在考虑线性弹性结构模型时，假设了应变与位移之间的线性关系。这种假设仅在位移概念较小时才适用。相反，大位移意味着初始几何形状的显著变化，因此必须在求解算法中引入几何非线性（参见 Bhatti [59]（第 1060 页）以获取更多详细信息）。

16.5.1 有限元几何非线性

非线性弹性结构模型考虑了几何非线性，以模拟大变形。在大变形情况下，参考构型基于初始构型，并且所有量都采用总拉格朗日公式进行表述。因此，刚度矩阵成为位移的函数。这种公式中的主要概念之一是引入变形梯度公式，这是在大位移公式中描述应变的主要工具。

总之，非线性弹性结构模型的主要概念包括：

• 大应变

• 刚度矩阵是位移的函数

• 应变与位移之间的非线性关系

• 总拉格朗日公式

初始状态与变形状态之间的关系表示为：

从数学上讲，变形通过变形张量表示：

$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial x^0}& \frac{\partial x}{\partial y^0}& \frac{\partial x}{\partial z^0}\\ \frac{\partial y}{\partial x^0}& \frac{\partial y}{\partial y^0}& \frac{\partial y}{\partial z^0}\\ \frac{\partial z}{\partial x^0}& \frac{\partial z}{\partial y^0}& \frac{\partial z}{\partial z^0}\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(16.22)}$$

16.5.2 有限元非线性离散化

几何非线性离散化的主要任务是构建刚度矩阵。节点位移增量的求解方程的整体离散化基于切线单元方程：

$$\left(K^C+K^S\right)\Delta u=R_i\text{\hspace{1em}(16.23)}$$

在前述方程中，总刚度矩阵由两个部分构成：当前刚度矩阵和应力刚度矩阵。当前刚度矩阵定义为：

$$K^C=\int B^{T}FC{F}^{T}Bd{V}^0\text{\hspace{1em}(16.24)}$$

应力（几何）刚度矩阵定义如下：

$$K^S=\int B^{T}SBd{V}^0\text{\hspace{1em}(16.25)}$$

在哪儿

$$R_i=\text{the nodal load vector}$$

$B=$ 应变-位移矩阵

$F=$ 变形梯度矩阵

$C=$ 本构矩阵

$S=$ 第二皮奥拉-基尔霍夫应力张量

$dV=$ 单元体积

16.5.3 本构方程

为了完全封闭有限元非线性离散化（第832页）中概述的方程，必须定义一个本构方程，以确定应力与应变之间的关系。对于大位移问题，假设格林-拉格朗日应变与第二皮奥拉-基尔霍夫应力之间存在某种关系。因此，可以定义一阶张量形式为：

$$C_{ijkl}=\frac{\partial S_{ij}}{\partial {\epsilon }_{kl}}\text{\hspace{1em}(16.26)}$$

向量矩阵形式如下：

$$S=C\epsilon \text{\hspace{1em}(16.27)}$$

第二类皮奥拉-基尔霍夫应力矢量定义如下：

$$S={\left(S_{xx}{S}_{yy}{S}_{zz}{S}_{xy}{S}_{yz}{S}_{zx}\right)}^T\text{\hspace{1em}(16.28)}$$

格林-拉格朗日应变矢量定义如下：

$$\epsilon ={\left({\epsilon }_{xx}{\epsilon }_{yy}{\epsilon }_{zz}{\epsilon }_{xy}{\epsilon }_{yz}{\epsilon }_{zx}\right)}^T\text{\hspace{1em}(16.29)}$$

构成矩阵 $\mathrm{C}$ 将形成一个 $6\times 6$ 的矩阵张量。此处不涉及大应变情况下构成矩阵的完整推导，但我们仅指出，默认情况下使用可压缩的超弹性 Neo-Hookean 材料作为非线性弹性的模型。Neo-Hookean 模型因其通用性以及作为通常线性各向同性模型（胡克定律）向大变形的自然延伸而被首选。

16.5.4 非线性系统的瞬态方案

非线性系统的默认瞬态方案与线性弹性所用的方案相同：Newmark 方法。非线性系统瞬态运动的半离散方程给出如下：

$$\left[M\right]\left\{{\ddot{u}}_{n+1}\right\}+\left[C\right]\left\{{\dot{u}}_{n+1}\right\}+\left\{F_{n+1}^i\left(\left\{u_{n+1}\right\}\right)\right\}=\left\{F_{n+1}^a\right\}\text{\hspace{1em}(16.30)}$$

需要注意的是，内部载荷 $\left\{F_{n+1}^i\left(\left\{u_{n+1}\right\}\right)\right\}$ 依赖于当前时刻 $t_{n+1}$ 的位移 $\left\{u_{n+1}\right\}$。通过牛顿-拉弗森方法，可以将上述方程线性化，得到以下形式：

$$\left[\left(a_0\left[M\right]+a_1\left[C\right]\right)+\left[K_{n+1}^T\left(\left\{u_{n+1}^k\right\}\right)\right]\right]\left\{\Delta u_{n+1}^k\right\}=\left\{R_{n+1}\left(\left\{u_{n+1}^k\right\}\right)\right\}\text{\hspace{1em}(16.31)}$$

$\left\{R_{n+1}\left(\left\{u_{n+1}^k\right\}\right)\right\}=$ 残差向量

$\left\{\Delta u_{n+1}^k\right\}=$ 位移增量

$\left[K_{n+1}^T\left(\left\{u_{n+1}^k\right\}\right)\right]=$ 切线刚度矩阵

以及

$$a_0=\frac{1}{\alpha \Delta t^2}\text{\hspace{1em}(16.32)}$$

$$a_1=\frac{\delta }{\alpha \Delta t}\text{\hspace{1em}(16.33)}$$

相同的逻辑也适用于与非线性弹性模型结合使用的后向欧拉方案。