本节阐述了标准、BSL 和 SST $k$ - $\omega$ 模型的理论基础。相关信息将在以下章节中详细介绍：

• 4.4.1. Standard $\mathrm{k}-\omega$ Model
• 4.4.2. Baseline (BSL) k- $\omega$ Model
• 4.4.3. Shear-Stress Transport (SST) k- $\omega$ Model
• 4.4.4. Effects of Buoyancy on Turbulence in the k- $\omega$ Models
• 4.4.5.Turbulence Damping

关于在Ansys Fluent中使用模型的详细信息，请参阅用户指南中的“湍流建模”和“设置k-ω模型”部分。

本节介绍了标准[708]（第1098页）、基线（BSL）[428]（第1081页）和剪切应力传输（SST）[428]（第1081页）的k-ω模型。这三个模型具有相似的形式，都包含针对$k$和$\omega$的输运方程。BSL和SST模型与标准模型的主要区别如下：

• 从边界层内区域的标准k-ω模型逐渐过渡到边界层外区域的高雷诺数版本的k-$\epsilon$模型（BSL, SST）

• 修改了湍流粘度公式，以考虑主湍流剪切应力的输运效应（仅限SST）

对于每个模型，分别介绍了传输方程、计算湍流粘度系数的方法以及计算模型常数和其他项的方法。

Wilcox 为 k-ω 模型提出了低雷诺数修正，并在 Ansys Fluent 中可用。值得注意的是，所有 k-ω 模型都可以在没有这些项的情况下通过粘性子层进行积分。这些项主要被添加以再现非常接近壁面的 DNS 数据中观察到的湍流动能峰值。此外，这些项影响层流到湍流的过渡过程。低雷诺数项可以延迟湍流壁边界层的开始，因此构成了一个非常简单的层流转捩模型。通常情况下，不推荐在 k-ω 模型中使用低雷诺数项，建议使用更复杂且经过更广泛校准的转捩模型来代替。

4.4.1 Standard k-ω 模型

4.4.1.1 概述

Ansys Fluent中使用的标准$k-\omega$模型基于Wilcox在[708]（第1098页）提出的$k-\omega$模型，该模型结合了低雷诺数效应、可压缩性和剪切流扩展的修正。1998年Wilcox模型的弱点之一是对剪切层外部的$\mathrm{k}$和$\omega$值非常敏感（自由流敏感性），这可能对解有显著影响，尤其是在自由剪切流中[429]（第1082页）。有一个更新的版本（Wilcox 2006 $k-\omega$模型[709]（第1098页）），但如[429]（第1082页）所示，它也未能完全解决自由流敏感性问题。

标准$k-\omega$模型是一种基于湍流动能$\left(k\right)$和比耗散率$\left(\omega \right)$传输方程的经验模型，后者也可视为$\epsilon$与$k$的比值[708]（第1098页）。

随着时间的推移，对$k-\omega$模型进行了改进，在$k$和$\omega$方程中加入了生成项，从而提高了该模型预测自由剪切流的准确性。

4.4.1.2 标准k-ω模型的输运方程

湍流动能 ( k ) 和比耗散率 ( \omega ) 通过以下输运方程获得：

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho k\right)+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho k{u}_i\right)=\frac{\partial }{\partial x_j}\left({\Gamma }_k\frac{\partial k}{\partial x_j}\right)+G_k-Y_k+S_k+G_b\text{\hspace{1em}(4.71)}$$

且有

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho \omega \right)+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho \omega u_i\right)=\frac{\partial }{\partial x_j}\left({\Gamma }_{\omega }\frac{\partial \omega }{\partial x_j}\right)+G_{\omega }-Y_{\omega }+S_{\omega }+G_{\omega b}\text{\hspace{1em}(4.72)}$$

在这些方程中，$G_k$ 表示由于平均速度梯度产生的湍流动能生成量。$G_{\omega }$ 表示 $\omega$ 的生成量。${\Gamma }_k$ 和 ${\Gamma }_{\omega }$ 分别代表 $k$ 和 $\omega$ 的有效扩散率。$Y_k$ 和 $Y_{\omega }$ 表示由于湍流引起的 $k$ 和 $\omega$ 的耗散。上述所有项均按如下所述计算。$S_k$ 和 $S_{\omega }$是用户定义的源项。$G_b$ and $G_{\omega b}$考虑了浮力项，如《$\mathrm{k}-\omega$模型中浮力对湍流的影响》（第69页）中所述。

