本节介绍了Ffowcs Williams和Hawkings模型、波动方程模型以及宽带噪声源模型的理论背景。

本节分为以下几个部分：

11.2.1. Ffowcs Williams和Hawkings模型

11.2.2. 波动方程模型

11.2.3. 宽带噪声源模型

11.2.1 Ffowcs Williams和Hawkings模型

Ffowcs Williams和Hawkings（FW-H）方程本质上是一个非齐次波动方程，可以通过操纵连续性方程和纳维-斯托克斯方程推导出来。FW-H [79]（第1061页），[178]（第1067页）方程可以写为：

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{a_0^2}\frac{{\partial }^2{p}^{\prime }}{\partial t^2}-{\nabla }^2{p}^{\prime }& =\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}\{T_{ij}H(f)\}\\ & -\frac{\partial }{\partial x_i}\{[P_{ij}{n}_j+\rho u_i(u_n-{\nu }_n)]\delta (f)\}\\ & +\frac{\partial }{\partial t}\left\{\left[{\rho }_{{}_0}{\nu }_{{}_n}+\rho \left(u_{{}_n}-{\nu }_{{}_n}\right)\right]\delta \left(f\right)\right\}\end{array}\text{\hspace{1em}(11.1)}$$

$u_i=$ 流体在 $x_i$ 方向的速度分量

$u_n=$ 流体在表面 $f=0$ 法线方向的速度分量

$v_i=$ 表面在 $x_i$ 方向的速度分量

$v_n=$ 表面在法线方向的速度分量

$\delta \left(f\right)=$ 狄拉克δ函数

$H\left(f\right)=$ 赫维赛德函数

$p^{\prime }$ 是远场的声压（ $p^{\prime }=p-p_0$ ）。$f=0$ 表示引入的一个数学表面，用于“嵌入”外部流动问题（ $f>0$ ）到无界空间中，这有助于利用广义函数理论和自由空间格林函数来求解。表面（ $f=0$ ）对应于源（发射）表面，可以与物体（不透水）表面重合，或者位于物体表面的透水表面。$n_i$ 是指向外部区域（ $f>0$ ）的单位法向矢量，$a_0$ 是远场声速，$T_{ij}$ 是莱特希尔应力张量，定义为

$$T_{ij}=\rho u_i{u}_j+P_{ij}-a_0^2\left(\rho -{\rho }_0\right){\delta }_{ij}\text{\hspace{1em}(11.2)}$$

$P_{ij}$ 表示压缩应力张量。对于斯托克斯流体，该张量由以下公式给出：

$$P_{ij}=p{\delta }_{ij}-\mu \left[\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\frac{\partial u_k}{\partial x_k}{\delta }_{ij}\right]\text{\hspace{1em}(11.3)}$$

自由流量的量用下标 $0$ 表示。

在自由空间流动且声源与接收器之间无障碍物的假设下，波动方程（方程 11.1，第 434 页）可以进行解析积分。完整的解包括面积分和体积分。面积分表示单极子和偶极子声源的贡献，以及部分四极子声源的贡献，而体积分则表示源表面外区域的四极子（体积）源。当流动为低亚音速且源表面包围源区域时，体积分的影响变得很小。在 Ansys Fluent 中，体积分被省略。因此，我们有

$$p^{\prime }\left(\overrightarrow{x},t\right)=p_T^{\prime }\left(\overrightarrow{x},t\right)+p_L^{\prime }\left(\overrightarrow{x},t\right)\text{\hspace{1em}(11.4)}$$

以下文本的中文翻译：

$$\begin{array}{rl}4\pi p_T^{\prime }(\vec{x},t)& ={\int }_{f=0}\left[\frac{{\rho }_0({\dot{U}}_n+U_{\dot{n}})}{r(1-M_r{)}^2}\right]dS\\ & +{\int }_{f=0}\left[\frac{{\rho }_0{U}_n\{r{\dot{M}}_r+a_0(M_r-M^2)\}}{r^2(1-M_r{)}^3}\right]d\end{array}\text{\hspace{1em}(11.5)}$$

$$\begin{array}{rl}4\pi p_L^{\prime }(\vec{x},t)& =\frac{1}{a_0}{\int }_{f=0}\left[\frac{{\dot{L}}_r}{r(1-M_r{)}^2}\right]dS\\ & +{\int }_{f=0}\left[\frac{L_r-L_M}{r^2{\left(1-M_r\right)}^2}\right]dS\\ & +\frac{1}{a_0}{\int }_{f=0}\left[\frac{L_r\{r{\dot{M}}_r+a_0(M_r-M^2)\}}{r^2(1-M_r{)}^3}\right]dS\end{array}\text{\hspace{1em}(11.6)}$$

