4.1.1 Reynolds (Ensemble) Averaging

在雷诺平均法中，瞬时（精确）的纳维-斯托克斯方程中的求解变量被分解为平均值（总体平均或时间平均）和脉动分量。对于速度分量而言：

$u_{i} = \overset{u}{ˉ}_{i} + u_{i}^{'} (4.1)$

其中， $\overset{u}{ˉ}_{i}$ 和 $u_{i}^{'}$ 分别表示平均速度分量和脉动速度分量 $(i = 1, 2, 3)$ 。

同样，对于压力和其他标量：

$φ = \overset{φ}{ˉ} + φ^{'} (4.2)$

其中， $φ$ 表示压力、能量或组分浓度等标量。

将这种形式的表达式代入瞬时连续性和动量方程，并进行时间（或集合）平均（同时去掉平均速度 $\overset{u}{ˉ}$ 上的横杠），即可得到集合平均的动量方程。它们可以用笛卡尔张量形式表示为：

$\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x _{i}} (ρ u_{i}) = 0 (4.3)$

$\frac{\partial}{\partial t} (ρ u_{i}) + \frac{\partial}{\partial x _{j}} (ρ u_{i} u_{j}) = - \frac{\partial p}{\partial x _{i}} + \frac{\partial}{\partial x _{j}} [μ (\frac{\partial u _{i}}{\partial x _{j}} + \frac{\partial u _{j}}{\partial x _{i}} - \frac{2}{3} δ_{ij} \frac{\partial u _{l}}{\partial x _{l}})] + \frac{\partial}{\partial x _{j}} (- ρ \overline{u_{i}^{^{'}} u_{j}^{^{'}}}) (4.4)$

方程4.3和方程4.4被称为雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程。它们与瞬时纳维-斯托克斯方程具有相同的一般形式，但其中的速度和其他解变量现在代表的是总体平均（或时间平均）值。新增的项表示湍流效应，这些雷诺应力 $- ρ \overline{u_{i}^{'} u_{j}^{'}}$ 必须被建模以封闭方程4.4（第42页）。

对于变密度流动，方程4.3和方程4.4可以解释为Favre平均的Navier-Stokes方程[247]（第1071页），其中速度表示质量平均值。因此，方程4.3和方程4.4适用于变密度流动。

4.1.2 Filtered Navier-Stokes Equations

用于大涡模拟（LES）的控制方程是通过对时间相关的纳维-斯托克斯方程在傅里叶（波数）空间或配置（物理）空间进行滤波得到的。这一滤波过程有效地剔除了尺度小于计算中所用滤波宽度或网格间距的涡流。因此，所得方程主要描述了大涡的动态变化。

过滤后的变量（用上划线表示）由公式4.5定义：

$\overset{ˉ}{ϕ} (x) = \int_{D} ϕ (x^{'}) G (x, x^{'}) d x^{'} (4.5)$

其中， $D$ 表示流体域，而 $G$ 是滤波函数，用于确定可解析涡旋的尺度。

在 Ansys Fluent 中，有限体积离散化本身隐式地提供了滤波操作：

$\overset{φ}{ˉ} (x) = \frac{1}{V} \int_{v} φ (x^{'}) d x^{'}, x^{'} \in v (4.6)$

其中 $V$ 表示计算单元的体积。此处隐含的滤波函数为 $G (x, x^{'})$ 。

$G (x, x^{'}) = {1/ V, 0, x^{'} \in v x^{'} otherwise (4.7)$ Ansys Fluent中的LES功能适用于可压缩和不可压缩流动。为了简化符号表示，以下理论讨论将仅限于不可压缩流动。

通过对连续性和动量方程进行滤波处理，可以得到

$\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x _{i}} (ρ \overset{u}{ˉ}_{i}) = 0 (4.8)$

且有

$\frac{\partial}{\partial t} (ρ \overset{u}{ˉ}_{i}) + \frac{\partial}{\partial x _{j}} (ρ \overset{u}{ˉ}_{i} \overset{u}{ˉ}_{j}) = \frac{\partial}{\partial x _{j}} (σ_{ij}) - \frac{\partial p ˉ}{\partial x _{i}} - \frac{\partial τ _{ij}}{\partial x _{j}} (4.9)$

其中， $σ_{ij}$ 是由于分子粘性定义的应力张量。

$σ_{ij} \equiv [μ (\frac{\partial u ˉ _{i}}{\partial x _{j}} + \frac{\partial u ˉ _{j}}{\partial x _{i}})] - \frac{2}{3} μ \frac{\partial u ˉ _{l}}{\partial x _{l}} δ_{ij} (4.10)$

而 $τ_{ij}$ 表示由以下定义的亚格子尺度应力：

$τ_{ij} \equiv ρ \overline{u_{i} u_{j}} - ρ \overset{u}{ˉ}_{i} \overset{u}{ˉ}_{j} (4.11)$