4.4.1.3 有效扩散率的建模

对于 $k-\omega$模型，其有效扩散率由以下公式给出：

$${\Gamma }_k=\mu +\frac{{\mu }_t}{{\sigma }_k}\text{\hspace{1em}(4.73)}$$

$${\Gamma }_{\omega }=\mu +\frac{{\mu }_t}{{\sigma }_{\omega }}$$

其中，${\sigma }_k$ 和 ${\sigma }_{\omega }$ 分别是 $k$ 和 $\omega$ 的湍流普朗特数。湍流粘度 ${\mu }_{t^{\prime }}$ 通过结合 $k$ 和 $\omega$ 计算如下：

$${\mu }_t={\alpha }^{\ast }\frac{\rho k}{\omega }\text{\hspace{1em}(4.74)}$$

4.4.1.3.1 低雷诺数修正

系数 ${\alpha }^{\ast }$ 抑制湍流粘度，从而产生低雷诺数修正。其表达式为

$${\alpha }^{\ast }={\alpha }_{\infty }^{\ast }\left(\frac{{\alpha }_0^{\ast }+R{e}_t/R_k}{1+R{e}_t/R_k}\right)\text{\hspace{1em}(4.75)}$$

其中

$$R{e}_t=\frac{\rho k}{\mu \omega }\text{\hspace{1em}(4.76)}$$

$$R_k=6\text{\hspace{1em}(4.77)}$$

$${\alpha }_0^{\ast }=\frac{{\beta }_i}{3}\text{\hspace{1em}(4.78)}$$

$${\beta }_i=0.072\text{\hspace{1em}(4.79)}$$

请注意，在$k-\omega$模型的高雷诺数形式中，${\alpha }^{\ast }={\alpha }_{\infty }^{\ast }=1$。

4.4.1.4 湍流生成建模

4.4.1.4.1 k的生成

$G_k$项表示湍流动能的产生。根据$k$传输的精确方程，这一项可以定义为

$$G_k=-\rho \overline{u_i^{\prime }{u}_j^{\prime }}\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\text{\hspace{1em}(4.80)}$$

为了与Boussinesq假设保持一致地评估$G_k$，

$$G_k={\mu }_t{S}^2\text{\hspace{1em}(4.81)}$$

其中，$S$ 是平均应变率张量的模数，其定义方式与 $k$-$\epsilon$ 模型相同（参见公式4.62，第57页）。

4.4.1.4.2 ω的生成

$\omega$ 的生成由以下公式给出：

$$G_{\omega }=\alpha \frac{\omega }{k}{G}_k\text{\hspace{1em}(4.82)}$$

其中，$G_k$ 由公式4.80（第63页）给出。

系数 $\alpha$ 则由下式给出：

$$\alpha =\frac{{\alpha }_{\infty }}{{\alpha }^{\ast }}\left(\frac{{\alpha }_0+R{e}_t/R_{\omega }}{1+R{e}_t/R_{\omega }}\right)\text{\hspace{1em}(4.83)}$$

其中，$R_{\omega }=2.95.{\alpha }^{\ast }$ 和 $R{e}_t$ 分别由公式4.75（第62页）和公式4.76（第62页）给出。

需要注意的是，在高雷诺数形式的 $k-\omega$ 模型中，$\alpha ={\alpha }_{\infty }=0.52$。

4.4.1.5 湍流耗散的建模

4.4.1.5.1 k的耗散

$k$ 的耗散由以下公式给出：

$$Y_k=\rho {\beta }^{\ast }{f}_{{\beta }^{\ast }}k\omega \text{\hspace{1em}(4.84)}$$

其中

$$f_{{\beta }^{\ast }}=\{\begin{array}{cc}1& {\chi }_k\le 0\\ \frac{1+680{\chi }_k^2}{1+400{\chi }_k^2}& {\chi }_k>0\end{array}\text{\hspace{1em}(4.85)}$$

式中

$${\chi }_k\equiv \frac{1}{{\omega }^3}\frac{\partial k}{\partial x_j}\frac{\partial \omega }{\partial x_j}\text{\hspace{1em}(4.86)}$$

