本节阐述了 $k$ - $k l$ - $ω$ 转捩模型的理论基础。如需了解在Ansys Fluent中应用该模型的具体操作，请参阅用户指南中的“湍流建模”及“设置转捩k-kl- $ω$ 模型”部分。

更多详情，请参考以下章节：

4.6.1. 概述
4.6.2. k-kl- $ω$ 模型的输运方程

4.6.1 概述

$k$ - $k l$ - $ω$ 转捩模型 [685]（第1096页）用于预测边界层发展和计算转捩起始点。该模型能有效处理边界层从层流到湍流的转捩问题。

4.6.2 k-kl- $ω$ 模型的输运方程

$k$ - $k l$ - $ω$ 模型被视为一种三方程涡粘性类型，包含湍流动能 $(k_{T})$ 、层流动能 $(k_{L})$ 以及逆湍流时间尺度 $(ω)$ 的输运方程。

$\frac{D k _{T}}{D t} = P_{K_{T}} + R + R_{N A T} - ω k_{T} - D_{T} + \frac{\partial}{\partial x _{j}} [(v + \frac{α _{T}}{α _{k}}) \frac{\partial k _{T}}{\partial x _{j}}] (4.133)$

$\frac{D k _{L}}{D t} = P_{K_{L}} - R - R_{N A T} - D_{L} + \frac{\partial}{\partial x _{j}} [v \frac{\partial k _{L}}{\partial x _{j}}] (4.134)$

$\frac{D _{ω}}{D _{t}} = C_{ω 1} \frac{ω}{k _{T}} P_{k_{T}} + {\frac{C _{ω R}}{f _{W}} - 1} \frac{ω}{k _{T}} {R + R_{N A T}} - C_{ω 2} ω^{2} + C_{ω 3} f_{ω} α_{T} f_{W}^{2} \frac{k _{T}}{d ^{3}} + \frac{\partial}{\partial x _{j}} [(ν + \frac{α _{T}}{α _{ω}}) \frac{\partial ω}{\partial x _{j}}] (4.135)$

通过湍流粘度和总热扩散率，将湍流和层流脉动纳入平均流动和能量方程的方式如下：

$\overline{- u_{i} u_{j}} = v_{TOT} (\frac{\partial U _{i}}{\partial x _{j}} + \frac{\partial U _{j}}{\partial x _{i}}) - \frac{2}{3} k_{TOT} δ_{ij} (4.136)$

$\overline{- u_{i} θ} = α_{θ, TOT} \frac{\partial θ}{\partial x _{i}} (4.137)$

有效长度定义为

$λ_{e ff} = MIN (C_{λ} d, λ_{T}) (4.138)$

其中， $λ_{T}$ 表示湍流长度尺度，其定义为

$λ_{T} = \frac{k}{ω} (4.139)$

小尺度能量由以下定义：

$k_{T, s} = f_{ss} f_{W} k_{T} (4.140)$

$f_{W} = \frac{λ _{e ff}}{λ _{T}} (4.141)$

$f_{ss} = exp [- (\frac{C _{ss} v Ω}{k _{T}})^{2}] (4.142)$

大尺度能量由以下公式给出：

$k_{T, l} = k_{T} - k_{T, s} (4.143)$

注意到，方程4.140（第74页）与方程4.143（第74页）之和得到湍流动能 $k_{T}$ 。

由湍流脉动产生的湍流生成项为

$P_{k_{T}} = v_{T, s} S^{2} (4.144)$

小尺度湍流粘度为 $v_{T, s}$

$v_{T, s} = f_{v} f_{I NT} C_{μ} k_{T, s} λ_{e ff} (4.145)$

且

$C_{μ} = \frac{1}{A _{0} + A _{s} ( S / ω )} (4.146)$

$f_{v} = 1 - exp (- \frac{R e _{T, s}}{A _{v}}) (4.147)$

定义由于间歇性引起的湍流生成的阻尼函数如下：

$f_{I NT} = MIN (\frac{k _{L}}{C _{I NT} k _{TOT}}, 1) (4.148)$

$R e_{T, s} = \frac{f _{W}^{2} k _{T}}{v ω} (4.149)$

在公式4.134（第73页）中， $P_{k_{L}}$ 表示大尺度湍流脉动产生的层流动能。

$P_{k_{L}} = v_{T, l} S^{2} (4.150)$

大尺度湍流粘度 $v_{T, 1}$ 被模拟为

$ν_{T, 1} = MIN {ν_{T, 1}^{*}, \frac{0.5 ( k _{L} + k _{T, 1} )}{S}} (4.151)$

其中

$v_{T, 1}^{*} = f_{τ, 1} C_{11} (\frac{Ω λ _{e ff}^{2}}{v}) k_{T, 1} λ_{e ff} + β_{TS} C_{12} φ_{N A T} d^{2} Ω (4.152)$

