在欧拉-拉格朗日模型中，有几种适用于阻力系数 $C_{D}$ 的定律。

12.3.1. 球形阻力定律
12.3.2. 非球形阻力定律
12.3.3. 斯托克斯-坎宁安阻力定律
12.3.4. 高马赫数阻力定律
12.3.5. 动态阻力模型理论
12.3.6. 密集离散相模型阻力定律
12.3.7. 泡状流动阻力定律
12.3.8. 旋转阻力定律

关于选择阻力定律的指导说明，请参阅用户指南中的“阻力定律”部分。

12.3.1 球形阻力定律

对于光滑颗粒，阻力系数 $C_{D}$ 可取自...

$C_{D} = a_{1} + \frac{a _{2}}{Re} + \frac{a _{3}}{Re ^{2}}$

其中， $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 是常数，适用于 Morsi 和 Alexander [461]（第 1083 页）给出的多个雷诺数范围。

12.3.2 非球形颗粒的阻力定律

对于非球形颗粒，Haider 和 Levenspiel [226]（第 1070 页）开发了相关性。

$C_{D} = \frac{24}{R e _{s p h}} (1 + b_{1} R e_{s p h}^{b_{2}}) + \frac{b _{3} R e _{s p h}}{b _{4} + R e _{s p h}}$

其中

$b_{1} = exp (2.3288 - 6.4581 φ + 2.4486 φ^{2})$

$b_{2} = 0.0964 + 0.5565 φ$

$b_{3} = exp (4.905 - 13.8944 φ + 18.4222 φ^{2} - 10.2599 φ^{3})$

（12.51）

$b_{4} = exp (1.4681 + 12.2584 φ - 20.7322 φ^{2} + 15.8855 φ^{3})$

形状因子 $φ$ 被定义为

$φ = \frac{S}{S}$

其中， $s$ 是与颗粒体积相同的球体的表面积，而 $S$ 是颗粒的实际表面积。为了计算颗粒的质量、阻力以及 $R e_{s p h}$ ，颗粒尺寸 $d_{p}$ 应为具有相同体积的球体的直径。

重要提示：形状因子不能超过1的值。

12.3.3 斯托克斯-坎宁安阻力定律

阻力函数 $F_{D}$ 表示为：

$F_{D} (u - u_{p}) = \frac{μ}{ρ _{p} d _{p}^{2}} \frac{18 C _{D} R e}{24} (u - u_{p})$

其中

$μ = viscosity.$

$ρ_{p} = particle density$

$D_{p} = particle diameter$

$C_{D} = drag coefficient$

$R e = Reynolds number$

对于亚微米颗粒，存在一种更适合小颗粒的斯托克斯阻力定律形式[502]（第1086页）。在这种情况下， $F_{D}$ 定义为

$F_{D} = \frac{18 μ}{d _{p}^{2} ρ _{p} C _{c}}$

因子 $C_{c}$ 是针对斯托克斯阻力定律的坎宁安修正，你可以据此计算得到。

$C_{c} = 1 + \frac{2 λ}{d _{p}} (1.257 + 0.4 e^{- (1.1 d_{p} / 2 λ)})$

(12.55)

其中， $λ$ 是分子平均自由程。Cunningham 修正改善了在连续流与自由分子流之间的滑流或过渡区域的阻力预测。它不适用于自由分子流区域，因为在该区域中气体分子的平均自由程远大于颗粒直径。

12.3.4 高马赫数阻力定律

还提供了一种高马赫数阻力定律。这种阻力定律类似于球形定律（公式 12.49（第 458 页）），并进行了修正 [111]（第 1063 页），以考虑粒子雷诺数大于 20 时粒子马赫数大于 0.4 的情况。

12.3.5 动态阻力模型理论

准确确定液滴阻力系数对于精确的喷雾模拟至关重要。Ansys Fluent 提供了一种方法，可以动态确定液滴阻力系数，考虑液滴形状的变化。

动态阻力模型几乎适用于任何情况。它与 TAB 和波模型两种液滴破碎模型兼容。当开启碰撞模型时，碰撞会重置碰撞液滴的变形和变形速度。

许多液滴阻力模型假设液滴在整个计算域内保持球形。基于这一假设，球形物体的阻力由以下公式 [385]（第 1079 页）确定：

$C_{d, sphere} = {0.424 \frac{24}{Re} (1 + \frac{1}{6} Re^{2/3}) Re > 1000 Re \leq 1000$

然而，当一个初始为球形的液滴在气体中移动时，其形状会在韦伯数较大时发生显著变形。在极端情况下，液滴的形状将趋近于圆盘状。然而，圆盘的阻力远高于球体。由于液滴的阻力系数高度依赖于液滴形状，假设液滴为球形的阻力模型并不令人满意。动态阻力模型考虑了液滴变形的影响，线性地在球体阻力（公式12.56，第459页）和对应于圆盘的1.54之间变化[385]（第1079页）。阻力系数由以下公式给出：

$C_{d} = C_{d, sphere} (1 + 2.632 y)$

其中， $y$ 表示液滴的形变，这一形变量是通过求解相关方程得到的。

$\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} = \frac{C _{F}}{C _{b}} \frac{ρ _{g}}{ρ _{l}} \frac{u ^{2}}{r ^{2}} - \frac{C _{k} σ}{ρ _{l} r ^{3}} y - \frac{C _{d} μ _{l}}{ρ _{l} r ^{2}} \frac{d y}{d t}$