且

$${\beta }^{\ast }={\beta }_i^{\ast }\left[1+{\zeta }^{\ast }F\left(M_t\right)\right]\text{\hspace{1em}(4.87)}$$

$${\beta }_i^{\ast }={\beta }_{\infty }^{\ast }\left(\frac{4/15+{\left(R{e}_t/R_{\beta }\right)}^4}{1+{\left(R{e}_t/R_{\beta }\right)}^4}\right)\text{\hspace{1em}(4.88)}$$

$${\zeta }^{\ast }=1.5\text{\hspace{1em}(4.89)}$$

$$R_{\beta }=8\text{\hspace{1em}(4.90)}$$

$${\beta }_{\infty }^{\ast }=0.09\text{\hspace{1em}(4.91)}$$

其中，$R{e}_t$ 由公式4.76（第62页）给出。

4.4.1.5.2 ω的耗散

$\omega$ 的耗散由以下公式给出：

$$Y_{\omega }=\rho \beta f_{\beta }{\omega }^2\text{\hspace{1em}(4.92)}$$

其中

$$f_{\beta }=\frac{1+70{\chi }_{\omega }}{1+80{\chi }_{\omega }}\text{\hspace{1em}(4.93)}$$

$${\chi }_{\omega }=\left|\frac{{\Omega }_{ij}{\Omega }_{jk}{S}_{ki}}{{\left({\beta }_{\infty }^{\ast }\omega \right)}^3}\right|\text{\hspace{1em}(4.94)}$$

$${\Omega }_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)\text{\hspace{1em}(4.95)}$$

应变率张量 $S_{ij}$ 在公式4.25（第47页）中定义。此外，

$$\beta ={\beta }_i\left[1-\frac{{\beta }_i^{\ast }}{{\beta }_i}{\zeta }^{\ast }F\left(M_t\right)\right]\text{\hspace{1em}(4.96)}$$

${\beta }_i^{\ast }$ 和 $F\left(M_t\right)$ 分别由公式4.88（第64页）和公式4.97（第64页）定义。

4.4.1.5.3 压缩性效应

压缩性函数 $F\left(M_t\right)$ 由以下给出：

$$F\left(M_t\right)=\{\begin{array}{cc}0& M_t\le M_{t0}\\ M_t^2-M_{t0}^2& M_t>{\mathrm{M}}_{t0}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.97)}$$

其中

$$M_t^2\equiv \frac{2k}{a^2}\text{\hspace{1em}(4.98)}$$

$$M_{t0}=0.25\text{\hspace{1em}(4.99)}$$

$$a=\sqrt{\gamma RT}\text{\hspace{1em}(4.100)}$$

请注意，在高雷诺数形式的 $k-\omega$ 模型中，${\beta }_i^{\ast }={\beta }_{\infty }^{\ast }$。在不可压缩形式中，${\beta }^{\ast }={\beta }_i^{\ast }$。

注意：

压缩性效应仅针对极少数自由剪切流动实验进行了校准，不建议普遍使用。默认情况下是禁用的。详细信息请参阅《Fluent用户指南》中的“模型增强”部分。

4.4.1.6 模型常数

$${\alpha }_{\infty }^{\ast }=1,{\alpha }_{\infty }=0.52,{\alpha }_0=\frac{1}{9},{\beta }_{\infty }^{\ast }=0.09,{\beta }_i=0.072,R_{\beta }=8$$

$$R_k=6,R_{\omega }=2.95,{\zeta }^{\ast }=1.5,M_{t0}=0.25,{\sigma }_k=2.0,{\sigma }_{\omega }=2.0$$

4.4.2 基准（BSL）k-ω模型

4.4.2.1 概述

Wilcox模型的主要问题是其对自由流条件的强烈敏感性，这是众所周知的。Menter [428]（第1081页）开发的基准（BSL）$k$-$\omega$模型旨在有效结合$k$-$\omega$模型在近壁区域的鲁棒性和准确性，以及$k$-$\epsilon$模型在远场的自由流独立性。为实现这一点，将$k$-$\epsilon$模型转换为$k$-$\omega$形式。BSL $k$-$\omega$模型与标准$k$-$\omega$模型相似，但包含以下改进：