这里

$$U_i=v_i+\frac{\rho }{{\rho }_0}\left(u_i-v_i\right)\text{\hspace{1em}(11.7)}$$

$$L_i=P_{ij}{\hat{n}}_j+\rho u_i\left(u_n-v_n\right)\text{\hspace{1em}(11.8)}$$

当积分面与不可穿透的墙壁重合时，方程11.4（第435页）右侧的两项，即$p_T^{\prime }\left(\overrightarrow{x},t\right)$和$p_L^{\prime }\left(\overrightarrow{x},t\right)$，通常根据其物理意义分别被称为厚度和载荷项。方程11.5（第435页）和方程11.6（第435页）中的方括号表示积分核在相应的延迟时间$\tau$处计算，该延迟时间$\tau$定义如下，给定接收器时间$t$和到接收器的距离$r$。

$$\tau =t-\frac{r}{a_0}\text{\hspace{1em}(11.9)}$$

方程11.5（第435页）和方程11.6（第435页）中出现的各种下标量是向量与由下标隐含的单位向量的内积。例如，$L_r=\overrightarrow{L}\cdot \hat{\overrightarrow{r}}=L_i{r}_i$ 和 $U_n=\overrightarrow{U}\cdot \overrightarrow{n}=U_i{n}_i$，其中 $\overrightarrow{r}$ 和 $\overrightarrow{n}$ 分别表示辐射方向和壁面法线方向的单位向量。方程11.5（第435页）和方程11.6（第435页）中的马赫数向量 $M_i$ 与积分面的运动有关：$M_i=v_i/a_o$。$L_M$ 量是标量积 $L_i{M}_i$。变量上的点表示对该变量的源时微分。

在计算物体周围外部流动引起的气动声时，必须启用对流效应选项（参见用户指南中的设置模型常数），并额外指定远场流体速度向量 ${\overrightarrow{V}}_{\text{conv}}$。此选项与实际情境相关，如飞行测试（麦克风安装在飞机上）或风洞测量（麦克风安装在风洞核心流动区域）。

考虑到对流效应，退行时间计算变得比方程11.9（第435页）的简单形式更为复杂。如图11.1所示：对流效应对退行时间计算的示意图（第436页），有效声传播速度 $a_{\theta }$ 在上游半球低于 $a_0$，在下游半球高于 $a_0$，其中 $\theta$ 是从上游方向计数到接收器的方向角。根据图11.1：对流效应对退行时间计算的示意图（第436页），考虑到对流效应的退行时间必须计算为

$$\tau =t-r/a_{\theta },a_{\theta }=\sqrt{a_0^2-V_{\text{conv }}^2{\sin }^2\theta }-V_{\text{conv }}\cos \theta \text{\hspace{1em}(11.10)}$$

对流效应选项的一个明显限制是远场对流必须是亚音速的$\left(V_{\text{conv }}<a_0\right)$。

图11.1：滞后时间计算中对流效应的示意图

关于FW-H积分解适用性的以下备注：

• Ansys Fluent中的FW-H公式可以处理旋转表面以及静止表面。

• 不需要表面$f=0$与物体表面或壁面重合。该公式允许源表面是可渗透的，因此可以放置在流动内部。

• 当可渗透源表面（无论是内部的或非共形滑动界面）放置在物体表面一定距离处时，由公式11.5（第435页）和

公式11.6（第435页）给出的积分解包括源表面所包围区域内四极源的贡献。当使用可渗透源表面时，网格分辨率必须足够精细以解析可渗透表面所包围体积内的瞬态流动结构。

