4.9.1 概述

代数转捩模型属于基于局部相关性的转捩模型（LCTM）家族，并且是对基于间歇性 $γ$ （伽马输运方程）的单输运方程的间歇性转捩模型的进一步简化。该简化避免了使用输运方程，并将间歇性表述为一个代数方程。这是可能的，因为在基于输运方程的模型中观察到，源项相对于对流/扩散项占主导地位。

4.9.2 模型公式

间歇性通过乘以湍流动能方程中的生成项 $P_{k}$ 来体现：

$P_{k} \to γ P_{k}$

这是对基础湍流模型的唯一修改。新的转捩模型与基于 $k - ω$ 的湍流模型兼容。

间歇性通过一个代数公式计算得出。完整的模型表述将在不久后发表，这里仅提供该表述的关键要素。其基本理念是，转捩由包含主要物理效应的相关性触发。临界位移厚度雷诺数称为 $Re_{θC}$ ，包含了拟合实验转捩位置的相关性。 $Re_{θC}$ 是湍流强度 $T u$ 和无量纲压力梯度参数 $λ_{θ}$ 的函数。这两者均以与现有的一方程 $γ$ 模型（Fluent理论指南中的间歇性转捩模型，第85页）相同的方式在局部计算得到：

$T u_{l} = min (100 \frac{2 k /3}{ω d _{w}}, 100) (4.199)$

$λ_{θl} = - 0.1111 \frac{d V}{d y} \frac{y ^{2}}{v} + 0.1875 (4.200)$

为了数值稳定性， $λ_{θl}$ 被限定如下：

$λ_{θl} = C_{λ, scale} min (max (λ_{θl}, - 10.0, 10.0) (4.201)$

作为LCTM概念的固有特性，该公式基于边界层实际状态所描述的涡流雷诺数 $Re_{V 22}$ 与临界雷诺数 $Re_{θC}$ 之间的比值。

$Rat_{Re} = \frac{Re _{V 22}}{Re _{θC}} (4.202)$

$Re_{V 22} = min (\frac{Ω d _{w}^{2}}{2.2 v}, 5000) (4.203)$

$Re_{θC} = g (T u_{l}, λ_{θl}) (4.204)$

随后，间歇性从以下公式计算得出：

$γ = tanh (Rat_{Re}^{2}) (4.205)$

量 $Ω$ 定义为 $Ω = max (S, Ω, 0.1 ω)$ ，其中 $S$ 表示应变率， $Ω$ 表示涡旋率，而 $ω$ 来自底层湍流模型的 $ω$ 方程。

4.9.3 转捩相关性

定义转捩位置的关键在于转捩起始准则 $Re_{θC}$ 的表述。为了解释这一概念，相关性通常具有以下形式：

$Re_{θC} = min (\frac{210}{T u _{l}}, 1000) FPG (λ_{θl}) (4.206)$

在使用默认常数时，这实质上是一种带有限制器的 $1/ T u_{l}$ 关系。函数 FPG 包含了压力梯度 $λ_{θl}$ 的依赖性，这一点将在后面讨论。

更详细地说，该相关性表述为：

$Re_{θC} = min (\frac{Re C _{C 1}}{T u _{l} Re C _{C 2}} CTuCrit, Re C_{Max}) FPG (λ_{θl}) (4.207)$

量值 $Re C_{C 1}$ 、 $Re C_{C 2}$ 及 $Re C_{M a x}$ 为常数，而 CTuCrit 是一个混合系数（用于低雷诺数与高雷诺数情况的转捩）：

$CTuCrit = CT u_{High} (1 - FR V 1) + CT u_{Low} FR V 1 (4.208)$

其中， $CT u_{H i g h}$ 和 $CT u_{L o w}$ 为常数。低雷诺数与高雷诺数转捩区间的混合函数表达如下：

$FRV 1 = min [(\frac{Re _{V 22}}{RV1 _{Switch}})^{2}, 1] (4.209)$

其中， $R V 1_{Sw i t c h}$ 是一个常数。该函数在低雷诺数时为0，在高雷诺数时为1。此函数的目的是针对不同的雷诺数范围（通常低雷诺数对应旁路转捩，高雷诺数对应自然转捩）进行不同的校准。