• 标准的 $k-\omega$ 模型和转换后的 $k-\epsilon$ 模型均乘以一个混合函数，并将两个模型相加。该混合函数设计为在近壁区域取值为一，激活标准 $k-\omega$ 模型；而在远离表面的区域取值为零，激活转换后的 $k-\epsilon$ 模型。

• BSL 模型在 $\omega$方程中加入了阻尼交叉扩散导数项。

• 模型常数有所不同。

4.4.2.2 BSL k-ω模型的输运方程

BSL $k$ - $\omega$ 模型在形式上与标准 $k$ - $\omega$ 模型相似：

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho k\right)+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho k{u}_i\right)=\frac{\partial }{\partial x_j}\left({\Gamma }_k\frac{\partial k}{\partial x_j}\right)+G_k-Y_k+S_k+G_b\text{\hspace{1em}(4.101)}$$

且

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho \omega \right)+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho \omega u_i\right)=\frac{\partial }{\partial x_j}\left({\Gamma }_{\omega }\frac{\partial \omega }{\partial x_j}\right)+G_{\omega }-Y_{\omega }+D_{\omega }+S_{\omega }+G_{\omega b}\text{\hspace{1em}(4.102)}$$

在这些方程中，项 $G_k$ 表示湍流动能的产生，其定义方式与标准 $\mathrm{k}-\omega$ 模型相同。$G_{\omega }$ 表示 $\omega$ 的生成，计算方法将在后续章节中描述。${\Gamma }_k$ 和 ${\Gamma }_{\omega }$ 分别代表 $k$ 和 $\omega$ 的有效扩散率，其计算方法将在后续章节中说明。$Y_k$ 和 $Y_{\omega }$ 表示由于湍流引起的 $k$ 和 $\omega$ 的耗散，计算方法在“湍流耗散建模”（第63页）一节中有详细描述。$D_{\omega }$ 表示交叉扩散项，计算方法将在后续章节中说明。$S_k$ 和 $S_{\omega }$ 是用户定义的源项。$G_b$ 和 $G_{\omega b}$ 考虑了浮力效应的影响，具体描述见“浮力对 k-ω模型中的湍流影响”（第69页）一节。

##4.4.2.3. BSL k -ω 模型的有效扩散率建模

BSL $k-\omega$模型的有效扩散率由以下公式给出：

$${\Gamma }_k=\mu +\frac{{\mu }_t}{{\sigma }_k}\text{\hspace{1em}(4.103)}$$

$${\Gamma }_{\omega }=\mu +\frac{{\mu }_t}{{\sigma }_{\omega }}\text{\hspace{1em}(4.104)}$$

其中，${\sigma }_k$ 和 ${\sigma }_{\omega }$ 分别是 $k$ 和 $\omega$ 的湍流普朗特数。湍流粘度 ${\mu }_t$ 则按照第4.74式（第62页）中的定义进行计算。

$${\sigma }_k=\frac{1}{F_1/{\sigma }_{k,1}+\left(1-F_1\right)/{\sigma }_{k,2}}\text{\hspace{1em}(4.105)}$$

$${\sigma }_{\omega }=\frac{1}{F_1/{\sigma }_{\omega ,1}+\left(1-F_1\right)/{\sigma }_{\omega ,2}}\text{\hspace{1em}(4.106)}$$

混合函数 $F_1$ 由以下公式给出：

$$F_1=\tanh \left({\Phi }_1^4\right)\text{\hspace{1em}(4.107)}$$

$${\Phi }_1=\min \left[\max \left(\frac{\sqrt{k}}{0.09\omega y},\frac{500\mu }{\rho y^2\omega }\right),\frac{4\rho k}{{\sigma }_{\omega ,2}{D}_{\omega }^{+}{y}^2}\right]\text{\hspace{1em}(4.108)}$$

$$D_{\omega }^{+}=\max \left[2\rho \frac{1}{{\sigma }_{\omega ,2}}\frac{1}{\omega }\frac{\partial k}{\partial x_j}\frac{\partial \omega }{\partial x_j},{10}^{-10}\right]\text{\hspace{1em}(4.109)}$$

