x} e_{z x} e_{x y} e_{yy} e_{zy} e_{x z} e_{yz} e_{zz} (5.17)$

在当前的正交各向异性材料板中提供了矩阵以及 $k_{l oc}$ 。有关为固体材料指定各向异性导热系数的详细信息，请参阅用户指南中的“固体各向异性热导率”部分。

变换矩阵具有恒定方向，因此不会跟随曲面几何形状。对于曲面几何形状，变换矩阵是为每个单元计算的，以适当地计算 $k_{g l o b}$ 。有关指定曲面几何形状各向异性导热系数的详细信息，请参阅Fluent用户指南中的“曲线坐标系（CCS）下的各向异性热导率”部分。

5.2.1.13 入口处的扩散

入口处能量的净传输包括对流和扩散两部分。对流部分由您指定的入口温度固定。然而，扩散部分取决于计算温度场的梯度。因此，扩散部分（以及入口处的净传输）不是事先指定的。

在某些情况下，您可能希望指定入口处能量的净传输，而不是入口温度。如果您使用的是基于压力的求解器，可以通过禁用入口能量扩散来实现这一点。默认情况下，Ansys Fluent会在入口处包括能量扩散通量。要关闭入口扩散，请使用define/models/energy?文本命令，并在询问是否包括入口处的扩散时回答否。

如果您使用的是基于密度的求解器，则无法关闭入口扩散。

5.2.2 自然对流和浮力驱动流动理论

当向流体中添加热量且流体密度随温度变化时，由于重力作用于密度变化，可能会引发流动。这种由浮力驱动的流动称为自然对流（或混合对流）流动，可以通过Ansys Fluent进行建模。

在混合对流流动中，浮升力的重要性可以通过格拉晓夫数与雷诺数之比来衡量：

$\frac{G r}{R e ^{2}} = \frac{g β Δ T L}{v ^{2}} (5.18)$

当这个数值接近或超过1时，你应该预料到流动中会有显著的浮力贡献。相反，如果它非常小，浮力力在你的模拟中可能被忽略。在纯自然对流中，浮力诱导流动的强度由瑞利数来衡量：

$R a = \frac{g β Δ T L ^{3} ρ}{μα} (5.19)$

其中， $β$ 是热膨胀系数：

$β = - \frac{1}{ρ} (\frac{\partial ρ}{\partial T})_{p} (5.20)$

$α$ 表示热扩散率：

$α = \frac{k}{ρ c _{p}} (5.21)$

雷利数小于 $10^{8}$ 表明浮力诱导的层流流动，而过渡到湍流发生在 $10^{8} < R a < 10^{10}$ 的范围内。

5.2.3 高超声速流动的双温模型

在使用基于密度的求解器时，可采用双温模型来模拟高超声速流动中的热非平衡现象。该模型模拟了流动中的能量松弛过程，并能比单温模型更准确地预测流动场。

热非平衡的程度通常通过适当的达姆科勒数来衡量，该数表示流体单元穿越特征长度所需时间与能量模式达到平衡所需时间之比。当流动速度相对较低时，达姆科勒数远大于一，这意味着分子碰撞次数足以使流动达到局部热力学平衡状态。对于高超声速流动，达姆科勒数通常为单位量级。这表明流体单元在某一位置停留的时间不足以使局部热力学状态达到平衡，因此流动处于热非平衡状态。为了妥善处理这一效应，需要使用双温模型，该模型假设：物种的平移和旋转能量模式处于一个温度下的平衡状态；而物种的振动和电子能量模式处于另一个温度下的平衡状态。求解的守恒方程系统包括纳维-斯托克斯方程和一条额外的运输方程，该方程模拟了振动-电子能量的守恒。

注意：

启用此模型需要额外的功能许可证。请联系您的Ansys代表，以检查许可证增量的可用性。

以下是关于方程的说明：

5.2.3.1 能量方程

5.2.3.2 状态方程

5.2.3.3 比热

5.2.3.4 输运性质

5.2.3.5 限制条件

5.2.3.1 能量方程

在双温模型中，振动-电子能量的控制方程[211]（第1069页）为

$\frac{\partial ρ e _{v e}}{\partial t} + \nabla \cdot (ρ e_{v e} V) = - \nabla \cdot q_{v e} - i \sum \nabla \cdot (e_{v e, i} J_{i}) + S^{t v} + S^{c v} + S^{h e} + S^{e i} + S^{e p g} (5.22)$