通过过滤能量方程，得到：

$\frac{\partial ρ h _{s}}{\partial t} + \frac{\partial ρ u _{i} h _{s}}{\partial x _{i}} - \frac{\partial p ˉ}{\partial t} - \overline{u_{j}} \frac{\partial p ˉ}{\partial x _{i}} - \frac{\partial}{\partial x _{i}} (λ \frac{\partial T ˉ}{\partial x _{i}}) = - \frac{\partial}{\partial x _{j}} [subgrid enthalpy flux ρ (\overline{u_{i} h_{s}} - \overline{u_{i} h_{s}})] (4.12)$

其中， $h_{s}$ 和 $λ$ 分别代表显焓和热导率。

在公式4.12中，亚网格焓通量项采用梯度假设进行近似：

$ρ (\overline{u_{i} h_{s}} - \overline{u_{i}} \overline{h_{s}}) = - \frac{μ _{SGS} C _{p}}{SGS Pr} \frac{\partial T ˉ}{\partial x _{j}} (4.13)$

其中， $μ_{SGS}$ 表示亚格子粘度，而 $SGS Pr$ 是等于0.85的亚格子普朗特数。

4.1.3 Hybrid RANS-LES Formulations

起初，雷诺平均和空间滤波的概念看似不相容，因为它们在动量方程中引入了不同的附加项（雷诺应力和次网格应力）。

这将排除混合模型，如尺度自适应模拟（SAS）、分离涡模拟（DES）、屏蔽DES（SDES）或应力混合涡模拟（SBES），这些模型在整个RANS和LES区域基于同一组动量方程。然而，重要的是要注意到一旦将湍流模型引入动量方程中，它们就不再携带任何关于其推导过程（平均化处理）的信息。一个典型的例子是，无论是雷诺平均数值模拟（RANS）还是大涡模拟（LES）中，最流行的模型都是涡粘性模型，这些模型用于替代雷诺应力张量或亚格子应力张量。引入涡粘度（湍流粘度）后，RANS和LES的动量方程在形式上是完全相同的。二者的区别仅在于底层湍流模型提供的涡粘度大小不同。这使得可以构建能够在RANS模式和大涡模拟模式之间切换的湍流模型，只需在LES区域适当降低涡粘度即可，而无需对动量方程进行任何形式上的改变。

4.1.4 Boussinesq Approach vs. Reynolds Stress Transport Models

雷诺平均方法在湍流建模中要求对公式4.4（第42页）中的雷诺应力进行适当建模。一种常见的方法是采用Boussinesq假设[247]（第1071页），将雷诺应力与平均速度梯度联系起来：

$- ρ \overline{u_{i}^{'} u_{j}^{'}} = μ_{t} (\frac{\partial u _{i}}{\partial x _{j}} + \frac{\partial u _{j}}{\partial x _{i}}) - \frac{2}{3} (ρ k + μ_{t} \frac{\partial u _{k}}{\partial x _{k}}) δ_{ij} (4.14)$

Boussinesq假设在Spalart-Allmaras模型、 $k$ - $ε$ 模型以及 $k$ - $ω$ 模型中得到应用。这种方法的优势在于计算湍流粘性 $μ_{t}$ 时，相对较低的计算成本。以Spalart-Allmaras模型为例，仅需要引入一个额外的变量。

传输方程（代表湍流粘度）被求解。在 $k$ - $ε$ 和 $k$ - $ω$ 模型中，还需额外求解两个传输方程（分别用于湍流动能 $k$ 以及湍流耗散率 $ε$ 或比耗散率 $ω$ ），并且 $μ_{t}$ 是根据这些变量计算得出的函数。

$k$ 和 $ε$ 或 $k$ 和 $ω$ 。Boussinesq假设的一个缺点是它假定 $μ_{t}$ 是一个各向同性的标量，这并不完全准确。然而，各向同性的假设在实际应用中仍然被广泛采用。

湍流粘性通常在剪切流动中表现良好，这些流动主要受单一湍流剪切应力的影响。这涵盖了许多技术性流动，例如壁面边界层、混合层、射流等。

RSM所体现的另一种方法，是对雷诺应力张量中的每一项求解输运方程。此外，还需一个额外的尺度确定方程（通常针对 $ε$ 或 $ω$ ）。这意味着在二维流动中需要五个额外的输运方程，而在三维流动中则必须求解七个额外的输运方程。

在许多情况下，基于Boussinesq假设的模型表现非常出色，采用Reynolds应力模型所带来的额外计算成本并不合理。然而，在湍流各向异性对平均流动影响显著的情况下，Reynolds应力模型明显更为优越。这类情况包括高度旋流和应力驱动的二次流动等。