对于所有流动，Fluent 求解动量守恒方程以确保质量的守恒。涉及热传递或可压缩性的流动，还需额外求解能量守恒方程。涉及组分混合或反应的流动，则求解组分守恒方程；若采用非预混燃烧模型，则求解混合分数及其方差的守恒方程。当流动为湍流时，还需要求解额外的湍流输运方程。

在本节中，我们将介绍在惯性（非加速）参考系下层流流动的守恒方程。适用于运动参考系的方程将在《运动参考系中的流动》（第19页）中呈现。与热传递、湍流建模和组分传输相关的守恒方程将在描述这些模型的章节中进行讨论。

针对无粘流动求解的欧拉方程在《无粘流动》（第15页）中有所阐述。

1.2.1 质量守恒方程

质量守恒方程，又称连续性方程，可以表述如下：

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \left(\rho \vec{v}\right)=S_m\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

方程1.1为质量守恒方程的一般形式，其适用于不可压缩流体和可压缩流体。源项$S_m$表示从分散的次相加入连续相的质量（例如，由于液滴蒸发）以及任何用户定义的源项。

对于二维轴对称几何模型，连续方程可表示为：

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}\left(\rho v_x\right)+\frac{\partial }{\partial r}\left(\rho v_r\right)+\frac{\rho v_r}{r}=S_m\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

式中$x$ 为轴向坐标，$r$ 为径向坐标，$v_x$ 为轴向速度，而 $v_r$ 为径向速度。

1.2.2 动量守恒方程

在惯性（非加速）参考系中，动量守恒由 [47]描述。

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho \vec{v}\right)+\nabla \cdot \left(\rho \vec{v}\vec{v}\right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left(\overline{\overline{\tau }}\right)+\rho \vec{g}+\vec{F}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

其中，$p$ 为静压，$\overline{\bar{\tau }}$ 为应力张量（如下所述），而 $\rho \vec{g}$ 和 $\vec{F}$ 分别代表重力体积力和外部体积力（例如由与分散相相互作用产生的力）。$\vec{F}$ 还包含其他模型依赖的源项，如多孔介质和用户定义的源项。

应力张量 $\overline{\bar{\tau }}$ 由以下式给出：

$$\overline{\overline{\tau }}=\mu \left[\left(\nabla \vec{v}+\nabla {\vec{v}}^T\right)-\frac{2}{3}\nabla \cdot \vec{v}I\right]\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

其中，$\mu$ 为分子粘度，$I$ 为单位张量，右侧第二项代表体积膨胀效应。

对于二维轴对称几何形状，轴向和径向的动量守恒方程分别为

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho v_x\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial x}\left(r\rho v_x{v}_x\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\rho v_r{v}_x\right)& =-\frac{\partial p}{\partial x}\\ & +\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial x}\left[r\mu \right[2\frac{\partial v_x}{\partial x}-\frac{2}{3}(\nabla \cdot \vec{v})\left]\right]\\ & +\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left[r\mu \right[\frac{\partial v_x}{\partial r}+\frac{\partial v_r}{\partial x}\left]\right]+F_x\end{array}\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

及

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho v_r\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial x}\left(r\rho v_x{v}_r\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\rho v_r{v}_r\right).& =-\frac{\partial p}{\partial r}\\ & +\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial x}\left[r\mu \left(\frac{\partial v_r}{\partial x}+\frac{\partial v_x}{\partial r}\right)\right]\\ & +\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left[r\mu [2\frac{\partial v_r}{\partial r}-\frac{2}{3}(\nabla \cdot \vec{v})]\right]\\ & -2\mu \frac{v_r}{r^2}+\frac{2}{3}\frac{\mu }{r}\left(\nabla \cdot \vec{v}\right)+\rho \frac{v_z^2}{r}+F_r\end{array}\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

式中

$$\nabla \cdot \vec{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_r}{\partial r}+\frac{v_r}{r}\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

其中，$v_z$ 为旋转速度。（有关轴对称旋流的建模信息，请参阅《旋流与旋转流动》第9页。）