方程4.151（第75页）中的限制条件确保了在二维发展边界层中不违反可实现性。基于时间尺度的阻尼函数 $f_{τ, 1}$ 为：

$f_{τ, 1} = 1 - exp [- C_{τ, 1} \frac{k _{T, 1}}{λ _{e ff}^{2} Ω ^{2}}] (4.153)$

其中， $β_{TS}$ 来自公式 4.152（第75页）

$β_{TS} = 1 - exp (- \frac{MAX ( φ _{N A T} - C _{TS, crit} , 0 ) ^{2}}{A _{TS}}) (4.154)$

$φ_{N A T} = \frac{d ^{2} Ω}{v} (4.155)$

近壁耗散由以下公式给出：

$D_{T} = 2 v \frac{\partial k _{T}}{\partial x _{j}} \frac{\partial k _{T}}{\partial x _{j}} (4.156)$

$D_{L} = 2 v \frac{\partial k _{L}}{\partial x _{j}} \frac{\partial k _{L}}{\partial x _{j}} (4.157)$

在公式4.133（第73页）至公式4.135（第73页）中， $R$ 表示顺流向波动在旁路转捩过程中分解为湍流的平均效应：

$R = C_{R} β_{BP} k_{L} ω / f_{W} (4.157)$

$β_{B P^{'}}$ 作为阈值函数，控制着旁路转捩过程：

$β_{BP} = 1 - e x p (- \frac{φ _{BP}}{A _{BP}}) (4.159)$

$φ_{BP} = MAX [(\frac{k _{T}}{ν Ω} - C_{BP, crit}), 0] (4.160)$

由于不稳定性导致的湍流分解被认为是自然转捩产生项，由以下公式给出：

$R_{N A T} = C_{R, N A T} β_{N A T} k_{L} Ω (4.161)$

$β_{N A T} = 1 - exp [- \frac{MAX ( φ _{N A T} - C _{N A T, cr i t} / f _{N A T, cr i t} , 0 )}{A _{N A T}}] (4.162)$

$f_{N A T, cr i t} = 1 - exp (C_{NC} \frac{k _{L} d}{v}) (4.163)$

使用 $ω$ 作为尺度确定变量可以减少湍流边界层外区域的间歇性效应，从而消除速度剖面中的尾流区域。根据公式4.135（第73页），定义了以下阻尼：

$f_{ω} = 1 - exp [- 0.41 (\frac{λ _{e ff}}{λ _{T}})^{4}] (4.164)$

方程4.136（第74页）和方程4.137（第74页）中包含的总涡流粘度和涡流扩散度由以下公式给出：

$v_{TOT} = v_{T, s} + v_{T, l} (4.165)$

$α_{θ, TOT} = f_{W} (\frac{k _{T}}{k _{TOT}}) \frac{v _{T, s}}{P r _{θ}} + (1 - f_{W}) C_{α, θ} k_{T} λ_{e ff} (4.166)$

方程4.133（第73页）至方程4.135（第73页）中定义的湍流标量扩散率是

$α_{T} = f_{v} C_{μ, s t d} k_{T, s} λ_{e ff} (4.167)$

$k_{TOT} = k_{T} + k_{L} (4.168)$

可压缩性效应选项，类似于 $k$ - $ε$ 模型中的（《k-ε模型中湍流的可压缩性效应》第59页），在 $k$ - $k l$ - $ω$ 模型中也适用。默认情况下，此可压缩性效应选项是关闭的。详细信息请参阅《Fluent用户指南》中的“模型增强”部分。

4.6.2.1 模型常数

以下列出了 $k$ - $k l$ - $ω$ 转捩模型的常数[685]（第1096页）

$A_{0} = 4.04, A_{s} = 2.12, A_{v} = 6.75, A_{BP} = 0.6$

$A_{N A T} = 200, A_{TS} = 200, C_{BP, cr i t} = 1.2, C_{NC} = 0.1$

$C_{N A T, cr i t} = 1250, C_{I NT} = 0.75, C_{TS, cr i t} = 1000, C_{R, N A T} = 0.02$

$C_{11} = 3.4 \times 10^{- 6}, C_{12} = 1.0 \times 10^{- 10}, C_{R} = 0.12, C_{α, θ} = 0.035$

$C_{SS} = 1.5, C_{τ, 1} = 4360, C_{◛} = 0.44, C_{◜} = 0.92$

$C_{◝} = 0.3, C_{ω R} = 1.5, C_{λ} = 2.495, C_{μ, s t d} = 0.09$

$θ Pr = 0.85, σ_{k} = 1, σ_{ω} = 1.17$

4.6.1 概述

4.6.2 k-kl-ω模型的输运方程

4.6.2.1 模型常数

4.6.2 k-kl- $ω$ 模型的输运方程