11.2.2 波动方程模型

与Ffowcs Williams和Hawkings（FW-H）积分模型类似，该基于波动方程有限体积求解器的模型从背景流动计算中获取有关声源的信息，该背景流动产生声音。与在选定接收位置计算声信号的FW-H模型不同，波动方程模型可以在整个模拟域中传递声场。从这个意义上说，该模型类似于直接模拟方法（参见直接方法（第431页））。然而，与直接模拟不同，波动方程模型允许您在流动压力之外单独看到声压的分布。

11.2.2.1 限制

以下限制适用：

• 在低马赫数下，背景流必须是单一相态，且密度或声速无显著变化。

• 波动方程忽略了对流效应。

• Fluent 的二维轴对称版本不受支持。

• 瞬态方案必须采用隐式方案，并启用第二阶或带限第二阶（不支持显式方案和流体求解器的第一阶隐式时间方案）。

• 计算域和网格必须保持静止。不支持网格和框架运动。

• 不支持重叠网格。

• 不能使用类型为 DEFINE_INIT 的用户自定义函数来初始化波动方程模型。请改用 DEFINE_ON_DEMAND 函数。

11.2.2.2 控制方程与边界条件

针对声势 $\phi$，波动方程的形式如下：

$$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}-c^2{\nabla }^2\phi =\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial t}{p}_{\text{flow }}\text{\hspace{1em}(11.11)}$$

其中，$p_{\text{flow }}$ 表示流动静压的局部瞬时值，$\rho$ 为恒定流体密度，$c$ 为恒定声速。

在低马赫数情况下，声波的对流传输可以忽略不计，因此声压 $p^{\prime }$ 可根据声势采用简化的关系式进行计算：

$$p^{\prime }=-\rho \frac{\partial \phi }{\partial t}\text{\hspace{1em}(11.12)}$$

在 Fluent 中，目前可用于波动方程的边界条件类型如下：

• 墙壁：所有墙壁均被视为声学硬壁，理想情况下反射声音。

• 渗透性边界（入口、出口、远场边界）：这些边界采用无反射条件处理。

• 对称和周期性边界。

对于波动方程模型，阻抗边界条件尚不可用。

声学模型可以使用非一致固定网格接口。然而，在这些接口上可能创建的局部墙壁区域，用于处理显著的几何错位，会反射声音并可能强烈影响声学解。因此，建议避免这种非物理墙壁，除非它们被海绵区域覆盖。

11.2.2.3 数值求解方法

方程 11.11（第 437 页）中的拉普拉斯项在空间上采用与 Fluent 中应用于流动方程扩散项相同的有限体积程序进行离散化。

解的时间传播采用 Hilber、Hughes 和 Taylor 提出的 $\alpha$ 方法，该方法也用于 Mechanical APDL 的瞬态分析，并在《Ansys Mechanical APDL 理论参考》第 15.2.2.1 节“线性系统的时间积分方案”中有所记载。这种方法是广受欢迎的 Newmark 算法的先进变体，用于数值积分具有由二阶时间导数表示的领先瞬态项的演化方程，如方程 11.11（第 437 页）中的波动方程。它结合了二阶精度与良好的稳定性。

11.2.2.4 防止声波的非物理反射

以下部分详细介绍了一些策略和考虑因素，以防止对解的准确性有很大影响的声波非物理反射。

11.2.2.4.1 网格质量

波动方程的数值解对网格中任何大小与声波波长相当或更大的非均匀性极为敏感。通常建议预防此类非均匀性，并且在进行频域声学谐波分析时，更容易估计网格中危险非均匀性的大小。对于时域气动声学模拟，由于湍流中涡声的宽带特性，估计网格质量标准并不容易。通常，尺度解析模拟会解析到网格单元大小的波动，但如何估计网格非均匀性的危险大小可能并不明显。时域气动声学模拟的结果在高频部分往往精度较低，这是由于短波在这些非均匀性处的反射和散射造成的。这些不准确性可以通过本节下面描述的数值程序来减少。尽管如此，气动声学模拟对网格质量的要求仍然高于类似配置下的不可压缩流动模拟。建议预先估计感兴趣的频率范围，并在该范围内每波长分配12个或更多的网格单元。

