以下小节介绍了欧拉多相模型的详细信息：

• 14.5.1. 欧拉模型的概述
• 14.5.2. 欧拉模型的局限性
• 14.5.3. 体积分数方程
• 14.5.4. 守恒方程
• 14.5.5. 欧拉多相模型的表面张力和粘附
• 14.5.6. 界面面积浓度
• 14.5.7. 相间交换系数
• 14.5.8. 升力系数修正
• 14.5.9. 升力
• 14.5.10. 壁面润滑力
• 14.5.11. 湍流分散力
• 14.5.12. 虚拟质量力
• 14.5.13. 固体压力
• 14.5.14. 二元混合物中的最大堆积极限
• 14.5.15. 固体剪切应力
• 14.5.16. 颗粒温度
• 14.5.17. 传热描述
• 14.5.18. 湍流模型
• 14.5.19. Fluent中的求解方法
• 14.5.20. 代数界面面积密度（AIAD）模型
• 14.5.21. 广义两相（GENTOP）流动模型
• 14.5.22. 过滤两流体模型
• 14.5.23. 稠密离散相模型
• 14.5.24. 多流体VOF模型
• 14.5.25. 壁面沸腾模型

14.5.1 欧拉模型的概述

Fluent中的欧拉多相模型允许对多个独立的、相互作用的相进行建模。这些相可以是液体、气体或固体，几乎可以任意组合。与用于离散相模型的欧拉-拉格朗日处理方法不同，欧拉多相模型对每个相使用欧拉处理方法。

在欧拉多相模型中，次要相的数量仅受内存需求和收敛行为的限制。只要内存足够，可以对任意数量的次要相进行建模。然而，对于复杂的多相流，您可能会发现解决方案受收敛行为的限制。有关多相建模策略，请参阅用户指南中的欧拉模型。

Fluent的欧拉多相模型不区分流体-流体和流体-固体（颗粒）多相流。颗粒流仅涉及至少一个被指定为颗粒相的相。

Fluent的解决方案基于以下内容：

• 所有相共享一个单一压力。

• 对每一相求解动量和连续性方程。

• 以下参数适用于颗粒相：

• 可以为每个固体相计算颗粒温度（固体波动能量）。您可以选择代数公式、常数、用户定义函数或偏微分方程。

• 通过将动理学理论应用于颗粒流动来获得固体相的剪切和体积粘度。建模颗粒流动的摩擦粘度也可用。您可以选择适用于所有属性的适当模型和用户定义函数。

• 有几种适用于各种多相流体制的相间曳力系数函数可供选择。（如Fluent定制手册所述，您也可以通过用户定义函数修改相间曳力系数。）

• 所有$k-\epsilon$和$k-\omega$湍流模型均可用，并可应用于所有相或混合物。

14.5.2 欧拉模型的局限性

Fluent 中所有其他可用功能均可与欧拉多相模型结合使用，但以下限制除外：

• 雷诺应力湍流模型不能按相使用。

• 粒子跟踪（使用拉格朗日分散相模型）仅与主相交互。

• 使用欧拉模型时，不能模拟指定质量流率的轴向周期流动（允许指定压降）。

• 不允许无粘流动。

• 不允许熔化和凝固。

• 当结合欧拉多相模型使用DPM模型进行粒子跟踪时，不能选择$\mathrm{Shared}$内存方法（离散相模型的并行处理）。（请注意，使用消息传递或混合方法可使所有多相流模型与DPM模型兼容。）

欧拉多相模型与非预混、部分预混及预混燃烧模型不兼容。

要从单相模型转换为多相模型，您需要按照一系列步骤进行操作。首先，您需要设置一个混合物解决方案，然后是一个多相解决方案。然而，由于多相问题紧密相关，直接从一组初始保守参数（时间和空间上的一阶）开始解决多相问题更为合适（当然，这取决于具体问题）。这些修改包括，例如，引入各相的体积分数${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_n$，以及各相之间动量、热量和质量交换的机制。

14.5.3 体积分数方程

将多相流描述为相互渗透的连续介质，引入了相体积分数的概念，这里用${\alpha }_q$表示。体积分数代表每相占据的空间，并且每相分别满足质量和动量守恒定律。守恒方程的推导可以通过对每相的局部瞬时平衡进行整体平均[18]（第1058页），或者使用混合物理论方法来完成。