其中，$y$ 表示到下一个表面的距离，而 $D_{\omega }^{+}$ 是交叉扩散项的正值部分（参见公式4.117 (第67页)）。

4.4.2.4 湍流生成建模

4.4.2.4.1 k的生成

$G_k$ 这一项代表湍流动能的生成，其定义方式与标准 $k$ - $\omega$ 模型相同。详情请参阅湍流生成的建模 (第63页)。

4.4.2.4.2 ω的生成

项 $G_{\omega }$ 表示 $\omega$ 的生成，其定义为

$$G_{\omega }=\frac{\alpha {\alpha }^{\ast }}{v_t}{G}_k\text{\hspace{1em}(4.110)}$$

请注意，此公式与标准$k$-$\omega$模型有所不同（这一差异对于后续章节中描述的SST模型至关重要）。此外，在评估项${\alpha }_{\infty }$的方式上，它也不同于标准$k$-$\omega$模型。在标准$k$-$\omega$模型中，${\alpha }_{\infty }$被定义为一个常数（0.52）。而对于BSL $k$-$\omega$模型，${\alpha }_{\infty }$则由特定公式给出。

$${\alpha }_{\infty }=F_1{\alpha }_{\infty ,1}+\left(1-F_1\right){\alpha }_{\infty ,2}\text{\hspace{1em}(4.111)}$$

其中

$${\alpha }_{\infty ,1}=\frac{{\beta }_{i,1}}{{\beta }_{\infty }^{\ast }}-\frac{{\kappa }^2}{{\sigma }_{\omega ,1}\sqrt{{\beta }_{\infty }^{\ast }}}\text{\hspace{1em}(4.112)}$$

$${\alpha }_{\infty ,2}=\frac{{\beta }_{i,2}}{{\beta }_{\infty }^{\ast }}-\frac{{\kappa }^2}{{\sigma }_{\omega ,2}\sqrt{{\beta }_{\infty }^{\ast }}}\text{\hspace{1em}(4.113)}$$

其中 $\kappa$ 为 0.41。

4.4.2.5 湍流耗散建模

4.4.2.5.1 k的耗散

项 $Y_k$ 表示湍流动能的耗散，其定义方式与标准 $k-\omega$ 模型中的类似（参见湍流耗散建模（第63页））。不同之处在于评估项 $f_{{\beta }^{\ast }}$ 的方式。在标准 $k-\omega$ 模型中，$f_{{\beta }^{\ast }}$ 被定义为一个分段函数。而对于 BSL $k-\omega$ 模型，$f_{{\beta }^{\ast }}$是一个常数，等于1。因此

$$Y_k=\rho {\beta }^{\ast }k\omega \text{\hspace{1em}(4.114)}$$

4.4.2.5.2 ω的耗散

术语$Y_{\omega }$表示$\omega$的耗散，其定义方式与标准$k$-$\omega$模型中的类似（参见湍流耗散建模(第63页)）。不同之处在于评估${\beta }_i$和$f_{\beta }$的方式。在标准$k$-$\omega$模型中，${\beta }_i$被定义为一个常数（0.072），而$f_{\beta }$则在公式4.92（第64页）中定义。对于BSL $k$-$\omega$模型，$f_{\beta }$是一个等于1的常数。

$$Y_{\omega }=\rho \beta {\omega }^2\text{\hspace{1em}(4.115)}$$

${\beta }_i$ 并非固定值，而是由特定条件决定：

$${\beta }_i=F_1{\beta }_{i,1}+\left(1-F_1\right){\beta }_{i,2}\text{\hspace{1em}(4.116)}$$

并且 $F_1$ 是从公式 4.107（第66页）中获得的。

需要注意的是，在低雷诺数修正中，对于BSL模型定义公式 4.78（第62页）中的 ${\alpha }_0^{\ast }$，仍然使用常数值0.072作为 ${\beta }_i$。

4.4.2.6 交叉扩散修正

BSL $k$ - $\omega$ 模型基于标准 $k$ - $\omega$ 模型和标准 $k$ - $\epsilon$ 模型。为了将这两个模型融合在一起，标准的 $k-\epsilon$ 模型已被转换为基于 $k$ 和 $\omega$的方程式，这导致引入了一个交叉扩散项 $(D_{\omega }$在公式4.102（第65页）中)。$D_{\omega }$被定义为

$$D_{\omega }=2\left(1-F_1\right)\rho \frac{1}{\omega {\sigma }_{\omega ,2}}\frac{\partial k}{\partial x_j}\frac{\partial \omega }{\partial x_j}\text{\hspace{1em}(4.117)}$$