其中， $e_{v e}$ 表示每单位质量的振动-电子能量。该方程在基于密度的求解器中与纳维-斯托克斯方程（方程 23.74，第 995 页）分开求解。

由于两温度模型引入了 $T_{t r}$ 和 $T_{v e}$ 分别作为平移-旋转温度和振动-电子温度，原能量方程（方程 23.75，第 995 页）中的热流项被调整为：

$q = k_{t r} \nabla T_{t r} + k_{v e} \nabla T_{v e} (5.23)$

$i \sum \nabla \cdot e_{v e, i} J_{i}$ 模型描述了由于物种扩散引起的振动-电子能量的变化。 $J_{i}$ 是物种 $_{i}$ 的扩散通量，定义为：

$J_{i} = - ρ D_{i, m} \nabla Y_{I} (5.24)$

该定义与方程7.2（第238页）中所用的定义相同，但忽略了热扩散。若存在离子和自由电子，则采用双极扩散假设来计算电子的扩散通量：

$J_{e} = M_{e} s \neq = e \sum \frac{J _{s} C _{s}}{M _{s}} (5.25)$

其中， $M_{s}$ 是物种的分子量， $C_{s}$ 是物种的电荷。

方程 5.22（第178页）中的源项 $S^{t v}$ 模拟了平移模式和振动模式之间的弛豫。弛豫源项采用 Landau-Teller 理论进行建模。

$S^{t v} = \sum ρ_{s} \frac{e _{v, s} ( T _{t r} ) - e _{v, s} ( T _{v e} )}{τ _{s}} (5.26)$

对于三原子分子，这种方法假设平移模式和振动模式之间的能量传递由最快的弛豫时间决定，该时间对应于最低的特征振动温度。其中， $e_{v, s}$ 表示物种的振动能量， $τ_{s}$ 是根据 Millikan 和 White 的曲线拟合以及 Park 的修正 [574]（第 1090 页）建模的弛豫时间。

$τ_{sr} = \frac{101325}{p} exp [A_{sr} (T^{- \frac{1}{3}} - B_{sr}) - 18.42] (5.27)$

振动常数 $A_{sr}$ 和 $B_{sr}$ 是通过米利肯-怀特公式计算得出的。

$A_{sr} = 1.16 \times 10^{- 3} μ_{sr}^{1/2} (i min θ_{v, s, i})^{4/3}$

$B_{sr} = 0.015 μ_{sr}^{1/4}$

$μ_{sr} = \frac{M _{s} M _{r}}{M _{s} + M _{r}}$

Millikan 和 White 表达式中定义的弛豫时间并不代表某些碰撞的实验数据。为解决这一问题，Park [769]（第1101页）[770]（第1101页）提供了从实验数据曲线拟合得出的系数 $A_{sr}$ 和 $B_{sr}$ ，适用于这些碰撞情况。然而，对于其他碰撞，仍采用 Millikan 和 White 的方法。在两温度模型中，默认选择 Park 模型。当选用 Park 模型时，这些碰撞的振动常数将自动定义。您可以通过以下控制台命令修改平动-振动能量弛豫模型设置：

/define/models/two-temperature/translational-vibrational-energy-relaxation

源项 $S^{c v}$ 模拟了化学反应引起的振动-电子能量变化。采用非优先模型，假设分子在平均振动能量水平上生成或破坏。

$S^{c v} = molecules \sum R_{i} e_{v e, i} (5.28)$

其中， $R_{i}$ 表示由于化学反应产生的物种 $_{i}$ 的净源项，定义见公式 7.19（第 243 页）。

公式 5.22（第 178 页）中的源项 $S^{h e}$ 描述了重粒子与电子之间的能量传递。

$S^{h e} = 3 R_{u} ρ_{e} (T_{t r} - T_{v e}) \frac{8 R _{u} T _{v e}}{π M _{e}} r \neq = e \sum \frac{ρ _{r} N _{a}}{M _{r}^{2}} σ_{er} (5.29)$