相$q$的体积$V_q$定义为

$$V_q={\int }_V{\alpha }_{q}dV\text{\hspace{1em}(14.190)}$$

哪里

$$\sum _{q=1}^n{\alpha }_q=1\text{\hspace{1em}(14.190)}$$

相 $q$ 的有效密度为：

$${\hat{\rho }}_q={\alpha }_q{\rho }_q\text{\hspace{1em}(14.190)}$$

其中 ${\rho }_q$ 表示相 $q$ 的物理密度。

体积分数方程可以通过隐式或显式时间离散化来求解。有关这两种 VOF 方案的详细信息，请参阅《隐式公式》（第 606 页）和《显式公式》（第 607 页）。

14.5.4 守恒方程

本节首先介绍 Fluent 所求解方程的通用守恒方程，随后给出具体的求解方程。

14.5.4.1 一般形式的方程

14.5.4.1.1 质量守恒

相 $q$ 的连续性方程为

$$\frac{\partial }{\partial t}\left({\alpha }_q{\rho }_q\right)+\nabla \cdot \left({\alpha }_q{\rho }_q{\overrightarrow{v}}_q\right)=\sum _{p=1}^n\left({\dot{m}}_{pq}-{\dot{m}}_{qp}\right)+S_q\text{\hspace{1em}(14.193)}$$

其中，${\overrightarrow{v}}_q$ 表示相 $q$ 的速度，${\dot{m}}_{pq}$ 描述从第 $p$ 相到第 $q$ 相的质量转移，而 ${\dot{m}}_{qp}$ 描述从相 $q$ 到相 $p$ 的质量转移，您可以分别指定这些机制。

默认情况下，方程 14.193 (第 662 页) 右侧的源项 $S_q$ 为零，但您可以为每个相指定一个常数或用户定义的质量源。类似的项出现在动量和焓方程中。有关在 Fluent 的通用多相模型中质量转移建模的更多信息，请参阅《多相流中的质量转移建模》(第 750 页)。

14.5.4.1.2 动量守恒

相 $q$ 的动量平衡方程为

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\left[{\alpha }_q{\rho }_q{\vec{\nu }}_q\right]+\nabla \cdot \left({\alpha }_q{\rho }_q{\vec{\nu }}_q{\vec{\nu }}_q\right)& =-{\alpha }_q\nabla p+\nabla \cdot {\overline{\overline{\tau }}}_q+{\alpha }_q{\rho }_q\vec{g}\\ & +\sum _{p=1}^n({\vec{R}}_{pq}+{\dot{m}}_{pq}{\vec{\nu }}_{pq}-{\dot{m}}_{qp}{\vec{\nu }}_{qp})\\ & +\left\{{\vec{F}}_q+{\vec{F}}_{lift,q}+{\vec{F}}_{wl,q}+{\vec{F}}_{vm,q}+{\vec{F}}_{td,q}\right\}\end{array}\text{\hspace{1em}(14.194)}$$

其中，${\overline{\bar{\tau }}}_q$ 表示第 $q$ 相的应力-应变张量。

$${\overline{\overline{\tau }}}_q={\alpha }_q{\mu }_q\left(\nabla {\overrightarrow{v}}_q+\nabla {\overrightarrow{v}}_q^T\right)+{\alpha }_q\left({\lambda }_q-\frac{2}{3}{\mu }_q\right)\nabla \cdot {\overrightarrow{v}}_q\overline{\overline{I}}\text{\hspace{1em}(14.195)}$$

这里，${\mu }_q$ 和 ${\lambda }_q$ 分别是相 $q$ 的剪切粘度和体积粘度，${\overrightarrow{F}}_q$ 是外部体力，${\overrightarrow{F}}_{lift,q}$ 是升力（详见升力部分，第682页），${\overrightarrow{F}}_{wl,q}$ 是壁面润滑力（详见壁面润滑力部分，第686页），${\overrightarrow{F}}_{vm,q}$ 是虚拟质量力，${\overrightarrow{F}}_{td,q}$ 是湍流分散力（仅在湍流流动情况下）。${\overrightarrow{R}}_{pq}$ 是相之间的相互作用力，$p$ 是所有相共享的压力。

${\overrightarrow{v}}_{pq}$ 是相间速度，定义如下。如果 ${\dot{m}}_{pq}>0$（即相 $p$ 的质量正在转移到相 $q$），则 ${\overrightarrow{v}}_{pq}={\overrightarrow{v}}_p$；如果 ${\dot{m}}_{pq}<0$（即相 $q$ 的质量正在转移到相 $p$），则 ${\overrightarrow{v}}_{pq}={\overrightarrow{v}}_q$。同样地，如果 ${\dot{m}}_{qp}>0$，则 $v_{qp}=v_q$；如果 ${\dot{m}}_{qp}<0$，则 $v_{qp}=v_p$。