4.4.2.7 模型常数

$${\sigma }_{k,1}=2.0,{\sigma }_{\omega ,1}=2.0,{\sigma }_{k,2}=1.0,{\sigma }_{\omega ,2}=1.168$$

$${\beta }_{i,1}=0.075,{\beta }_{i,2}=0.0828$$ 所有额外的模型常数 $\left({\alpha }_{\infty }^{\ast },{\alpha }_{\infty },{\alpha }_0,{\beta }_{\infty }^{\ast },R_{\beta },R_k,R_{\omega },{\zeta }^{\ast }\text{, 和}{M}_{t0}\right)$ 与标准 $k-\omega$ 模型的值相同（参见模型常数 (第65页)）。

4.4.3 剪切应力传输 (SST) k-ω 模型

4.4.3.1 概述

SST $k$ - $\omega$ 模型包含了 BSL $k$ - $\omega$ 模型的所有改进，并且额外考虑了湍流剪切应力的传输在湍流粘度定义中的影响。

这些特点使得 SST $k$ - $\omega$ 模型（Menter [428] (第1081页)）比标准和 BSL $k-\omega$ 模型在更广泛的流动类型中（例如，逆压梯度流动、翼型、跨音速冲击波）更为准确和可靠。

4.4.3.2 湍流粘度的建模

前述的BSL模型结合了Wilcox模型和$k-\epsilon$模型的优点，但仍未能准确预测光滑表面上的流动分离的起始和程度。主要原因是这两种模型都没有考虑湍流剪切应力的输运。这导致了对涡粘度的过高估计。通过在涡粘度公式中引入限制器，可以获得正确的输运行为：

$${\mu }_t=\frac{\rho k}{\omega }\frac{1}{\max \left[\frac{1}{{\alpha }^{\ast }},\frac{S{F}_2}{a_1\omega }\right]}\text{\hspace{1em}(4.118)}$$

其中，$S$ 表示应变率大小，而 ${\alpha }^{\ast }$ 在公式4.75（第62页）中定义。$F_2$ 则由以下给出：

$$F_2=\tanh \left({\Phi }_2^2\right)\text{\hspace{1em}(4.119)}$$

$${\Phi }_2=\max \left[2\frac{\sqrt{k}}{0.09\omega y},\frac{500\mu }{\rho y^2\omega }\right]\text{\hspace{1em}(4.120)}$$

其中 $y$ 表示到下一个表面的距离。

4.4.3.3 模型常数

$${\sigma }_{k,1}=1.176,{\sigma }_{\omega ,1}=2.0,{\sigma }_{k,2}=1.0,{\sigma }_{\omega ,2}=1.168$$

$$a_1=0.31,{\beta }_{i,1}=0.075,{\beta }_{i,2}=0.0828$$

所有额外的模型常数 $\left({\alpha }_{\infty }^{\ast },{\alpha }_{\infty },{\alpha }_0,{\beta }_{\infty }^{\ast },R_{\beta },R_k,R_{\omega },{\zeta }^{\ast },\text{和}{M}_{t0}\}\right)$ 与标准 $k-\omega$ 模型的值相同（参见模型常数 (第65页)）。

4.4.3.4 SST模型在结冰模拟中的处理

基于Aupoix [32] (第1058页)的Colebrook相关性，已经实现了一种替代的SST粗糙度模型。与Spalart-Allmaras模型一样，采用了壁面湍流粘度的概念，并通过模拟壁面值 $\mathrm{k}$ 和 $\omega$ 来估计。

请注意，这种建模方法会自动禁用 $y^{+}$ -不敏感的壁面处理，该处理在基于 $\omega$ 的湍流模型的近壁处理中有所概述（第152页）。

具体而言，Aupoix提出了以下公式来计算无量纲壁面值 $k_w^{+},{\omega }_w^{+}\left[32\right]$ (第1058页):

$$k_w^{+}=\max \left\{0,\frac{1}{\sqrt{{\beta }^{\ast }}}\tanh \left[\left(\frac{\ln \frac{h_s^{+}}{30}}{\ln 10}+1-\tanh \frac{h_s^{+}}{125}\right)\tanh \frac{h_s^{+}}{125}\right]\right\}\text{\hspace{1em}(4.121)}$$

$${\omega }_w^{+}=\frac{300}{h_s^{{+}^2}}{\left(\tanh \frac{15}{4h_s^{+}}\right)}^{-1}+\frac{191}{h_s^{+}}\left[1-e^{\left(-\frac{h_s^{+}}{250}\right)}\right]\text{\hspace{1em}(4.122)}$$

