显式代数雷诺应力模型（EARSM）

显式代数雷诺应力模型 (EARSM) 是对标准两方程模型的扩展。它们源自雷诺应力输运方程，并给出了雷诺应力与平均应变率和张量涡度之间的非线性关系。由于包含了高阶项，许多流动现象可以在模型中得到体现，而无需为单个雷诺应力求解输运方程。WJ-BSL-EARSM 允许将基准 (BSL) $k$ - $ω$ 湍流模型扩展以捕捉以下流动效应：

雷诺应力的各向异性
二次流

有关启用 WJ-BSL-EARSM 模型的信息，请参阅 Fluent 用户指南中的设置 WJ-BSL-EARSM 模型。

BSL 模型在近壁区域融合了 $k$ - $ω$ 模型的稳健和准确公式，同时在远场保持了 $k - ε$ 模型的自由流独立性。BSL 模型由 Menter [428]（第 1081 页）开发，并在 Baseline (BSL) k-ω Model（第 65 页）中进行了描述。还有一个选项 $GEKO$ ，允许将 EARSM 与广义 $k - ω$ (GEKO) 模型结合（有关 GEKO 模型的更多信息，请参见 Generalized $k - ω$ (GEKO) Model（第 70 页））。

Ansys Fluent 中 EARSM 的实现基于 Wallin 和 Johansson [683]（第 1096 页）的显式代数雷诺应力模型。以下文本解释了与 Wallin 和 Johansson 原始公式之间的差异。

通过 EARSM，雷诺应力根据其定义从各向异性张量计算得出： $\overline{u_{i} u_{j}} = k (a_{ij} + \frac{2}{3} δ_{ij})$ 各向异性张量 $a_{ij}$ 作为以下隐式代数矩阵方程的解进行求解： $N a = - A_{1} S + (aΩ - Ωa) - A_{2} (aS - Sa - \frac{2}{3} tr {aS}), with N = A_{3} + A_{4} (P_{k} / ε) (4.220)$ 该矩阵方程中的系数 $A_{i}$ 取决于基础雷诺应力输运模型中压力-应变项的 $C_{i}$ 系数。在此，它们的取值选定为 $A_{1} = 1.245$ ， $A_{2} = 0$ ， $A_{3} = 1.8$ ， $A_{4} = 2.25$ 。

$A_{2}$ 、 $A_{3}$ 和 $A_{4}$ 的取值与 Wallin 和 Johansson [683]（第 1096 页）原始模型中所用的数值相同。至于 $A_{1}$ 的值，在结合 BSL $k - ω$ 模型校准 EARSM 的过程中，从 1.2 增加到了 1.245。

$S_{ij}$ 和 $Ω_{ij}$ 分别表示无量纲应变率张量和涡量张量。它们的定义如下： $S_{ij} = \frac{1}{2} τ (\frac{\partial U _{i}}{\partial x _{j}} + \frac{\partial U _{j}}{\partial x _{i}}) (4.221)$ $Ω_{ij} = \frac{1}{2} τ (\frac{\partial U _{i}}{\partial x _{j}} - \frac{\partial U _{j}}{\partial x _{i}}) (4.222)$ 时间尺度 $τ$ 由以下公式给出： $τ = k / ε = 1/ (C_{μ} ω), C_{μ} = 0.09 (4.223)$ 为了求解方程4.220（第94页）的显式解，各向异性张量基于应变率张量和涡量张量被表达为一个多项式，具体如下： $a_{ij} = β_{1} S_{ij} + β_{3} (Ω_{ik} Ω_{kj} - \frac{1}{3} I I_{Ω} δ_{ij}) + β_{4} (S_{ik} Ω_{kj} - Ω_{ik} S_{kj}) (4.224)$ $+ β_{6} (S_{ik} Ω_{k l} Ω_{l j} + Ω_{ik} Ω_{k l} S_{l j} - \frac{2}{3} I V δ_{ij} - I I_{Ω} S_{ij})$ $β$ 系数评估结果如下： $β_{1} = - N / Q$ $β_{3} = - 12 \cdot I V / (N \cdot Q \cdot (2 N^{2} - I I_{Ω}))$ $β_{4} = - 1/ Q$ $β_{6} = - 6 \cdot N / (Q \cdot (2 N^{2} - I I_{Ω}))$ 分母 $Q$ 为： $Q = (N^{2} - 2 I I_{Ω}) / A_{1}$ 各向异性张量及其系数公式中出现的那些不变量，其定义如下： $I I_{S} = S_{k l} S_{l k}$ $I I_{Ω} = Ω_{k l} Ω_{l k}$ $I V = S_{k l} Ω_{l m} Ω_{mk}$ 各向异性张量方程4.224（第95页）的模型表示及其系数 $β_{i}$ 遵循Wallin和Johansson [683]（第1096页）的原始模型，但有两个差异。首先，在方程4.224（第95页）中忽略了四阶张量多项式贡献（即 $β_{9} (ΩS Ω^{2} - Ω^{2} SΩ)$ 项）。其次，根据Apsley和Leschziner [23]（第1058页）的建议，为了方便起见，张量基稍作改变。尽管张量基发生了变化，但该模型在代数上仍然等价于Wallin和Johansson的原始模型。后者的改变导致系数 $β_{i}$ 的表达式相应改变。

在三维流动中，待求解的函数 $N$ 的方程是六阶的，无法得到显式解，而在二维平均流动中，函数 $N$ 可以从一个三次方程中导出，Wallin和Johansson [683]（第1096页）建议对于三维情况也采用该三次方程的解析解： $N = ⎩ ⎨ ⎧ A_{3} /3 + (P_{1} + P_{2})^{1/3} + sign (P_{1} - P_{2}) P_{1} - P_{2}^{1/3} A_{3} /3 + 2 (P_{1}^{2} - P_{2})^{1/6} cos (\frac{1}{3} arccos (\frac{P _{1}}{P _{1}^{2} - P _{2}})) for P_{2} \geq 0 for P_{2} < 0 (4.225)$ 式中 $P_{1} = (\frac{A _{3}^{2}}{27} + \frac{A _{1} A _{4}}{6} II_{S} - \frac{2}{3} II_{Ω}) \cdot A_{3}$ $P_{2} = P_{1}^{2} - (\frac{A _{3}^{2}}{9} + \frac{A _{1} A _{4}}{3} I I_{S} + \frac{2}{3} I I_{Ω})^{3}$ 在Wallin和Johansson [683]（第1096页）的原始模型中，传输方程中 $k$ 和 $ω$ 的扩散项是利用EARSM的有效涡流粘度 $μ_{t}^{e ff} = (C_{μ}^{e ff} / C_{μ}) \cdot k / ω$ 计算的，其中 $C_{μ}^{e ff} = - β_{1} /2$ 。在Ansys Fluent中实现的EARSM模型使用标准涡流粘度 $μ_{t} = k / ω$ 来计算扩散项。这一模型变化有助于避免Hellsten [237]（第1070页）报告的边界层边缘的渐近行为问题。

当与BSL模型结合使用时，会采用基础BSL $k$ - $ω$ 模型的标准系数。当与GEKO模型结合使用时，EARSM模型则使用GEKO模型的系数。