关于此模型的信息，请参阅以下章节：

12.14.1 引言

当您的模拟包含粒子追踪时，Ansys Fluent提供了一种选项，以计算效率高的方式估算粒子碰撞的数量及其结果。任何碰撞计算的难点在于，对于 $N$ 个粒子，每个粒子都有 $N - 1$ 个可能的碰撞伙伴。

因此，可能的碰撞对数大约是 $\frac{1}{2} N^{2}$ 。（ $\frac{1}{2}$ 这个因子出现是因为粒子A与粒子B的碰撞与粒子B与粒子A的碰撞是相同的。这种对称性将可能的碰撞事件数量减少了一半。）

一个重要的考虑因素是，碰撞算法必须在每个时间步计算 $\frac{1}{2} N^{2}$ 个可能的碰撞事件。由于喷雾可以包含数百万个粒子，从基本原理出发进行碰撞计算的计算成本是禁止的。这促使了包裹（parcels）概念的产生。包裹是多个单个粒子的统计表示。例如，如果Ansys Fluent追踪一组包裹，每个包裹代表1000个粒子，那么碰撞计算的成本就会降低

一个数量级，即 $10^{6}$ 。尽管碰撞计算的成本仍然与 $N$ 的平方成正比，但这种成本的降低是显著的；然而，计算如此多包裹轨迹可能交点的努力仍然是禁止的。

O’Rourke [493]（第1085页）提出的算法有效地降低了喷雾计算的计算成本。与使用几何方法判断粒子路径是否相交不同，O’Rourke的方法是一种碰撞的随机估计。O'Rourke还假设，只有当两个粒子位于同一个连续相单元中时，它们才可能发生碰撞。这两个假设仅在连续相单元尺寸远小于喷雾尺寸时有效。在这些条件下，O'Rourke方法在估计碰撞几率时具有二阶精度。粒子概念与O'Rourke算法的结合使得实际喷雾问题的碰撞计算成为可能。

一旦确定两个粒子发生碰撞，算法将进一步确定碰撞的类型。对于液滴，考虑了聚结和反弹两种结果，而对于固体颗粒，仅考虑反弹。结果的概率是从碰撞韦伯数 $(W e_{c})$ 和实验观察的拟合中计算得出的。

$W e_{c} = \frac{ρ U _{re l}^{2} D ˉ}{σ}$

(12.481)

其中， $U_{re l}$ 表示两个团之间的相对速度， $\overset{ˉ}{D}$ 表示由这两个团表示的颗粒的算术平均直径。两个碰撞团的状况会根据碰撞的结果进行修改。

12.14.2 使用与局限

碰撞模型假设碰撞频率远小于颗粒时间步长。如果颗粒时间步长过大，结果可能会依赖于时间步长。您应相应调整颗粒长度尺度。此外，该模型最适用于低韦伯数碰撞，即碰撞结果为弹跳和聚结。当韦伯数超过约100时，碰撞结果可能是破碎。

有时，碰撞模型可能导致喷雾中出现网格依赖的伪影。这是由于假设团只能在同一单元内发生碰撞。这些伪影往往在喷雾源位于网格顶点时可见。团的聚结倾向于导致喷雾从单元边界处脱离。在二维情况下，使用更细的网格和更多的团可以减少这些效应。在三维情况下，当使用以喷雾为中心的极坐标网格建模时，可以获得最佳结果。

如果在瞬态模拟中使用碰撞模型，则不能在离散相模型对话框的DPM迭代间隔字段中指定每个时间步的多个DPM迭代。在这种情况下，每个时间步只计算一次DPM迭代。

12.14.3 理论

如上所述，O'Rourke算法假设只有当两个颗粒位于同一个连续相单元格内时，它们才可能发生碰撞。这一假设可能导致那些距离很近但不在同一单元格内的颗粒无法碰撞，尽管通过允许一些距离较远的颗粒发生碰撞，这种误差的影响有所减轻。该方案在空间上的整体精度为二阶。

12.14.3.1 碰撞概率

两个颗粒的碰撞概率是从较大颗粒（称为收集颗粒，以下标识为1）的角度推导的。较小颗粒在以下推导中标识为2。碰撞计算在收集颗粒的参考系中进行。在这个局部参考系中，只有当颗粒1和颗粒2的中心在它们相对速度矢量 $v_{re l}$ 的法线方向上的距离小于或等于 $r_{1} + r_{2}$ 时，碰撞才可能发生。利用这一几何条件，可以确定一个截面，颗粒2的中心必须通过该截面才能发生碰撞。该截面的面积为 $π (r_{1} + r_{2})^{2}$ 。所谓的碰撞体积可以通过将截面面积乘以相对速度矢量 $v_{re l}$ 和积分时间步长 $Δ t$ 来推导。