11.2.2.4.2 声源项的滤波

在处理声源项时，滤波技术可以有效地减少数值噪声和提高计算精度。通过应用适当的滤波方法，可以确保声源项的贡献在模拟中得到准确且稳定的体现，从而改善整体模拟结果的质量。

在空间和时间上对公式11.11（第437页）的源项进行了两种滤波处理：空间上采用二阶显式线性滤波器抑制奇偶空间振荡，时间上采用高阶显式滤波器抑制源频谱的高频部分。空间滤波器始终处于激活状态，只能通过更改rp变量来关闭。至于时间滤波器，有一个图形和文本用户界面可以激活或停用它。建议保持时间滤波器处于激活状态，这是默认设置。

11.2.2.4.3 声源项在时间和空间上的渐变与限制（掩蔽）

声波方程模型应在非定常流动解稳定建立后激活。这意味着需要先停止流动模拟，然后开启波动方程求解器继续模拟。然而，波动方程中声源项的突然激活可能会产生高幅度的非物理解扰动，这些扰动可能在域内持续很长时间。为避免这种情况，波动方程求解器中采用了缓慢的源项渐变方法，用户以时间步数指定渐变持续时间。估计这一持续时间的常见规则是使其等于低频声音的一个或几个周期，这些低频声音显著且需要得到良好解析。在渐变期间，源项预乘以一个因子，该因子从零到一平滑增长。

提高解质量的另一个措施是对声源区域进行限制（掩蔽），其目的有二：

• 仅允许湍流流动区域中已知解得到良好解析的部分产生声音。

11.2.2.4.4 利用人工粘性在海绵区域中阻尼解

应用海绵区域有助于避免以下情况下的非物理声反射：

• 在开放边界处，即使使用了无反射边界条件，如果声波传播方向与边界表面不垂直，仍可能存在有限的反射。

• 在大尺寸计算域中，通常需要在与声源相反的方向上扩大网格单元尺寸。来自扩展网格层的反射，尤其是来自内部网格界面的反射，可能会对声学解的质量产生负面影响。建议避免此类网格扩展和界面，这些扩展和界面会在重要声频的声学关注区域内创建过于粗糙的网格。在此区域外，网格不规则性应由海绵区域覆盖。与声源屏蔽区域类似，海绵区域的边界通过用户指定的过渡厚度进行平滑处理。

通过在方程11.11（第437页）中添加一个人工粘性项来实现波动方程解的阻尼，该人工粘性项的形式与物理粘性项相同。人工粘性值的选择取决于局部网格分辨率。在用户指定的海绵区域内，采用默认的无量纲人工粘性系数$v=1$的粘性项，经过优化，能最有效地阻尼波长等于两个单元尺寸的最短可解析波。如果需要对较长波进行更强的阻尼，可以通过两个参数$C$和$\delta$来增加人工粘性。

$$v\left(\mathbf{r}\right)=C\cdot f\left(\mathbf{r}\right)+\delta \text{\hspace{1em}(11.13)}$$

其中，$f\left(\mathbf{r}\right)$ 是依赖于位置的海绵层标记，其值在零和一之间变化。

参数 $\delta$ 是人工粘性的基础水平，用于在整个声学区域内平滑解，这意味着海绵区域以外的区域也会受到此基础水平的阻尼。阻尼参数的默认值为 $C=1$ 和 $\delta =0.1$。

11.2.2.5 基尔霍夫积分

Fluent中的声波方程模型主要用于模拟中程范围内的声传播。这个范围涵盖了声源和非均匀流场，其中也可能存在反射声的固体障碍物。在许多实际应用中，需要计算远距离目标位置的感知声信号。通过开放空间的声传播，其中流体要么静止要么均匀移动，可以使用基尔霍夫表面积分来计算。

11.2.2.5.1 兼容性和限制

基尔霍夫积分模型是对波动方程模型的补充，可以在使用波动方程模型时应用。当前的波动方程模型可以应用于瞬态单相流模拟，当背景流不引起密度变化时（推荐使用恒定密度流体模型）。