方程14.194（第662页）必须通过适当的相间力 ${\overrightarrow{R}}_{pq}$ 表达式来封闭。这个力取决于摩擦、压力、粘附和其他效应，并且受到以下条件的限制：${\overrightarrow{R}}_{pq}=-{\overrightarrow{R}}_{qp}$ 和 ${\overrightarrow{R}}_{qq}=0$。

Fluent 使用以下形式的简单相互作用项：

$$\sum _{p=1}^n{\overrightarrow{R}}_{pq}=\sum _{p=1}^n{K}_{pq}\left({\overrightarrow{v}}_p-{\overrightarrow{v}}_q\right)\text{\hspace{1em}(14.196)}$$

其中，$K_{pq}\left(=K_{qp}\right)$ 是界面动量交换系数（详见界面交换系数（第667页）），${\overrightarrow{v}}_p$ 和 ${\overrightarrow{v}}_q$ 分别是相速度。请注意，方程14.196（第663页）表示平均界面动量交换，不包括任何湍流贡献。湍流界面动量交换通过湍流扩散力项 ${\overrightarrow{F}}_{td,q}$ 在方程14.194（第662页）中建模，如湍流扩散力（第690页）所述。

14.5.4.1.3 能量守恒

为了描述欧拉多相应用中的能量守恒，可以为第 $q^{th}$ 相写一个单独的焓方程：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\left[{\alpha }_q{\rho }_q\right[e_q+\frac{{\vec{\nu }}_q^2}{2}\left]\right]+\nabla \cdot \left[{\alpha }_q{\rho }_q{\vec{\nu }}_q\right[h_q+\frac{{\vec{\nu }}_q^2}{2}\left]\right]& =\nabla \cdot \left\{{\alpha }_q{k}_{eff,q}\nabla T_q-\sum _j{h}_{j,q}{\vec{J}}_{j,q}+{\bar{\overline{\tau }}}_{eff,q}\cdot {\vec{\nu }}_q\right\}\\ & +\sum _{p=1}^n(Q_{pq}+{\dot{m}}_{pq}{h}_{pq}-{\dot{m}}_{qp}{h}_{qp})-p\frac{\partial {\alpha }_q}{\partial t}+S_q\end{array}\text{\hspace{1em}(14.197)}$$

其中，$k_{eff,q}$ 表示有效导热系数，$S_q$ 是一个源项，包括能量源（例如，由于化学反应或辐射），$Q_{pq}$ 表示第 $p^{th}$ 和第 $q^{th}$ 相之间的热交换强度。相间热交换必须满足局部平衡条件 $Q_{pq}=-Q_{qp}$ 和 $Q_{qq}=0$。$h_{pq}$ 是相间焓（例如，在蒸发情况下，液滴温度下的蒸汽焓），$h_{j,q}$ 是相 $q$ 中物种 $j$ 的焓，${\overrightarrow{J}}_{j,q}$ 是相 $q$ 中物种 $j$ 的扩散通量。

在上式中，相 $q$ 的能量和焓定义如下；对于理想气体，焓 $h_q$ 定义为：

$$h_q=\sum _j{Y}_{j,q}{h}_{j,q}\text{\hspace{1em}(14.198)}$$

而对于不可压缩材料，则包括了压力功的贡献。

$$h_q=\sum _j{Y}_{j,q}{h}_{j,q}+\frac{p}{{\rho }_q}\text{\hspace{1em}(14.199)}$$

物种的灵敏焓值 $h_{j,q}$ 是指仅包含由于比热变化引起的焓变的焓部分。

$$h_{j,q}={\int }_{T_{ref}}^T{c}_{p,j,q}dT\text{\hspace{1em}(14.200)}$$

对于可压缩和不可压缩材料，内能 $e_q$ 的定义是一致的。

$$e_q=h_q-\frac{p_{op}+p}{{\rho }_q}\text{\hspace{1em}(14.201)}$$

在上式中，$p$ 和 $p_{op}$ 分别表示表压和操作压力。这种焓和内能的定义方式，能够适应不可压缩理想气体在常见公式中的表述。

$$h=c_{v}T+\frac{p_{abs}}{\rho }=c_{v}T+R_{g}T+\frac{p}{\rho }=c_{p}T+\frac{p}{\rho }\text{\hspace{1em}(14.202)}$$

14.5.4.2 由Fluent求解的方程

这里介绍了Fluent针对一般情况下的$n$相流体，求解流体-流体和颗粒多相流流动的方程。

14.5.4.2.1 连续性方程

各相的体积分数通过连续性方程计算得出：

$$\frac{1}{{\rho }_{rq}}\left(\frac{\partial }{\partial t}\left({\alpha }_q{\rho }_q\right)+\nabla \cdot \left({\alpha }_q{\rho }_q{\overrightarrow{v}}_q\right)=\sum _{p=1}^n\left({\dot{m}}_{pq}-{\dot{m}}_{qp}\right)\right)\text{\hspace{1em}(14.203)}$$

