纤维元素的质量守恒可以表示为

$$\frac{d}{dz}\left({\rho }_f{\overrightarrow{u}}_f{\overrightarrow{A}}_f{Y}_s\right)=-\pi d_f\dot{m_s}\text{\hspace{1em}(22.1)}$$

式中

$${\rho }_f=\text{fiber density}$$

$${\overrightarrow{u}}_f=\text{fiber velocity vector}$$

${\overrightarrow{A}}_f=$ 与流动方向平行的纤维表面积矢量

$Y_s=$ 纤维中溶剂 $s$ 的质量分数

${\dot{m}}_s^{\prime \prime }=$ 溶剂 $s$ 的蒸发质量流率

$d_f=$ 纤维直径

$z=$ 沿纤维的坐标

${\dot{m}}_s^{\prime \prime }$ 是使用薄膜理论计算的。

$${\dot{m}}_s^{{}^{\prime \prime }}=M_{s}c\beta \ln \left(\frac{1-{\psi }_{s,g}}{1-{\psi }_{s,I}}\right)\text{\hspace{1em}(22.2)}$$

其中，

$\beta =$ 从适当的相关性估计的质量转移系数（参见动量、热量和质量转移的相关性（第952页））

$M_s=$ 溶剂的分子量

$c=$ 周围气体的摩尔浓度

${\psi }_{s,g}=$ 周围气体中溶剂蒸气的摩尔分数

在纤维表面，气体中溶剂的摩尔分数 ${\psi }_{s,l}$ 与纤维中溶剂的质量分数 $Y_s$ 通过Flory [185]（第1067页）给出的气液平衡方程相关联，

$${\psi }_{s,I}=\frac{p_{s,\text{ vap }}}{p}{Y}_s{e}^{1-Y_s+\chi {\left(1-Y_s\right)}^2}\text{\hspace{1em}(22.3)}$$

何处

$$\chi =\text{Flory-Huggins parameter}$$

$p=$ 周围流动中的绝对压力

$p_{s,vap}=$ 溶剂的饱和蒸汽压

这些方程仅在选择了干纺纤维时使用。

纤维的形成基于在卷取点施加于纤维的张力，这些张力导致纤维的拉伸和延伸。

对纤维微元进行力的平衡分析，得出纤维动量变化的方程。

$$\frac{d\left({\rho }_f{u}_f{u}_f{\overrightarrow{A}}_f\right)}{dz}=\frac{d\overrightarrow{F}}{dz}+{\overrightarrow{F}}_{\text{friction }}+{\overrightarrow{F}}_{\text{gravitation }}\text{\hspace{1em}(22.4)}$$

由于纤维的加速度、与周围气体的摩擦力以及重力作用，纤维中的张力会发生改变。

与周围气体的摩擦力是通过计算得出的。

$${\overrightarrow{F}}_{\text{friction }}=\frac{1}{2}\rho c_{f,ax}\pi d_f\left|{\overrightarrow{u}}_f-{\overrightarrow{u}}_{\text{par }}\right|\left({\overrightarrow{u}}_f-{\overrightarrow{u}}_{\text{par }}\right)\text{\hspace{1em}(22.5)}$$

其中

$\rho =$ 气体密度

$c_{f,ax}=$ 沿纤维轴向的摩擦系数

${\overrightarrow{u}}_{\text{par }}=$ 沿纤维方向的气体速度

重力由以下公式计算得出

$${\overrightarrow{F}}_{\text{gravitation }}={\rho }_f\frac{\pi }{4}{d}_f^2\overrightarrow{g}\cdot {\overrightarrow{n}}_f\text{\hspace{1em}(22.6)}$$

其中，${\overrightarrow{n}}_f$ 表示纤维元素的方向向量。

拉伸力 $\overrightarrow{F}$ 与应力张量的分量相关联。

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{A}}_f\left({\tau }_{zz}-{\tau }_{rr}\right)\text{\hspace{1em}(22.7)}$$