基尔霍夫模型的限制，对应于Fluent中波动方程模型的限制，包括：

• 未包括对流效应，这意味着远场流体必须静止。

• 不支持积分表面的运动（特别是其旋转）。

基尔霍夫模型当前实现的额外限制包括：

• 仅实现了3D变体。

• 只能使用单个表面进行积分。复杂表面可以构建为相应定义的标量场的等值面。

• 不支持周期性。

• 不支持移动接收器。

• 该模型仅适用于“即时”模式，这意味着在每个时间步之后，瞬态模拟期间会计算下一组信号样本。目前没有

类似于 Ffowcs Williams 和 Hawkings 模型的“读取并计算”模式，其中瞬态数据在模拟期间导出，Fluent 在模拟结束后执行单一的后处理操作来计算声波传播到远程接收器。

11.2.2.5.2 数学公式

由于波动方程模型的线性及其通过基尔霍夫的积分解，可以为任何声学场变量写出表面积分。由于当前实现的波动方程模型使用声势作为主要变量，因此基尔霍夫积分直接应用于势：

$$\phi \left(\mathbf{x},t\right)=\frac{1}{4\pi }\iint \left[\left({\mathbf{e}}_{\mathrm{R}}\cdot \mathbf{n}\right)\left(\frac{\partial \phi /\partial \tau }{cR}+\frac{\phi }{R^2}\right)-\frac{\partial \phi /\partial \mathrm{n}}{R}\right]dS\text{\hspace{1em}(11.14)}$$

其中，$\mathbf{x}$ 和 $t$ 分别表示接收器的坐标和接收时间，$\tau$ 为发射（推迟）时间，$R$ 是从积分面上的某一点到接收器的距离，${\mathbf{e}}_{\mathbf{R}}$ 是朝向接收器的单位向量，$\mathbf{n}$ 是表面外向单位法向量，$c$ 为声速。积分面上的每个微小面片在其自身的推迟时间 $\tau =t-R/c$ 上对积分做出贡献。在公式 11.14（第 441 页）中，积分是在用户指定的表面上进行的，理论上该表面必须是封闭的。然而，在实践中，当基尔霍夫声源（公式 11.14（第 441 页）中积分下的函数）在表面的某部分未知或可忽略时，会应用非封闭的积分表面。一个例子是用于计算横流中长圆柱体产生的声波的没有端面的长圆柱形表面。另一个例子是放置在管道或管道出口周围的球形表面，用于计算从孔口辐射的声波。在后一种情况下，被管道或管道覆盖的球面部分在积分中被省略。

在所有接收器上累积了预定持续时间的声势样本后，声压信号 $p\left(t\right)$ 在每个接收器上计算如下：

$$p\left(t\right)=-\rho \frac{\partial \phi }{\partial t}\text{\hspace{1em}(11.15)}$$

11.2.3 宽带噪声源模型

11.2.3.1 Proudman公式

Proudman [536]（第1088页）利用Lighthill的声学类比，推导出了无平均流动的各向同性湍流产生的声功率公式。最近，Lilley [375]（第1078页）通过考虑Proudman原始推导中忽略的推迟时间差，重新推导了该公式。两种推导都得到了各向同性湍流单位体积产生的声功率（以${\text{W/m}}^3$为单位）。

$$P_A=\alpha {\rho }_{{}_0}\left(\frac{U^3}{\ell }\right)\frac{U^5}{a_0^5}\text{\hspace{1em}(11.16)}$$

其中，$u$ 和 $\ell$ 分别表示湍流速度和长度尺度，而 $a_0$ 是声速。在公式 11.16（第 441 页）中，$\alpha$ 是一个模型常数。根据 $k$ 和 $\epsilon$，公式 11.16（第 441 页）可以重写为

$$P_A={\alpha }_{\epsilon }{\rho }_0\epsilon M_t^5\text{\hspace{1em}(11.17)}$$

以下文本的中文翻译：

哪里

$$M_t=\frac{\sqrt{2k}}{a_0}\text{\hspace{1em}(11.18)}$$

在Ansys Fluent中，根据Sarkar和Hussaini [567]（第1090页）对各向同性湍流进行直接数值模拟的校准，重新调整的常数${\alpha }_{\epsilon }$被设定为0.1。