其中，${\rho }_{rq}$ 表示相参考密度，即求解域中第 $q$ 相的体积平均密度。

通过对每个次要相求解此方程，并结合体积分数之和为1的条件（由方程14.191（第662页）给出），可以计算主要相的体积分数。这种处理方法在流体-流体流动和颗粒流动中都很常见。

14.5.4.2.2 流体-流体动量方程

对于流体相 $q$，动量守恒方程为

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\left({\alpha }_q{\rho }_q{\vec{\nu }}_q\right)+\nabla \cdot \left({\alpha }_q{\rho }_q{\vec{\nu }}_q{\vec{\nu }}_q\right)& =-{\alpha }_q\nabla p+\nabla \cdot {\overline{\overline{\tau }}}_q+{\alpha }_q{\rho }_q\vec{g}\\ & +\sum _{p=1}^n\left(K_{pq}\right({\vec{\nu }}_p-{\vec{\nu }}_q)+{\dot{m}}_{pq}{\vec{\nu }}_{pq}-{\dot{m}}_{qp}{\vec{\nu }}_{qp})\\ & +\left\{{\vec{F}}_q+{\vec{F}}_{lift,q}+{\vec{F}}_{wl,q}+{\vec{F}}_{vm,q}+{\vec{F}}_{td,q}\right\}\end{array}\text{\hspace{1em}(14.204)}$$

这里，$\overrightarrow{g}$ 是重力加速度，${\overline{\bar{\tau }}}_q,{\overrightarrow{F}}_q,{\overrightarrow{F}}_{lift,q},{\overrightarrow{F}}_{wl,q},{\overrightarrow{F}}_{vm,q}$ 和 ${\overrightarrow{F}}_{td,q}$ 的定义如公式 14.194（第 662 页）所示。

14.5.4.2.3 流体-固体动量方程

基于 [14]（第 1057 页）、[99]（第 1062 页）、[142]（第 1065 页）、[205]（第 1068 页）、[347]（第 1077 页）、[397]（第 1080 页）、[485]（第 1085 页）、[640]（第 1094 页）的研究工作，Fluent 采用多流体颗粒模型来描述流体-固体混合物的流动行为。固相应力是通过将颗粒间的随机运动与气体中分子的热运动进行类比，并考虑颗粒相的非弹性特性来推导的。与气体情况类似，颗粒速度波动的强度决定了固相的应力、粘度和压力。与颗粒速度波动相关联的动能由一个“伪热”或颗粒温度表示，该温度与颗粒随机运动的均方成正比。

流体相的动量守恒类似于公式 14.204（第 664 页），而第 $s$ 个固相的动量守恒方程则为

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}({\alpha }_s{\rho }_s{\vec{\nu }}_s)+\nabla \cdot ({\alpha }_s{\rho }_s{\vec{\nu }}_s{\vec{\nu }}_s)& -{\alpha }_s\nabla p-\nabla p_s+\nabla \cdot {\overline{\overline{\tau }}}_s+{\alpha }_s{\rho }_s\vec{g}\\ & +\sum _{l=1}^N\left(K_{ls}\right({\vec{\nu }}_l-{\vec{\nu }}_s)+{\dot{m}}_{ls}{\vec{\nu }}_{ls}-{\dot{m}}_{sl}{\vec{\nu }}_{sl})\\ & +\left({\vec{F}}_s+{\vec{F}}_{lift,s}+{\vec{F}}_{vm,s}+{\vec{F}}_{td,s}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(14.205)}$$

其中，$p_s$ 表示第 $s$ 相的固相压力，$K_{ls}=K_{sl}$ 是流体或固相 $l$ 与固相 $s$ 之间的动量交换系数，$N$ 是相的总数，而 ${\overrightarrow{F}}_s,{\overrightarrow{F}}_{lift,s},{\overrightarrow{F}}_{vm,s}$ 和 ${\overrightarrow{F}}_{td,s}$ 的定义方式与方程 14.194 (第 662 页) 中的类似项相同。

14.5.4.2.4 能量守恒

Fluent 求解的能量守恒方程是方程 14.197 (第 663 页)。

14.5.5 欧拉多相模型中的表面张力与粘附

在欧拉多相模拟中，可以考虑成对相之间界面上的表面张力和壁面粘附效应。有关其计算方法的详细信息，请参见表面张力与粘附 (第 613 页)。

14.5.6 界面面积浓度

界面面积浓度定义为两相之间单位混合体积的界面面积。这是预测相间质量、动量和能量传递的重要参数。在使用带有非颗粒次相的欧拉多相模型时，您可以让 Fluent 通过以下两种方式之一计算界面面积：