其中， $N_{a}$ 是阿伏伽德罗常数，而 $σ_{er}$ 是电子与重粒子之间的碰撞截面，具体数值见参考文献 [574]（第 1090 页）。

源项 $S^{e i}$ 描述了在碰撞电离反应中从自由电子中移除的能量。

$S^{e i} = M_{N^{+}} R_{N^{+}} I_{N} + M_{O^{+}} R_{O^{+}} I_{O} (5.30)$

$R_{N^{+}}$ 表示涉及氮（N）的碰撞电离反应中，氮离子（ $N^{+}$ ）的摩尔变化率；而 $R_{O^{+}}$ 则表示涉及氧（O）的碰撞电离反应中，氧离子（ $O^{+}$ ）的摩尔变化率。 $I_{N}$ 和 $I_{O}$ 分别是文献 [211]（第1069页）中给出的氮和氧的第一电离能的1/3。

$S^{e p g}$ 模型描述了感应电场对电子所做的功。

$S^{e p g} = - p_{e} \nabla \cdot V (5.31)$

其中， $p_{e}$ 表示电子压强。

5.2.3.2 状态方程

假设每种物质均遵循理想气体定律。

$p_{s} = {ρ_{s} R_{s} T_{v e} ρ_{s} R_{s} T_{t r} electrons heavy particles (5.32)$

道尔顿分压定律被用来求取混合物的压力。

$p = s \sum p_{s} (5.33)$

(5.33)

5.2.3.3 比热容

当启用双温模型时，您可以选择使用nasa-9分段多项式或玻尔兹曼动理学理论来计算比热容。

5.2.3.3.1 双温模型的NASA-9分段多项式函数

用于模拟热力学关系的默认方法是nasa-9分段多项式[211]（第1069页）。比热容被定义为温度的分段多项式函数。

$C_{p} (T) = A_{1} T^{- 2} + A_{2} T^{- 1} + A_{3} + A_{4} T + A_{5} T^{2} + A_{6} T^{3} + A_{7} T^{4} (5.34)$

公式5.34（第180页）仅在热力学平衡状态下有效 $(T_{t r} = T_{v e})$ ，然而，如果假设平移和转动能量模式完全激发，则可以从公式5.34（第180页）评估振动和电子比热。平移和转动比热可以假定为常数。

$C_{p, t r} = {\frac{7}{2} R_{s} \frac{5}{2} R_{s} molecules atoms or electrons (5.35)$

其中， $R_{s}$ 是物种 $s$ 的气体常数。由于 $C_{p, t r}$ 与温度无关，因此比热容可以表示为：

$C_{p} (T_{v e}) = C_{p, t r} + C_{p, v e} (T_{v e}) (5.36)$

将 $T = T_{v e}$ 代入方程 5.34（第 180 页），并与方程 5.36（第 180 页）进行比较，可以表达出振动和电子的比热。

$C_{p, v e} (T_{v e}) = C_{p} (T_{v e}) - C_{p, t r} (5.37)$

5.2.3.3.2 玻尔兹曼能量分布理论

根据统计力学，内能可以以平动、转动、振动和电子能级的形式储存。物种的内能则是

$e_{in t, s} = e_{t, s} (T_{t r}) + e_{r, s} (T_{t r}) + e_{v, s} (T_{v e}) + e_{e, s} (T_{v e}) + h_{0, s} (5.38)$

其中， $e_{in t, s}$ 表示物种的内能； $e_{t, s}$ 、 $e_{r, s}$ 、 $e_{v, s}$ 和 $e_{e, s}$ 分别代表物种的平移、转动、振动和电子能量；而 $h_{0, s}$ 则是物种的生成热。采用刚性转子-谐振子近似来计算能量模式 [574]（第1090页）。