O’Rourke算法利用碰撞体积来计算碰撞概率。该算法并不直接计算粒子2的中心是否位于碰撞体积内，而是计算这一事件发生的概率。如果粒子2在体积为 $V$ 的单元格内任意位置出现的概率是均匀的，那么粒子2位于碰撞体积内的概率就是碰撞体积与单元格体积的比值。因此，收集器与粒子2发生碰撞的概率为：

$P_{1} = \frac{π ( r _{1} + r _{2} ) ^{2} v _{re l} Δ t}{V}$

方程12.482（第575页）可以推广到包裹情况，其中包裹1有 $n_{1}$ 个粒子，包裹2有 $n_{2}$ 个粒子。收集器包裹1经历的平均预期碰撞次数为：

$\overset{n}{ˉ} = \frac{n _{2} π ( r _{1} + r _{2} ) ^{2} v _{rel} Δ t}{V}$

(12.483)

收集器实际经历的碰撞次数通常并不等于预期的平均碰撞次数。根据O'Rourke的理论，碰撞次数的概率分布遵循泊松分布，其表达式如下：

$P (n) = e^{- \overset{n}{ˉ}} \frac{n ˉ ^{n}}{n !}$

其中， $n$ 表示收集器与其他粒子之间的碰撞次数。

对于每个 DPM 时间步长，计算每个单元格中每对跟踪的包裹的平均预期碰撞次数。为了确定是否会发生碰撞，计算无碰撞的概率 $(P (0) = e^{- \overset{n}{ˉ}})$ 并将其与均匀采样的随机数进行比较。如果随机数大于 $P (0)$ ，则这两个包裹将发生碰撞。

12.14.3.2 碰撞结果

一旦确定两个包裹发生碰撞，就必须决定碰撞的结果。一般来说，可能的碰撞结果如下：

仅反弹

如果忽略聚结效应，任何类型的碰撞都会发生反弹。

反弹和聚结

聚结通常可能发生在液滴上。

如果粒子正面碰撞，就会发生聚结。如果碰撞更倾斜，粒子会相互弹开。

12.14.3.2.1 反弹

如果不考虑聚结，粒子碰撞的结果是中心碰撞。碰撞点是两个碰撞粒子接触的点，随机确定为连接两个碰撞粒子质心的直线与它们表面的交点。在收集器粒子的参考系中，碰撞方向由指向连接收集器粒子质心和碰撞点的直线的基向量描述。因此，根据动量和能量守恒定律，粒子在 $n$ 方向上的碰撞后速度通过以下方程 [221] (第 1069 页) 计算：

$v_{1}^{'} = \frac{m _{1} v _{1, n} + m _{2} v _{2, n}}{m _{1} + m _{2}} - \frac{k m _{2} ( v _{1, n} - v _{2, n} )}{m _{1} + m _{2}}$

其中， $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 分别是粒子1和粒子2的质量， $k$ 是恢复系数。在理想碰撞中 $k = 1$ ，而在塑性碰撞中 $k = 0$ 。Ansys Fluent 假设完全弹性碰撞并使用恢复系数 $k = 1$ 。请注意，只有 $n$ 方向的速度会改变。

12.14.3.2.2 反弹与聚结

在当前使用的参考系中，聚结的概率与收集粒子中心和小粒子2轨迹的偏移量有关。临界偏移量是碰撞韦伯数和收集粒子与小粒子相对半径的函数。

O'Rourke 通过以下表达式计算临界偏移量：

$b_{crit} = (r_{1} + r_{2}) min (1.0, \frac{2.4 f}{W e})$

其中， $f$ 是 $r_{1} / r_{2}$ 的函数，定义为

$f (\frac{r _{1}}{r _{2}}) = (\frac{r _{1}}{r _{2}})^{3} - 2.4 (\frac{r _{1}}{r _{2}})^{2} + 2.7 (\frac{r _{1}}{r _{2}})$

实际碰撞参数 $b$ 的值为 $(r_{1} + r_{2}) Y$ ，其中 $Y$ 是一个介于0和1之间的随机数。计算得到的 $b$ 值与 $b_{crit}$ 进行比较，若 $b < b_{crit}$ ，则碰撞结果为聚并。公式12.484（第575页）给出了与收集器聚并的较小颗粒的数量。聚并后颗粒的性质根据基本守恒定律确定。

在擦边碰撞的情况下，新速度基于动量和动能守恒来计算。假设颗粒的部分动能会因粘性耗散和角动量生成而损失。这一损失比例与碰撞偏移参数 $b$ 相关。利用假设的能量损失形式，O’Rourke推导出了新速度的表达式如下：

$v_{1}^{'} = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}} + \frac{m _{2} ( v _{1} - v _{2} )}{m _{1} + m _{2}} (\frac{b - b _{crit}}{r _{1} + r _{2} - b _{crit}})$

此关系式适用于速度的每个分量。在擦边碰撞中，没有其他粒子属性发生改变。