• 使用界面面积浓度的输运方程，如界面面积浓度 (第 647 页) 所述。这允许气泡直径分布以及聚并/破裂效应。

• 使用指定气泡直径与界面面积密度的代数关系。

代数界面面积浓度模型源自球形气泡或液滴的表面积与体积比，$A_p$。

$$A_p=\frac{\pi d_p^2}{\frac{1}{6}\pi d_p^3}=\frac{6}{d_p}\text{\hspace{1em}(14.206)}$$

其中，$d_p$ 表示气泡或液滴的直径。在使用欧拉多相流模型时，可用的代数模型包括：

• 颗粒模型（默认）

对于分散相 $p$，其体积分数为 ${\alpha }_p$，颗粒模型估算界面面积密度 $A_i$ 的方法如下：

$$A_i={\alpha }_p{A}_p=\frac{6{\alpha }_p}{d_p}\text{\hspace{1em}(14.207)}$$

• 对称模型

对称模型对两个相态$p$和$q$进行对称处理。相态$p$和$q$可以是连续的或分散的。界面面积密度计算如下：

$$A_i=\frac{6{\alpha }_q{\alpha }_p}{d_{p,q}}\text{\hspace{1em}(14.208)}$$

其中，${\alpha }_p$ 和 ${\alpha }_q$ 分别表示相 $p$ 和相 $q$ 的体积分数，而 $d_{p,q}$ 则是通过以下方式计算的特征长度尺度：

• 如果相 $p$ 是分散相：

$$d_{p,q}=d_p\text{\hspace{1em}(14.209)}$$

• 如果两个相态$p$和$q$都处于分散状态：

$$d_{p,q}={\alpha }_q{d}_p+{\alpha }_p{d}_q\text{\hspace{1em}(14.210)}$$

• 石井模型（仅适用于沸腾流动）

石井模型仅在激活沸腾模型时可用，它还对颗粒模型进行了修改，使得${\alpha }_p$的结果呈现分段线性函数，当${\alpha }_p$趋近于1时，该函数趋近于0。

$$A_i=\frac{6\left(1-{\alpha }_p\right)\min \left({\alpha }_p,{\alpha }_{p,\text{ crit }}\right)}{d_p\left(1-\min \left({\alpha }_p,{\alpha }_{p,\text{ crit }}\right)\right)}\text{\hspace{1em}(14.211)}$$

在 Fluent 中，${\alpha }_{p,\text{ crit }}$ 的取值为 0.25。

• 梯度模型

关于梯度模型的描述，请参阅《代数模型》（第651页）。

• 用户自定义（仅限沸腾流）

请参阅《Fluent 定制手册》中的 DEFINE_EXCHANGE_PROPERTY。# 14.5.7 相间交换系数

从方程14.204（第664页）和方程14.205（第665页）可以看出，相间的动量交换基于流体-流体交换系数$K_{pq}$的值，对于颗粒流动，还包括流体-固体和固体-固体的交换系数$K_{ls}$。

注意：在Fluent中，所有可用的相间交换系数模型都是基于经验的。目前文献中没有通用的公式，某些情况下需要特别注意，例如：

• 气/液/固体系配置
• 多分散流动
• 多孔介质
• 可压缩流动
• 温度变化
• 密集情况
• 近壁流动

14.5.7.1 流体-流体交换系数

对于流-流流动，假设每个次要相形成液滴或气泡。这会影响如何将每种流体分配到特定相中。例如，在两种流体数量不等的流动中，应将主要流体建模为主要流体，因为较稀少的流体更可能形成液滴或气泡。这些类型的泡沫、液-液或气-液混合物的交换系数可以写成以下一般形式：

$$K_{pq}=\frac{{\rho }_{p}f}{6{\tau }_p}{d}_p{A}_i\text{\hspace{1em}(14.212)}$$

其中，$A_i$ 是界面面积（见界面面积浓度 (p. 665)），$f$ 是阻力函数，根据不同的交换系数模型有不同的定义（如下所述），而 ${\tau }_p$ 即“颗粒松弛时间”，定义为

$${\tau }_p=\frac{{\rho }_p{d}_p^2}{18{\mu }_q}\text{\hspace{1em}(14.213)}$$

其中 $d_p$ 是相 $p$ 的气泡或液滴的直径。

几乎所有 $f$ 的定义都包括一个基于相对雷诺数 $\left(Re\right)$ 的阻力系数 $\left(C_D\right)$：正是这个阻力函数在不同的交换系数模型中有所不同。对于所有这些情况，当主相不在计算域内时，$K_{pq}$ 应趋向于零。

