组分方程

对于纯净物质的凝固及熔化，相变发生在不同的熔化温度 $T_{m e lt}$ 下；而对于多组分混合物，在较低的固相线与较高的液相线温度之间存在糊状的凝固/熔化区。当多组分液体凝固时，溶质从固相扩散到液相，这种效应可以利用溶质 $i$ 的组成系数 $K_{i}$ 来量化，其描述为界面处固相质量分数与液相质量分数的比值。

Fluent 采用以下方式计算多组分混合物的固相线温度和液相线温度。

固相线温度： $T_{solidus} = T_{melt} + solutes \sum m_{i} Y_{i} / K_{i}$ 液相线温度： $T_{liquidus} = T_{melt} + solutes \sum m_{i} Y_{i}$ 式中， $K_{i}$ 为溶质 $i$ 的组成系数； $Y_{i}$ 为溶质 $i$ 的质量分数； $m_{i}$ 为液相线的斜率。

如果质量分数的值 $Y_{i}$ 超过共晶质量分数 $Y_{i, E u t}$ 的值，则在计算液相线和固相线温度时将其截断。计算时假设混合物的最后一种组分为溶剂，其他组分为溶质。

Fluent 预计用户将为组分 $i$ 的液相线输入一个负斜率 $m_{i}$ 。如果用户输入一个正的斜率，Fluent 会忽略该输入，转而使用共晶温度和共晶质量分数来计算斜率： $m_{i} = \frac{T _{E u t} - T _{melt}}{Y _{i . E u t}}$ 在多组分混合物中，通过常规的液相分数方程更新液体分数会导致数值误差和收敛困难。此时采用以下迭代方程计算液相分数： $β^{n + 1} = β^{n} - λ \frac{a _{p} ( T - T ^{*} ) Δ t}{ρ V L - a _{p} Δ t \frac{\partial T}{\partial β}}$ 式中，上标 $n$ 表示迭代次数； $λ$ 为松弛因子，默认值为 0.9； $a_{p}$ 为单元矩阵系数； $Δ t$ 为时间步长； $ρ$ 为当前密度； $V$ 为网格单元体积； $T$ 为当前网格的温度； $T^{*}$ 为界面温度。

Fluent 提供了两种微观尺度上的组分分离模型，即 Lever 法和 Scheil 法。前者假定溶质在固体中无限扩散，而后者假定溶质无扩散。对于 Level 法，界面温度采用下式进行计算： $T^{*} = T_{melt} + i = 0 \sum N_{s} - 1 m_{i} (\frac{Y _{i}}{K _{i} + β ( 1 - K _{i} )})$ 式中 $N_{s}$ 为组分的数量。

而 Scheil 法采用下式计算 $T^{*}$ 。 $T^{*} = T_{melt} + i = 0 \sum N_{s} - 1 m_{i} Y_{i} β^{K_{T} 1}$ 利用 Lever 法的组分输运方程可表述为： $\frac{\partial}{\partial t} (ρ Y_{i}) + \nabla \cdot (ρ [β v_{l i q} Y_{i, l i q} + (1 - β) v_{p} Y_{i, so l}]) = - \nabla \cdot J_{i} + R_{i}$ 式中， $R_{i}$ 为反应速率； $J_{i}$ 表述为： $J_{i} = - ρ [β D_{i, m, l i q} \nabla Y_{i, l i q} + (1 - β) D_{i, m, so l} \nabla Y_{i, so l}]$ 其中， $v_{l i q}$ 为液相速度； $v_{p}$ 为固相速度（拉出速度），当求解中不包含拉出速度时，该变量为零。液相速度可以通过下式计算： $v_{l i q} = \frac{( v - v _{p} ( 1 - β ) )}{β}$ 液相（ $Y_{i, l i q}$ ）及固相（ $Y_{i, so l}$ ）质量分数由分配系数 $K_{i}$ 相联系： $Y_{i, so l} = K_{i} Y_{i, l i q}$ 当使用 Scheil 模型时，Fluent 通过求解以下方程获取： $\frac{\partial}{\partial t} (ρ Y_{i, l i q}) + \nabla \cdot (ρ [β v_{l i q} Y_{i, l i q} + (1 - β) v_{p} Y_{i so l}]) = R_{i} + \nabla \cdot (ρβ D_{i, m, l i q} \nabla Y_{i, l i q}) - K_{i} Y_{i, l i q} \frac{\partial}{\partial t} (ρ (1 - β)) + \frac{\partial}{\partial t} (ρ (1 - β) Y_{i, l i q})$