振动模式的数量取决于分子中的原子数。双原子分子含有一个振动模式，而三原子分子可能包含三个或四个振动模式。

为了考虑多种振动模式，振动能量被定义为

$e_{v, s} = i \sum g_{s, i} R_{s} \frac{θ _{v, s, i}}{e ^{θ_{v, s, i} / T_{v e}} - 1} (5.39)$

其中， $θ_{v, s, i}$ 和 $g_{s, i}$ 分别代表物种 $s$ 的第 $i$ 种振动模式的特征振动温度和简并度。

物种的比热容由以下公式给出：

$c_{p, s} = c_{p, t, s} + c_{p, r, s} + c_{p, v, s} + c_{p, e, s} (5.40)$

其中， $c_{p, s}$ 表示物种的比热容， $c_{p, t, s}$ 、 $c_{p, r, s}$ 、 $c_{p, v, s}$ 和 $c_{p, e, s}$ 分别代表物种的平移、转动、振动和电子比热容。平移和转动比热容在公式 5.35（第 180 页）中给出。

振动比热容的计算方法如下：

$c_{p, v, s} = i \sum g_{s, i} R_{s} \frac{( θ _{v, s, i} / T _{v e} ) ^{2} e ^{θ_{v, s, i} / T_{v e}}}{[ e ^{θ_{v, s, i} / T_{v e}} - 1 ] ^{2}} (5.41)$

电子模式并未在玻尔兹曼动理学理论方法中建模。

5.2.3.4 输运性质

本文介绍了两种处理输运性质的方法。Blottner/Eucken/Constant Lewis 方法适用于相对低速流动，其中自由流速度小于 $7 km / h$ ，最高温度低于 10,000K。而 Gupta 混合律结合碰撞截面数据则适用于温度较高的弱电离流动。

5.2.3.4.1 Blottner/Eucken/Constant Lewis

采用 Blottner 的曲线拟合方法来计算物种的粘度：

$μ_{s} = 0.1 exp [(A_{s} ln T_{t r} + B_{s}) ln T_{t r} + C_{s}] (5.42)$

欧肯关系式被用于计算物质热导率中平动-转动和振动-电子的贡献：

$k_{t r, s} = μ_{s} (\frac{5}{2} C_{v, s}^{t} + C_{v, s}^{r}) (5.43)$

$k_{v e, s} = μ_{s} C_{v, s}^{v e} (5.44)$

为了模拟扩散系数 $D_{i, m}$ ，采用了常数刘易斯数的假设。

$D_{i, m} = \frac{Lek _{t r}}{ρ C _{p}^{t r}} (5.45)$

其中， $L e$ 表示路易斯数（默认值为1.4）， $k_{t r}$ 是平移-旋转热传导系数， $C_{p}^{t r}$ 是恒压下的平移-旋转比热。当存在离子和自由电子时，采用双极扩散约束以维持零电流密度。离子和电子的扩散系数假设为加倍[96]（第1062页）。

5.2.3.4.2 Gupta混合定律

使用Gupta混合定律和碰撞截面数据[574]（第1090页）来计算输运系数，适用于弱电离流。

混合物的粘度为

$μ = s \neq = e \sum \frac{m _{s} γ _{s}}{r \neq = e \sum γ _{r} Δ _{sr}^{(2)} ( T _{t r} ) + γ _{e} Δ _{se}^{(2)} ( T _{v e} )} + \frac{m _{e} γ _{e}}{r \sum γ _{r} Δ _{er}^{(2)} ( T _{v e} )} (5.46)$

其中， $γ_{s}$ 表示摩尔浓度，而 $m_{s}$ 则是物种的质量。

混合物的平移热导率为

$k_{t} = \frac{15}{4} k_{B, S I} s \neq = e \sum \frac{γ _{s}}{r \neq = e \sum α _{sr} γ _{r} Δ _{sr}^{(2)} ( T _{t r} ) + 3.54 γ _{e} Δ _{se}^{(2)} ( T _{v e} )} (5.47)$

其中， $k_{B, S I}$ 是SI单位制下的玻尔兹曼常数。

混合物的转动热导率为

$k_{r} = k_{B, S I} s = molecule \sum \frac{γ _{s}}{r \neq = e \sum γ _{r} Δ _{sr}^{(1)} ( T _{t r} ) + γ _{e} Δ _{se}^{(1)} ( T _{v e} )} (5.48)$