对于每对流体-流体流动中的相，您可以在 Fluent 中使用可用的阻力函数模型或用户自定义函数来指定相间交换系数。如果交换系数等于零（即未指定交换系数），则将独立计算流体的流动场，唯一的“相互作用”是它们在每个计算单元中的互补体积分数。您可以为每对相指定不同的交换系数。

以下是 Fluent 中可用的阻力模型：

• 14.5.7.1.1 Schiller and Naumann Model
• 14.5.7.1.2 Morsi and Alexander Model
• 14.5.7.1.3 Symmetric Model
• 14.5.7.1.4 Grace et al .Model
• 14..5..7..2 Tomiyama et al .Model

$$f=\frac{C_{D}Re}{24}\text{\hspace{1em}(14.214)}$$

式中

$$C_D=\{\begin{array}{ll}24\left(1+0.15{\mathrm{Re}}^{0.687}\right)/\mathrm{Re}& \mathrm{Re}\le 1000\\ 0.44& \mathrm{Re}>1000\end{array}\text{\hspace{1em}(14.215)}$$

Re 是相对雷诺数。主相 $q$ 和次相 $p$ 的相对雷诺数通过以下公式获得：

$$Re=\frac{{\rho }_q\left|{\overrightarrow{v}}_p-{\overrightarrow{v}}_q\right|d_p}{{\mu }_q}\text{\hspace{1em}(14.216)}$$

次相$p$和$r$的相对雷诺数由以下公式得到：

$$Re=\frac{{\rho }_{rp}\left|{\overrightarrow{v}}_r-{\overrightarrow{v}}_p\right|d_{rp}}{{\mu }_{rp}}\text{\hspace{1em}(14.217)}$$

其中 ${\mu }_{rp}={\alpha }_p{\mu }_p+{\alpha }_r{\mu }_r$ 是相 $p$ 和 $r$ 的混合粘度。

Schiller 和 Naumann 模型是默认方法，适用于所有流体-流体相对的通用使用。

14.5.7.1.2 Schiller and Naumann Model

对于 Morsi 和 Alexander 模型 [461]（第1083页）：

$$f=\frac{C_{D}Re}{24}\text{\hspace{1em}(14.218)}$$

式中

$$C_D=a_1+\frac{a_2}{\mathrm{Re}}+\frac{a_3}{{\mathrm{Re}}^2}\text{\hspace{1em}(14.219)}$$

Re 由公式 14.216（第668页）或公式 14.217（第668页）定义。常数 $a_i$ 定义如下：

$$a_1,a_2,a_3=\{\begin{array}{ll}0,24,0& 0<Re<0.1\\ 3.690,22.73,0.0903& 0.1<Re<1\\ 1.222,29.1667,-3.8889& 1<Re<10\\ 0.6167,46.50,-116.67& 10<Re<100\\ 0.3644,98.33,-2778& 100<Re<1000\\ 0.357,148.62,-47500& 1000<Re<5000\\ 0.46,-490.546,578700& 5000<Re<10000\\ 0.5191,-1662.5,5416700& Re\ge 10000\end{array}\text{\hspace{1em}(14.220)}$$

Morsi 和 Alexander 模型是最完整的，在大范围雷诺数内频繁调整函数定义，但使用此模型的计算可能不如其他模型稳定。

14.5.7.1.3 Symmetric模型

对于对称模型，密度和粘度从体积平均属性中计算得出：

$${\rho }_{pq}={\alpha }_p{\rho }_p+{\alpha }_q{\rho }_q\text{\hspace{1em}(14.221)}$$

$${\mu }_{pq}={\alpha }_p{\mu }_p+{\alpha }_q{\mu }_q\text{\hspace{1em}(14.222)}$$

直径定义为

$$d_{pq}=\frac{1}{2}\left(d_p+d_q\right)\text{\hspace{1em}(14.223)}$$

同时：

$$K_{pq}=\frac{{\rho }_{pq}f}{6{\tau }_{pq}}{d}_p{A}_i\text{\hspace{1em}(14.224)}$$

$${\tau }_{pq}=\frac{{\rho }_{pq}{\left(d_{pq}\right)}^2}{18{\mu }_{pq}}\text{\hspace{1em}(14.225)}$$

$$Re=\frac{{\varrho }_{pq}\left|v_p-v_q\right|d_{pq}}{{\mu }_{pq}}\text{\hspace{1em}(14.226)}$$

$$f=\frac{C_{D}Re}{24}\text{\hspace{1em}(14.227)}$$

并且 $C_D$ 由公式14.215（第668页）定义。

注意，如果只有一个分散相，那么公式14.223（第669页）中 $d_p=d_q$。

推荐使用对称模型来处理在域的不同区域中次要（分散）相变为主要（连续）相的流动。例如，如果将空气注入半满水的容器底部，空气在容器的下半部分是分散相；而在容器的上半部分，空气是连续相。该模型还可用于次要相之间的相互作用。

