磁感应方法

在第一种方法中，磁感应方程由欧姆定律和麦克斯韦方程推导得出。该方程提供了流场与磁场之间的耦合关系。

一般来说，定义电流密度的欧姆定律可以表示为：

$j = σ E (21.7)$

其中， $σ$ 表示介质的电导率。对于磁场 $B$ 中的流体速度场 $U$ ，欧姆定律的形式为：

$j = σ (E + U \times B) (21.8)$

从欧姆定律和麦克斯韦方程出发，我们可以推导出感应方程：

$\frac{\partial B}{\partial t} + (U \cdot \nabla) B = \frac{1}{μ σ} \nabla^{z} B + (B \cdot \nabla) U (21.9)$

从已解得的磁场 $B$ 出发，可以利用安培定律计算电流密度 $j$ ，如下所示：

$j = \frac{1}{μ} \nabla \times B (21.10)$

通常，在磁流体动力学（MHD）问题中，磁场 $B$ 可以分解为外部施加的场 $B_{o}$ 和由于流体运动引起的感应场 $b$ 。只有感应场 $b$ 需要求解。

根据麦克斯韦方程组，施加的场 $B_{o}$ 满足以下方程：

$\nabla^{2} B_{0} - μ σ^{'} \frac{\partial B _{0}}{\partial t} = 0 (21.11)$

其中， $σ^{'}$ 表示产生场 $B_{0}$ 的介质的电导率。需要考虑两种情况：

更多信息，请参阅以下章节：

21.2.1. 情况1：在非导电介质中产生的外加磁场

21.2.2. 情况2：在导电介质中产生的外加磁场

21.2.1 情况1：在非导电介质中产生的外加磁场

在这种情况下，外加场 $B_{0}$ 满足以下条件：

$\nabla \times B_{0} = 0 (21.12)$

$\nabla^{2} B_{0} = 0 (21.13)$

在 $B = B_{0} + b$ 的条件下，感应方程（方程 21.9，第 940 页）可以写成：

$\frac{\partial b}{\partial t} + (U \cdot \nabla) b = \frac{1}{μ σ} \nabla^{2} b + ((B_{0} + b) \cdot \nabla) U - (U \cdot \nabla) B_{0} - \frac{\partial B _{0}}{\partial t} (21.14)$

电流密度可表示为：

$j = \frac{1}{μ} \nabla \times b (21.15)$

21.2.2 情况2：导电介质中外部施加的磁场生成

在这种情况下，方程21.12（第940页）和方程21.13（第940页）给出的条件不再成立。假设生成磁场 $B_{0}$ 的介质的电导率与流动介质的电导率相同，即 $σ^{'} = σ$ ，根据方程21.9（第940页）和方程21.11（第940页），感应方程可以写为：

$\frac{\partial b}{\partial t} + (U \cdot \nabla) b = \frac{1}{μ σ} \nabla^{2} b + ((B_{0} + b) \cdot \nabla) U - (U \cdot \nabla) B_{0} (21.16)$

电流密度由以下公式给出：

$j = \frac{1}{μ} \nabla \times (B_{0} + b) (21.17)$

对于感应方程，即方程21.14（第941页）或方程21.16（第941页），感应场的边界条件如下：

$b = {b_{n} b_{t 1} b_{t 2}}^{T} = b^{*} (21.18)$

下标表示场的法向和切向分量，而 $b^{*}$ 由您指定。对于电绝缘边界，由于在边界上 $j_{n} = 0$ ，根据安培关系，边界上 $b_{t 1} = b_{t 2} = 0$ 。