本节概述了湍流速度尺度${\mathrm{v}}_{\mathrm{t}}$和湍流时间尺度$\tau$的定义，这些定义由不同的湍流模型提供，以便在其他物理模型中使用。随后，基于湍流速度和时间尺度，湍流长度尺度$l$的计算方法如下：

$$l=v_t\tau \text{\hspace{1em}(4.446)}$$

速度尺度 ${\mathrm{v}}_{\mathrm{t}}$ 被定义为模型湍流速度尺度 $\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{m}}\right)$ 受限于Kolmogorov微尺度 $\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{K}}\right)$ 的限制：

$${\mathrm{v}}_{\mathrm{t}}=\max \left({\mathrm{v}}_{\mathrm{m}},{\mathrm{v}}_{\mathrm{K}}\right)\text{\hspace{1em}(4.447)}$$

类似地，湍流时间尺度 $\tau$ 可以定义为：

$$\tau =\max \left({\tau }_{\mathrm{m}},{\tau }_{\mathrm{K}}\right)\text{\hspace{1em}(4.448)}$$

4.23.1 RANS与混合（SAS、DES和SDES）湍流模型

对于RANS湍流模型及混合模型（即尺度自适应模拟、分离涡模拟和屏蔽分离涡模拟），速度尺度${\mathrm{v}}_{\mathrm{m}}$和${\mathrm{v}}_{\mathrm{K}}$定义如下：

$$v_{\mathrm{m}}=\sqrt{k}\text{\hspace{1em}(4.449)}$$

$$v_{\mathrm{K}}={\left(\frac{\epsilon \mu }{\rho }\right)}^{0.25}\text{\hspace{1em}(4.450)}$$

其中，$k$ 表示湍流动能，$\epsilon$ 表示耗散率，$\mu$ 表示分子粘度，$\rho$ 表示密度。

时间尺度 ${\tau }_{\mathrm{m}}$ 和 ${\tau }_{\mathrm{K}}$ 定义如下：

$${\tau }_{\mathrm{m}}=\frac{k}{\epsilon }\text{\hspace{1em}(4.451)}$$

$${\tau }_{\mathrm{K}}=\sqrt{\frac{\mu }{\rho \epsilon }}\text{\hspace{1em}(4.452)}$$

在基于$\omega$方程的湍流模型中，耗散率是利用相关关系计算的。

$$\epsilon ={\beta }^{\ast }\omega k\text{\hspace{1em}(4.453)}$$

其中，${\beta }^{\ast }$ 是一个模型系数。

在使用雷诺应力模型时，湍流动能被定义为雷诺应力张量的迹：

$$k=\frac{1}{2}\overline{u_i^{\prime }{u}_i^{\prime }}\text{\hspace{1em}(4.454)}$$

4.23.2 大涡模拟（LES）模型

在大涡模拟（LES）模型中，速度尺度是基于涡粘性系数 ${\mu }_t$ 和 LES 网格长度尺度 $l_{\mathrm{LES}}$ 来估算的。

$$v_{\mathrm{m}}=\frac{{\mu }_t}{\rho l_{\mathrm{LES}}}\text{\hspace{1em}(4.455)}$$

$${\mathrm{v}}_{\mathrm{K}}={\left(\frac{\mu {\mathrm{v}}_{\mathrm{m}}^3}{\rho l_{\mathrm{LES}}}\right)}^{0.25}\text{\hspace{1em}(4.456)}$$

时间尺度 ${\tau }_{\mathrm{m}}$ 和 ${\tau }_{\mathrm{K}}$ 的定义如下：

$${\tau }_{\mathrm{m}}=\frac{l_{\mathrm{LES}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{m}}}\text{\hspace{1em}(4.457)}$$

$${\tau }_{\mathrm{K}}=\sqrt{\frac{\mu l_{\mathrm{LES}}}{\rho {\mathrm{v}}_{\mathrm{m}}^3}}\text{\hspace{1em}(4.458)}$$

LES网格长度尺度$l_{\mathrm{LES}}$的定义取决于所指定的模型。在使用Smagorinsky-Lilly、WALE或任一种代数壁面模型的大涡模拟（Algebraic Wall-Modeled LES）模型时，其计算方式如下：

$$l_{\mathrm{LES}}=\min \left(\kappa d,C\Delta \right)\text{\hspace{1em}(4.459)}$$

其中，$\kappa$ 为冯·卡门常数，$d$ 表示至最近壁面的距离，$C$ 是一个模型系数，而 $\Delta$ 则代表基于单元体积的局部网格尺度（如下式所示）。

$$\Delta =V^{1/3}\text{\hspace{1em}(4.460)}$$

请注意，WMLES 在定义涡流粘度时使用了更为复杂的 $\Delta$ 公式（详见代数 WMLES 模型公式 (第 124 页)）。

在动态 LES 模型（即动态 Smagorinsky-Lilly 模型和动态动能子网格尺度模型）中，LES 网格长度尺度 $l_{\mathrm{LES}}$ 是根据动态过程估算的。

4.23.3 应力混合涡流模拟 (SBES) 模型

对于 SBES 模型，RANS 和 LES 尺度（分别在 RANS 和混合 (SAS、DES 和 SDES) 湍流模型 (第 168 页) 以及大涡模拟 (LES) 模型 (第 169 页) 中定义）通过 $f_{\text{SDES }}$ 函数进行混合：

$${\mathrm{v}}_{\mathrm{t}}={\mathrm{v}}_{\mathrm{t},\mathrm{RANS}}{f}_{\mathrm{SDES}}+{\mathrm{v}}_{\mathrm{t},\mathrm{LES}}\left(1-f_{\mathrm{SDES}}\right)\text{\hspace{1em}(4.461)}$$

$$\tau ={\tau }_{\mathrm{RANS}}{f}_{\mathrm{SDES}}+{\tau }_{\mathrm{LES}}\left(1-f_{\mathrm{SDES}}\right)\text{\hspace{1em}(4.462)}$$