其中 ${\beta }^{\ast }=0.09$，这是SST k- $\omega$ 模型中的标准常数。$y^{+}$ 和 $h_s^{+}$ 定义如下：

$$y^{+}=\frac{\rho u_{\tau }{d}_w}{\mu }\text{\hspace{1em}(4.123)}$$

$$h_s^{+}=\frac{\rho u_{\tau }{h}_s}{\mu }\text{\hspace{1em}(4.124)}$$

因此，所有关于 $\mathrm{k}$ 和 $\omega$ 的壁面值均已知：

$$k_w=f_w\left(u_{\tau },k_w^{+}\right)=k_w^{+}{u}_{\tau }^2\text{\hspace{1em}(4.125)}$$

$${\omega }_w=f_w\left(u_{\tau },{\omega }_w^{+}\right)=\frac{\rho {\omega }_w^{+}{u}_{\tau }^2}{\mu }\text{\hspace{1em}(4.126)}$$

4.4.4 k-ω模型中浮力对湍流的影响

浮力的影响可以纳入湍流动能$k$（方程4.71（第62页），方程4.101（第65页））和比耗散率$\omega$（方程4.72（第62页），方程4.102（第65页））的输运方程中。

由于浮力产生的湍流生成项$\left(G_b\right)$与基于耗散率$\epsilon$输运方程的湍流模型中的处理方式相同（参见k-ε模型中浮力对湍流的影响（第58页））。它默认包含在湍流动能$k$的输运方程中。

$\omega$-方程中的浮力项$\left(G_{\omega b}\right)$是从$\mathrm{k}$和$\epsilon$方程（方程4.39（第50页）和方程4.40（第50页））推导出来的，使用以下关系：

$$\epsilon ={\beta }^{\ast }\omega k\text{\hspace{1em}(4.127)}$$

$$\frac{D\left(\rho \epsilon \right)}{Dt}={\beta }^{\ast }\omega \frac{D\left(\rho k\right)}{DT}+{\beta }^{\ast }k\frac{D\left(\rho \omega \right)}{DT}\text{\hspace{1em}(4.128)}$$

此推导过程导致浮力源项发生如下变换：

$$G_{\omega b}=\frac{\omega }{k}{C}_{1\epsilon }\left(C_{3\epsilon }{G}_b\right)-\frac{\omega }{k}{G}_b\text{\hspace{1em}(4.129)}$$

$\omega$ 方程中的浮力项的第一部分，即 $G_{\omega b}$，源自耗散率的输运方程。模型系数 $C_{1\epsilon }$ 被替换为 $\left(1+\alpha \right)$，其中 $\alpha$ 是 $\omega$ 方程中生成项的对应系数。在 BSL 和 SST 模型中，此系数是 $k$-$\omega$ 模型与转换后的 k-$\epsilon$ 模型的相应系数的线性组合。对于 $\mathrm{k}-\epsilon$ 模型，$\alpha$ 的值为0.44。标准 $\mathrm{k}-\epsilon$ 模型中的 $C_{1\epsilon }$值由此 $\alpha$值恢复得到。

系数 $C_{3\epsilon }$并未指定，而是根据公式4.67（第59页）计算得出。

因此，$\omega$-输运方程的浮力源项最终表达式如下：

$$G_{\omega b}=\frac{\omega }{k}\left[\left(1+\alpha \right)C_{3\epsilon }{G}_b-G_b\right]\text{\hspace{1em}(4.130)}$$

默认情况下包含第二部分，而第一部分仅在“粘性模型”对话框中指定了完整浮力模型时才会包含（参见《Fluent用户指南》中的“包括浮力对湍流的影响”）。

4.4.5 湍流阻尼

有关湍流阻尼的详细信息，请参阅第167页的“湍流阻尼”。