混合振动-电子热导率

$k_{v e} = k_{B, S I} \frac{C _{v, v e}}{R} s = molecule \sum \frac{γ _{s}}{r \neq = e \sum γ _{r} Δ _{sr}^{(1)} ( T _{t r} ) + γ _{e} Δ _{se}^{(1)} ( T _{v e} )} (5.49)$

电子热导率是

$k_{e} = \frac{15}{4} k_{B, S I} \frac{γ _{e}}{r \sum 1.45 γ _{r} Δ _{er}^{(2)} ( T _{v e} )} (5.50)$

物种扩散系数[570]（第1090页）

$D_{s} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1 - x _{s}}{r \neq = s \sum ( x _{r} / D _{sr} )} neutrals 2 \frac{1 - x _{s}}{r \neq = s \sum ( x _{r} / D _{sr} )} ions \frac{s = i o n s \sum Y _{s} D _{s}}{s = i o n s \sum Y _{s}} electrons (5.51)$

其中， $D_{sr}$ 表示二元扩散系数，其定义如下：

$D_{sr} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k _{B, S I} T _{t r}}{p Δ _{sr}^{(1)} ( T _{t r} )} \frac{k _{B, S I} T _{v e}}{p Δ _{sr}^{(1)} ( T _{v e} )} sand rare heavy particles sorr is electron (5.52)$

碰撞截面如下所示：

$Δ_{sr}^{(1)} (T) = \frac{8}{3} [\frac{2 M _{s} M _{r}}{π R _{u} T ( M _{s} + M _{r} )}]^{1/2} 1 0^{- 20} π Ω_{sr}^{(1, 1)} (T) Δ_{sr}^{(2)} (T) = \frac{16}{5} [\frac{2 M _{s} M _{r}}{π R _{u} T ( M _{s} + M _{r} )}]^{1/2} 1 0^{- 20} π Ω_{sr}^{(2, 2)} (T) (5.53)$

其中， $Ω_{sr}^{(1, 1)}$ 代表扩散碰撞积分，而 $Ω_{sr}^{(2, 2)}$ 则是粘度碰撞积分。对于涉及中性粒子的碰撞，碰撞积分可通过参考文献 [574]（第 1090 页）进行拟合。

$π Ω_{sr}^{(n, n)} (T) = D T^{[A (l n T)^{2} + B l n T + C]} (5.54)$

对于带电粒子之间的碰撞，相互作用由屏蔽库仑势来表示：

$π Ω_{sr}^{(n, n)} (T) = 5 \times 10^{15} π (λ_{D} / T^{*})^{2} ln {D_{n} T^{*} [1 - C_{n} exp (- c_{n} T^{*})] + 1} (5.55)$

其中， $λ_{D}$ 是德拜屏蔽长度，单位为厘米，而 $T^{*}$ 是归一化温度，定义见 [717]（第 1098 页）。最新的系数已实现在 Fluent 材料数据库中的空气混合物中。

5.2.3.5 限制

以下限制适用于双温度模型：

该模型仅适用于基于密度的求解器。
不支持非零表面热流。
电子能量模式未在玻尔兹曼-动力学理论方法中建模。
对于空气、 $N_{2}$ 、 $O_{2}$ 、 $NO$ 、N、O、 $N 2 +$ 、 $O 2 +$ 、 $NO +$ 、N +、O +、e、C、C{O}_{2}、 $CO$ 和 $A r$ ，Fluent 材料数据库中提供了 Blottner 方法的系数和特征振动温度。如需模拟其他物种，需自行提供数据。
Gupta 混合定律需要碰撞截面系数。这些系数内置于 air-2species-nitrogen、air-5species-park93、air-11species-gupta 和 air-11species-park93 混合物中。如使用其他混合物，需自行提供系数。
物种的化学式用于识别电子或离子。例如，公式 e 将被视为电子， $N +$ 将被视为离子。因此，导入材料时不应更改物种的化学式。