Ansys Fluent还能够报告声功率，单位为$\mathrm{dB}$，该声功率是根据...计算得出的。

$$L_P=10\log \left(\frac{P_A}{P_{\text{ref }}}\right)\text{\hspace{1em}(11.19)}$$

其中 $P_{\text{ref }}$ 是参考声功率（默认值为 $P_{\text{ref }}={10}^{-12}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^3$）。

Proudman 公式提供了一个在给定湍流场中单位体积对总声功率的局部贡献的近似度量。然而，在解释结果时，应谨慎考虑推导过程中所做的假设，例如高雷诺数、小马赫数、湍流的各向同性以及零平均运动。

11.2.3.2 喷流噪声源模型

这种轴对称喷流的源模型基于 Goldstein [210]（第 1069 页）的工作，他修改了 Ribner [555]（第 1089 页）最初提出的模型，以更好地考虑轴对称湍流喷流中湍流的各向异性。

在 Goldstein 的模型中，从湍流喷流的单位体积发出的总声功率是通过计算得出的。

$$P_A\left(\overrightarrow{y}\right)={\int }_{2\pi }^0{\int }_{\pi }^0\left(r,\theta ;\overrightarrow{y}\right)r^2\sin \theta d\theta d\psi =2\pi r^2{\int }_{\pi }^0\left(r,\theta ;\overrightarrow{y}\right)\sin \theta d\theta \text{\hspace{1em}(11.20)}$$

其中，$r$ 和 $\theta$ 分别表示接收器位置的径向和角度坐标，而 $I\left(r,\theta ;\overrightarrow{y}\right)$ 则表示由喷流定义的单位体积内的定向声强。

$$I\left(r,\theta ;\overrightarrow{y}\right)=\frac{12{\rho }_0{\omega }_f^4{L}_1{L}_2^2{\overline{u_{t1}^2}}^2}{5\pi a_0^5{r}^2}\frac{D_{\text{self }}}{C^5}+\frac{24{\rho }_0{\omega }_f^4{L}_1{L}_2^4\overline{u_{t1}^2}}{\pi a_0^5{r}^2}{\left(\frac{\partial U}{\partial r}\right)}^2\frac{D_{\text{shear }}}{C^5}\text{\hspace{1em}(11.21)}$$

方程11.21（第442页）中的$C$是经修正的对流因子，定义为

$$C=1-M_c\cos \theta \text{\hspace{1em}(11.22)}$$

以及

$$D_{self}=1+2\left(\frac{M}{9}-N\right){\cos }^2\theta {\sin }^2\theta +\frac{1}{3}\left[\frac{M^2}{7}+M-1.5N\left(3-3N+\frac{1.5}{{\Delta }^2}-\frac{{\Delta }^2}{2}\right)\right]{\sin }^4\theta \text{\hspace{1em}(11.23)}$$

$$D_{\text{shear }}={\cos }^2\theta \left[{\cos }^2\theta +\frac{1}{2}\left(\frac{1}{{\Delta }^2}-2N\right){\sin }^2\theta \right]\text{\hspace{1em}(11.24)}$$

其余参数定义如下：

$$\Delta =\frac{L_2}{L_1}\text{\hspace{1em}(11.25)}$$

$$M={\left[\frac{3}{2}\left(\Delta -\frac{1}{\Delta }\right)\right]}^2\text{\hspace{1em}(11.26)}$$

$$N=1-\frac{\left(\overline{u_{t2}^2}\right)}{\left(\overline{u_{t1}^2}\right)}\text{\hspace{1em}(11.27)}$$

$$L_1=\frac{{\left(\overline{u_{t1}^2}\right)}^{3/2}}{ϵ}\text{\hspace{1em}(11.28)}$$

$$L_2=\frac{{\left(\overline{u_{t2}^2}\right)}^{3/2}}{ϵ}\text{\hspace{1em}(11.29)}$$

$${\omega }_f=2\pi \frac{ϵ}{k}\text{\hspace{1em}(11.30)}$$

其中，$\overline{u_{t1}^2}$ 和 $\overline{u_{t2}^2}$ 的计算方式取决于所选的湍流模型。当选择雷诺应力模型（RSM）时，它们是从相应的法向应力中计算得出的。对于所有其他双方程湍流模型，它们则是通过其他方式获得的。

$$\begin{array}{l}\overline{u_{t1}^2}=\frac{8}{9}k\end{array}\text{\hspace{1em}(11.31)}$$

$$\overline{u_{t2}^2}=\frac{4}{9}k\text{\hspace{1em}(11.32)}$$

Ansys Fluent 报告声功率，既采用有量纲单位（W/m³），也采用基于以下公式计算的分贝值：

$$L_P=10\log \left(\frac{P_A}{P_{\text{ref }}}\right)\text{\hspace{1em}(11.33)}$$