14.5.7.1.4 Grace et al. Model

Grace等人的模型非常适合用于气液流动，其中气泡可以呈现多种形状。

对于Grace等人的模型[111]（第1063页）：

$$f=\frac{C_{D}Re}{24}\text{\hspace{1em}(14.228)}$$

其中

$$Re=\frac{{\rho }_q\left|{\overrightarrow{v}}_p-{\overrightarrow{v}}_q\right|d_p}{{\mu }_q}\text{\hspace{1em}(14.229)}$$

$$C_D={\alpha }_q^{C_{e{x}_p}}\cdot \max \left(\min \left(C_{D_{\text{ellipse }}},C_{D_{\text{cap }}}\right),C_{D_{\text{sphere }}}\right)\text{\hspace{1em}(14.230)}$$

在公式14.230（第670页）中，${\alpha }_q$ 是连续相的体积分数；$C_{exp}$ 是体积分数修正指数；而 $C_{D_{\text{ellipse }}},C_{D_{\text{cap }}}$ 和 $C_{D_{\text{sphere }}}$ 定义如下：

$$C_{D_{\text{sphere }}}=\{\begin{array}{ll}24/Re& Re<0.01\\ 24\left(1+0.15R{e}^{0.687}\right)/Re& Re\ge 0.01\end{array}\text{\hspace{1em}(14.231)}$$

$$C_{D_{\text{cap }}}=\frac{8}{3}\text{\hspace{1em}(14.232)}$$

$$C_{D_{\text{ellipse }}}=\frac{4}{3}\frac{g{d}_p}{U_t^2}\frac{\left({\rho }_q-{\rho }_p\right)}{{\rho }_q}\text{\hspace{1em}(14.233)}$$

其中

$$U_t=\frac{{\mu }_q}{{\rho }_q{d}_p}{\mathrm{Mo}}^{-0.149}\left(J-0.857\right)$$

其中 $Mo$ 是由以下公式给出的莫顿数：

$$Mo=\frac{{\mu }_q^{4}g\left({\rho }_q-{\rho }_p\right)}{{\rho }_q^2{\sigma }^3}$$

$J$ 由分段函数给出：

$$J=\{\begin{array}{ll}0.94H^{0.757}& 2<H\le 59.3\\ 3.42H^{0.441}& H>59.3\end{array}$$

$$H=\frac{4}{3}{\text{ EoMo }}^{-0.149}{\left(\frac{{\mu }_q}{{\mu }_{\text{ref }}}\right)}^{-0.14}$$

其中 $Eo$ 是 Eötvös 数：

$$Eo=\frac{g\left({\rho }_q-{\rho }_p\right)d_p^2}{\sigma }$$

并且 ${\mu }_{\text{ref }}=0.0009\mathrm{kg}/\left(\mathrm{m}-\mathrm{s}\right)$。

• 稀疏分布的流体颗粒

在流体颗粒稀疏分布的情况下，方程14.230（第670页）中的$C_{exp}$为零。

• 密集分布的流体颗粒

对于高气泡体积分数的情况，应根据气泡大小使用非零的$C_{exp}$值。

更多信息请参阅《Fluent用户指南》中的“指定阻力函数”部分。

14.5.7.1.5 Tomiyama et al. Model

对于Tomiyama等人的模型[643]

$$f=\frac{C_{D}Re}{24}\text{\hspace{1em}(14.234)}$$

式中

$$Re=\frac{{\rho }_q\left|{\overrightarrow{v}}_p-{\overrightarrow{v}}_q\right|d_p}{{\mu }_q}\text{\hspace{1em}(14.235)}$$

$$C_D=\max \left(\min \left(\frac{24}{\mathrm{Re}}\left(1+0.15{\mathrm{Re}}^{0.687}\right),\frac{72}{\mathrm{Re}}\right),\frac{8}{3}\frac{\text{ Eo }}{\text{ Eo }+4}\right)\text{\hspace{1em}(14.236)}$$