忽略粘弹性效应并假设牛顿流动，便可以得到

$${\tau }_{zz}=2{\eta }_f\frac{d{u}_f}{dz}\text{\hspace{1em}(22.8)}$$

$${\tau }_{rr}=-{\eta }_f\frac{d{u}_f}{dz}\text{\hspace{1em}(22.9)}$$

导致

$$\overrightarrow{F}=3{\overrightarrow{A}}_f{\eta }_f\frac{d{u}_f}{dz}\text{\hspace{1em}(22.10)}$$

通过将零剪切粘度 ${\eta }_f$ 乘以三，来估算拉伸粘度。

为了计算沿纺丝线方向的纤维温度，对进入和传递至微分纤维单元的热焓进行平衡处理。

$$\begin{array}{ccc}\frac{d}{dz}\left({\rho }_f{\overrightarrow{u}}_f\cdot {\overrightarrow{A}}_f{h}_f\right)& =& \frac{d}{dz}\left({\lambda }_f{\overrightarrow{A}}_f\frac{d{T}_f}{dz}\right)+\pi d_f\left(\alpha \left(T-T_f\right)-{\dot{m}}_s^{{}^{\prime \prime }}{h}_{s,\nu }\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(22.11)}$$

$$\text{+}{\dot{Q}}_{\text{viscous heating }}+{\dot{Q}}_{\text{radiation, abs }}-{\dot{Q}}_{\text{radiation, emission }}$$

式中

$$h_f=\text{fiber enthalpy}$$

$${\lambda }_f=\text{fiber thermal conductivity}$$

$$T_f=\text{fiber temperature}$$

$$h_{s,v}=\text{enthalpy of the solvent vapor}$$

$$\alpha =\text{heat transfer coefficient}$$

在熔体纺丝过程中，${\dot{m}}_s^{{}^{\prime \prime }}$ 为零，因为没有质量转移。由于粘性加热产生的热量项是从圆柱形流动的流体力学中推导出来的。

$${\dot{Q}}_{\text{viscous heating }}=\frac{\pi }{4}{d}_f^2\left(4{\left(\frac{d{u}_f}{dz}\right)}^2-\frac{2}{3}{\dot{m}}_s^{\prime \prime \prime 2}\right)\text{\hspace{1em}(22.12)}$$

辐射热交换由最后两项考虑。

$${\dot{Q}}_{\text{radiation, abs }}=d_f{\epsilon }_{f}G\text{\hspace{1em}(22.13)}$$

$${\dot{Q}}_{\text{radiation, emission }}=\pi d_f{\epsilon }_f\sigma T_f^4\text{\hspace{1em}(22.14)}$$

式中

$$G=\text{thermal irradiation}$$

$${\epsilon }_f=\text{fiber’s emissivity}$$

$$\sigma =\text{Boltzman constant}$$

纤维焓值 $h_f$ 与纤维温度 $T_f$ 之间的关系如下：

$$h_f={\int }_{T_{ref}}^{T_f}\left(\left(1-Y_s\right)C_{p_p}+Y_s{C}_{p_s}\right)dT\text{\hspace{1em}(22.15)}$$

它利用了聚合物的比热容 $C_{p_p}$ 和纤维中溶剂的比热容 $C_{p_s}$。

在给定温度 $T_v$ 下，溶剂蒸气的焓值取决于在蒸发温度 $T_{vap}$ 下给出的蒸发热 $\Delta h_s$，并通过以下公式计算得出：

$$h_{s,v}={\int }_{T_{ref}}^{T_{vap}}{C}_{p_{s,l}}dT+{\Delta h_s|}_{T_{vap}}+{\int }_{T_{vap}}^{T_v}{C}_{p_{s,v}}dT\text{\hspace{1em}(22.16)}$$

以下是翻译后的中文文本：

$C_{p_{s,l}}=$ 溶剂液体的比热容

$C_{p_{s,v}}=$ 溶剂蒸气的比热容