在无畸变极限情况下（即 ( y = 0 )），将得到球体的阻力系数；而在最大畸变情况下（即 ( y = 1 )），将得到与圆盘相对应的阻力系数。

请注意，公式 12.58（第 460 页）是从描述喷雾破碎的泰勒类比破碎（TAB）模型中获得的，详见泰勒类比破碎（TAB）模型（第 555 页），但动态阻力模型可以与任一破碎模型一起使用。

12.3.6 密集离散相模型阻力定律

适用于密集气固流动的阻力定律包括：

温与余
吉达斯波
西姆拉尔-奥布莱恩
惠林-吉达斯波
吉比拉罗
EMMS
过滤双流体模型

这些相关性的详细理论背景以及何时使用每个模型的建议，可以在流体-固体交换系数（第 675 页）中找到（另见用户指南中的指定阻力函数）。所有这些相关性都考虑了群体效应，因此依赖于颗粒相体积分数。因此，这些阻力模型仅在计算 DPM 体积分数时可用，即与密集离散相模型结合使用时。

12.3.7 泡状流阻力定律

在足够小的颗粒雷诺数下（即气泡和液滴非常小），分散的液滴和气泡的行为与固体球形颗粒相同。因此，阻力系数可以通过席勒-瑙曼或亚历山大-莫尔西相关性很好地近似。

在较大的颗粒雷诺数下（惯性或畸变颗粒区域），表面张力效应变得重要。流体颗粒首先近似为椭球形，最终变为球帽形。

Ansys Fluent 中可用的稀疏分布分散液滴和气泡的阻力系数定律包括：

石井-朱伯阻力模型（第 460 页）[273]（第 1072 页）
格雷斯曳力模型（第461页）[111]（第1063页）

12.3.7.1 Ishii-Zuber曳力模型

粘性区域

在粘性区域中，分散的液滴和气泡的行为与固体球形颗粒相同。因此，曳力系数可以通过亚历山大-莫西相关关系很好地近似：

$C_{d, visc} = C_{d, sphere}$

(12.59)

扭曲粒子状态

在扭曲粒子状态下，阻力系数近似恒定，与雷诺数无关，但通过一个称为Eötvös数的无量纲群依赖于粒子形状，该数衡量重力与表面张力之间的比率：

$E o = \frac{g Δ ρ d _{p}^{2}}{σ}$

其中， $Δ ρ$ 表示相之间的密度差， $g$ 是重力加速度， $σ$ 是表面张力系数。

对于扭曲状态，Ishii-Zuber 关联式给出：

$C_{d, dist} = \frac{2}{3} E o$

(12.61)

球帽状区域

在球帽状区域中，阻力系数近似为：

$C_{d, cap} = \frac{8}{3}$

在较大颗粒雷诺数范围内，气泡阻力系数的计算方法如下：

$C_{d} = max (C_{d, visc}, min (C_{d, dist}, C_{d, cap}))$

(12.63)

12.3.7.2 Grace 曳力模型

粘性区

在粘性区，曳力系数的模型与Ishii-Zuber曳力模型（第460页）中的处理方式相同（见公式12.59，第461页）。

变形区

格雷斯曳力模型是为单个气泡流动而制定的。在此模型中，变形颗粒区的曳力系数由以下公式给出：

$C_{d, dist} = \frac{4}{3} \frac{g d _{p}}{u _{t}^{2}} \frac{Δ ρ}{ρ _{f}}$

其中， $u_{t}$ 是给定的终端速度，其表达式为：

$u_{t} = \frac{μ _{f}}{ρ _{f} d _{p}} M o^{(- 0.149)} (J - 0.857)$

其中， $M o$ 是通过以下公式计算的莫顿数：

$M o = \frac{μ _{f}^{4} g Δ ρ}{ρ _{f}^{2} σ ^{3}}$

以及

$J = {0.94 H^{0.757}, 3.42 H^{0.441}, if 2 < H \leq 59.3 if H > 59.3$

将下面的文本翻译成中文：

with

$H = \frac{4}{3} EoMo^{- 0.149} (\frac{μ _{f}}{μ _{f, ref}})^{- 0.14}$

此处， $μ_{f, ref} = 9.0 * 10^{- 4} [Pas]$ 表示在 $2 5^{\circ} C$ 和 1 巴压力下水的分子粘度。

在上式中，下标 $f$ 指的是连续相。

球帽区域

在球帽区域，阻力系数的建模方式与 Ishii-Zuber 阻力模型（第 460 页）（公式 12.63（第 461 页））相同。

12.3.8 旋转阻力定律

旋转阻力系数 $C_{ω}$ 适用于更高的旋转雷诺数 $R e_{ω}$ ，其中 $R e_{ω}$ 定义为：

$R e_{ω} = \frac{ρ _{f} Ω d _{p}^{2}}{4 μ _{f}}$

(12.66)

Ansys Fluent 采用了 Dennis 等人提出的旋转阻力系数 $C_{ω}$ 的相关性。

（[137]（第 1064 页））：

$C_{ω} = \frac{6.45}{R e _{ω}} + \frac{32.1}{R e _{ω}}$

方程12.67（第462页）的有效范围是： $20 \leq R e_{ω} \leq 1000$ 。