4.9.4 压力梯度函数

FPG的表达式对于有利和不利压力梯度是不同的：

$FPG = min [max (1.0 - CFPG \cdot max (λ_{θl}, 0.0), 0.25], 4.0] if λ_{θl} \geq 0 (4.210)$

$PPG ⏜ = min [max (1.0 - CAPG \cdot min (λ_{θl}, 0.0), 0.25), 4.0] if λ_{θl} < 0 (4.211)$

在任一情况下，对基本相关性的影响因此被限制在四分之一以内。系数CFPG和CAPG再次针对低和高雷诺数进行了混合处理：

$CFPG = CFP G_{High} (1 - FR V 1) + CFP G_{Low} FR V 1 (4.212)$

$C A PG = C A P G_{High} (1 - FR V 1) + C A P G_{Low} FR V 1 (4.213)$

4.9.5 气泡分离

这种转捩机制发生在层流边界层分离并在气泡内部发生转捩的情况下。气泡的大小取决于多种因素，如雷诺数、压力梯度和湍流强度。

目前的公式提高了在气泡区域内的间歇因子 $γ$ 至高于 $γ = 1$ 的值，因为观察到在低 $T u$ 条件下，否则湍流模型可能无法足够迅速地反应以关闭气泡。

$γ \to γ + γ_{bubble} (4.214)$

(4.214)

$γ_{b u bb l e} = min (CB U B_{C 1} \cdot γ \cdot ϕ_{1} \cdot ϕ_{2} \cdot ϕ_{3}, 3.0) (4.215)$

$ϕ_{1} = \frac{max ( μ - \frac{1}{2} μ _{t} , 0 )}{0.2 μ + μ _{t}} (4.216)$

$ϕ_{2} = min [(\frac{Re _{V 22 H}}{300})^{2}, 1] (4.217)$

where

$Re_{V 22 H} = \frac{min ( Re _{V 22} , 1000.0 ) ^{*} min ( S , Ω )}{max ( Ω , 1.0 e ^{- 9} )} (4.218)$

$ϕ_{3} = min [max (Rat_{Re} - CB U B_{C 2}, 0), 5] (4.219)$

4.9.6 代数转捩模型的系数

这些系数如下（括号内为默认值）：

$C_{A PG, hightu} (- 0.5)$ - 参数 $(C A P G_{High})$ ，用于校准高 $T u$ 区域下逆压梯度的影响。
$C_{A PG, l o wt u} (- 0.5)$ - 参数 $(C A P G_{L o w})$ ，用于校准低 $T u$ 区域下逆压梯度的影响。
$C_{FPG, hightu} (0.6)$ - 参数 $(CFP G_{High})$ ，用于校准高 $T u$ 区域下顺压梯度的影响。
$C_{FPG, l o wt u} (1.0)$ - 参数 $(CFP G_{L o w})$ ，用于校准低 $T u$ 区域的有利压力梯度影响。
$C_{λ, scale}$ (1.0) - 用于缩放无量纲压力梯度参数 $λ_{θ}$ 的参数。
$C_{T U, hi g h t u}$ (1.06) - 参数 $(C T u_{H i g h})$ ，用于校准高 $T u$ 区域的 $T u$ 影响。
$C_{TU, lowtu} (2.25)$ - 参数 $(CT u_{Low})$ ，用于校准低 $T u$ 区域的 $T u$ 影响。
$Re_{C} (1.0)$ - 临界雷诺数相关性；内置版本或通过 UDF（用户定义函数）自定义。
$Re_{C, c 1} (210)$ - 相关性中的参数 $(Re C_{C 1})$ 。
$Re_{C, c 2} (1.0)$ - 相关性中的参数 $(Re C_{C 2})$ .

4.9.7 代数转捩模型与粗糙壁面

需要注意的是，代数转捩模型并未考虑粗糙壁面的影响。若计划包含粗糙壁面效应，建议切换至 $γ$ -Re_theta 转捩模型（即 Transition SST 模型）。