其中，$P_{\text{ref }}$ 是参考声功率（默认值为 $P_{\text{ref }}={10}^{-12}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^3$）。

11.2.3.3 边界层噪声源模型

在低马赫数下，固体物体上湍流边界层流动产生的远场声通常具有实际意义。基于声学类比的Curle积分[128]（第1064页）可以用来近似计算物体表面对总声功率的局部贡献。为此，可以从Curle积分开始。

$$p^{\prime }\left(\overrightarrow{x},t\right)=\frac{1}{4\pi a_0}{\int }_S\frac{\left(x_i-y_i\right)n_i}{r^2}\frac{\partial p}{\partial t}\left(\overrightarrow{y},\tau \right)dS\left(\overrightarrow{y}\right)\text{\hspace{1em}(11.34)}$$

其中，$\tau$ 表示发射时间（$\tau =t-r/a_0$），$S$ 表示积分表面。

利用这一关系，远场中的声强可以近似为

$$\overline{p^{{}^{\prime }2}}\approx \frac{1}{16{\pi }^2{a}_0^2}{\int }_S\frac{{\cos }^2\theta }{r^2}\overline{{\left[\frac{\partial p}{\partial t}\left(\overrightarrow{y},\tau \right)\right]}^2}{\mathcal{A}}_c\left(\overrightarrow{y}\right)dS\left(\overrightarrow{y}\right)\text{\hspace{1em}(11.35)}$$

其中，${\mathcal{A}}_c$ 表示相关面积，$r\equiv \left|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\right|$，而 $\theta$ 则是 $\left|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\right|$ 与壁面法向 $\overrightarrow{n}$ 之间的夹角。

整个物体表面发出的总声功率可以通过以下方式计算：

$$\begin{array}{rl}{P}_A& =\frac{1}{{\rho }_0{a}_0}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\overline{{p^{\prime }}^2}{r}^2\sin \theta d\theta d\psi \\ & ={\int }_{S}I(\vec{y})dS(\vec{y})\end{array}\text{\hspace{1em}(11.36)}$$

哪里

$$I\left(\overrightarrow{y}\right)\equiv \frac{{\mathcal{A}}_c\left(\overrightarrow{y}\right)}{12{\rho }_0\pi a_0^3}\overline{{\left[\frac{\partial p}{\partial t}\right]}^2}\text{\hspace{1em}(11.37)}$$

这可以解释为单位体表面积对总声功率的局部贡献。表面压力的时间导数的均方值以及相关区域进一步通过湍流参数进行近似，如湍流动能、耗散率和壁面剪切力。

Ansys Fluent 报告由公式 11.37（第 444 页）定义的声表面功率，既以物理单位（W/m²）也表示为分贝单位。

11.2.3.4 线性化欧拉方程中的源项

线性化欧拉方程（LEE）可以从纳维-斯托克斯方程推导出来，起始于将流动变量分解为平均、湍流和声学成分，并假设声学成分远小于平均和湍流成分。由此得到的声速分量的线性化欧拉方程可以写为

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u_{ai}}{\partial t}+U_j\frac{\partial u_{ai}}{\partial x_j}+u_{aj}\frac{\partial U_i}{\partial x_j}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial p_a}{\partial x_i}-\frac{{\rho }_a}{{\overline{\rho }}^2}\frac{\partial P}{\partial x_i}& =\underset{L_{sh}}{\underbrace{-U_j\frac{\partial u_i^{\prime }}{\partial x_j}-u_j^{\prime }\frac{\partial U_i}{\partial x_j}}}-\underset{L_{se}}{\underbrace{u_j^{\prime }\frac{\partial u_i^{\prime }}{\partial x_j}}}\\ & -\frac{1}{\rho }\frac{\partial p^{\prime }}{\partial x_i}-\frac{\partial u_i^{\prime }}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x_j}\overline{u_j^{\prime }{u}_i^{\prime }}\end{array}\text{\hspace{1em}(11.38)}$$

