电势法

处理电流密度的第二种方法是求解电势方程，并利用欧姆定律计算电流密度。一般来说，电场 $E$ 可以表示为：

$E = - \nabla φ - \frac{\partial A}{\partial t} (21.19)$

其中， $φ$ 和 $A$ 分别代表标量势和矢量势。对于静态场，并且假设 $b ≪ B_{0}$ ，欧姆定律（如第940页的方程21.8所示）可以表示为：

$j = σ (- \nabla φ + (U \times B_{0})) (21.20)$

对于足够导电的介质，电荷守恒原理给出：

$\nabla \cdot j = 0 (21.21)$

因此，电势方程可表示为：

$\nabla^{2} φ = \nabla \cdot (U \times B_{0}) (21.22)$

电势 $φ$ 的边界条件为：

$\frac{\partial φ}{\partial n} = (U \times B_{0})_{boundary} \cdot n (21.23)$

对于绝缘边界，其中 $n$ 是垂直于边界的单位向量，并且

$φ = φ_{0} (21.24)$

对于一个导电边界，其中 $φ_{0}$ 是边界上指定的电势。然后可以从方程21.20（第941页）计算电流密度。

在了解了感应电流的情况下，通过向流体动量方程和能量方程引入额外的源项来实现磁流体动力学（MHD）耦合。对于流体动量方程，额外的源项是洛伦兹力，由以下公式给出：

$F = j \times B (21.25)$

在SI单位制中，该量的单位为 $N / m^{3}$ 。对于能量方程而言，新增的源项为焦耳加热速率，其表达式如下：

$Q = \frac{1}{σ} j \cdot j (21.26)$

其单位为 $W / m^{3}$ 。

对于电磁场中的带电粒子，作用在粒子上的洛伦兹力由以下公式给出：

$F_{p} = q (E + v_{p} \times B) (21.27)$

其中， $q$ 是粒子电荷密度 $(库仑 / m^{3})$ ， $v_{p}$ 是粒子速度。力 $F_{p}$ 的单位是 $N / m^{3}$ 。

对于多相流，假设相界面上的电表面电流可以忽略不计，混合物的电导率由以下公式给出：

$σ_{m} = i \sum σ_{i} v_{i} (21.28)$

其中， $σ_{i}$ 和 $v_{i}$ 分别表示第 $i$ 相的电导率和体积分数。 $σ_{m}$ 用于求解感应方程。