下标“ $a$ ”表示相应的声学成分，而撇号上标则表示湍流成分。

方程11.38（第444页）右侧可视为负责声生成的有效源项。其中，涉及湍流的前三项为主要贡献者。前两项记为 $L_{sh}$，常被称为“剪切噪声”源项，因其涉及平均剪切。第三项记为 $L_{se}$，常称作“自噪声”源项，因为它仅涉及湍流速度成分。

计算线性化欧拉方程（LEE）源项所需的湍流速度场，采用随机噪声生成与辐射（SNGR）方法[55]（第1060页）获得。在此方法中，湍流速度场及其导数通过 $N$ 个傅里叶模态之和计算得出。

$$\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{x},t\right)=2\sum _{n=1}^N{\tilde{u}}_n\cos \left({\overrightarrow{k}}_n\cdot \overrightarrow{x}+{\psi }_n\right){\overrightarrow{\sigma }}_n\text{\hspace{1em}(11.39)}$$

其中，${\tilde{u}}_n$、${\psi }_n$、${\overrightarrow{\sigma }}_n$ 分别表示与波数向量 ${\overrightarrow{k}}_n$ 相关联的第 $n^{th}$ 傅里叶模态的振幅、相位和方向（单位）向量。

请注意，Lilley 方程中的源项是向量量，根据所处理问题的维度，它们具有两个或三个分量。

11.2.3.5 Lilley 方程中的源项

Lilley 方程是一个三阶波动方程，可以通过结合可压缩流体的质量守恒和动量守恒来推导。当忽略粘性项时，它可以写成以下形式：

$$\frac{D}{Dt}\left[\frac{D^2\Pi }{D{t}^2}-\frac{\partial }{\partial x_j}\left(a^2\frac{\partial \Pi }{\partial x_j}\right)\right]+2\frac{\partial u_k}{\partial x_j}\frac{\partial }{\partial x_k}\left(a^2\frac{\partial \Pi }{\partial x_j}\right)=-2\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\frac{\partial u_j}{\partial x_k}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\text{\hspace{1em}(11.40)}$$

其中 (\Pi = \left( {1/\gamma }\right) \ln \frac{p}{{p}_{o}})。

Lilley方程可以在基础稳态流动附近线性化。

$$u_i\left(\overrightarrow{x},t\right)=U_i\left(\overrightarrow{x}\right)+u_i^{\prime }\left(\overrightarrow{x},t\right)\text{\hspace{1em}(11.41)}$$

其中，$u^{\prime }\left(\overrightarrow{x},t\right)$ 表示湍流速度分量。

将公式 11.41（第 445 页）代入公式 11.40（第 445 页）的源项中，我们得到

$$\begin{array}{rl}\text{S}& \equiv -2\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\frac{\partial u_j}{\partial x_k}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\\ & =-2\frac{\partial U_k}{\partial x_i}\frac{\partial U_j}{\partial x_k}\frac{\partial U_i}{\partial x_j}\underset{\text{Self-Noise Terms}}{\underbrace{-2\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\frac{\partial u_j^{\prime }}{\partial x_k}\frac{\partial u_i^{\prime }}{\partial x_j}}}\underset{\text{Shear-Noise Terms}}{\underbrace{-6\frac{\partial U_k}{\partial x_i}\frac{\partial U_j}{\partial x_k}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-6\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\frac{\partial u_j}{\partial x_k}\frac{\partial U_i}{\partial x_j}}}\end{array}\text{\hspace{1em}(11.42)}$$

方程11.42（第445页）中的源项是通过使用平均速度场和SNGR方法合成的湍流（脉动）速度分量来评估的。与LEE源项类似，方程11.42（第445页）中的源项根据是否涉及平均速度梯度（剪切噪声或自噪声）进行分组，并在Ansys Fluent中分别报告。