在公式14.236中，

$$Eo=\frac{g\left({\rho }_q-{\rho }_p\right)d_p^2}{\sigma }$$

像Grace等人的模型一样，Tomiyama等人的模型也非常适合气液流动，其中气泡可以有多种形状。

14.5.7.1.6 Ishii Model

仅对于沸腾流，您可以使用 Ishii [270]（第1072页）的模型。在 Ishii 模型中，阻力系数 $C_D$ 通过选择粘性状态 $C_{D_{vis}}$ 和变形状态 $C_{D_{dis}}$ 中的最小值来确定，定义如下：

$$C_D=\min \left(C_{D_{vis}},C_{D_{dis}}\right)\text{\hspace{1em}(14.237)}$$

其中 $C_{D_{vis}}$ 和 $C_{D_{dis}}$ 由以下公式给出：

$$C_{D_{vis}}=\frac{24}{\mathrm{Re}}\left(1+0.15{\mathrm{Re}}^{0.75}\right)\text{\hspace{1em}(14.238)}$$

$$C_{D_{dis}}=\frac{2}{3}\frac{d_p}{\sqrt{\frac{\sigma }{g|{\rho }_q-{\rho }_p|}}}\text{\hspace{1em}(14.239)}$$

其中，Re 是相对雷诺数，$\sigma$ 是表面张力，$g$ 是重力。

气泡直径 $d_p$ 的确定方法见《气泡与液滴直径》（第739页）。

14.5.7.1.7 Ishii-Zuber Drag Model

Fluent 中 Ishii-Zuber 曳力系数的实现自动考虑了不同的颗粒分布状态。

• 稀疏分布的流体颗粒

对于非常小的雷诺数，流体颗粒（气泡或液滴）往往表现得像固体球形颗粒。在这种情况下，曳力系数可以通过 Schiller-Naumann 相关性准确近似（公式14.214，第668页）。

随着颗粒雷诺数的增加，表面张力的影响在所谓的惯性或变形颗粒状态下变得更加重要。这些颗粒首先变形为椭球体，然后变成球帽形状。

• 变形状态

在变形颗粒状态下，曳力系数与雷诺数无关，但高度依赖于颗粒形状。为了计算曳力系数，Ishii-Zuber 模型使用 Eotvos 数，该数值衡量重力和表面张力之间的比率：

$$\text{ Eo }=\frac{g\Delta \rho d_p^2}{\sigma }\text{\hspace{1em}(14.240)}$$

其中 $\Delta \rho$ 是相之间的密度差，$g$ 是重力加速度，$\sigma$ 是每对相之间的表面张力系数。

对于椭球形流体颗粒，阻力系数通过以下公式计算：

$$C_{\text{ellipse }}=\frac{2}{3}\sqrt{Eo}\text{\hspace{1em}(14.241)}$$

• 球冠状态

在球冠状态下，阻力系数近似为：

$$C_{D_{cap}}=\frac{8}{3}\text{\hspace{1em}(14.242)}$$

• 密集分布的流体颗粒

相关性方程14.241（第672页）和方程14.242（第672页）适用于流体颗粒稀疏分布的流动。然而，这些相关性不适用于高空隙率流动。随着气体体积分数的增加，气泡开始积聚并以颗粒群的形式移动，从而改变了有效阻力。石井-祖伯阻力模型通过使用群体因子修正自动考虑了密集颗粒效应。

• 粘性区域

在粘性区域中，当流体颗粒可以被视为球形时，基于混合物黏度的混合雷诺数对席勒-瑙曼相关性方程14.214（第668页）进行了如下修改：

$$\begin{gathered} C_{D_{sphere}}=\frac{24}{R{e}_m}\left(1+0.15R{e}_m^{0.687}\right) \\ R{e}_m=\frac{{\rho }_c\left|{\overrightarrow{V}}_p-{\overrightarrow{V}}_q\right|d_p}{{\mu }_m} \\ \frac{{\mu }_m}{{\mu }_q}={\left(1-{\alpha }_p\right)}^{-2.5{\mu }_{\ast }} \\ {\mu }_{\ast }=\frac{{\mu }_p+0.4{\mu }_q}{{\mu }_p+{\mu }_q}\text{\hspace{1em}(14.243)} \end{gathered}$$

• 扭曲状态

在扭曲粒子状态下，单个粒子的阻力系数乘以石井-祖伯群因子修正：

$$\begin{array}{rl}{C}_{D_{ellipse}}=& E_{\alpha }{C}_{D_{\infty }}\\ C_{D_{\infty }}=& \frac{2}{3}E{o}^{1/2}\\ E_{\alpha }=& {\left[\frac{(1+17.67f_{\alpha }^{6/7})}{18.67f_{\alpha }}\right]}^2\\ f_{\alpha }=& \frac{{\mu }_q}{{\mu }_m}(1-{\alpha }_p{)}^{1/2}\end{array}\text{\hspace{1em}(14.244)}$$

• 球帽状态

$$\begin{array}{rl}& C_{D_{cap}}=C_{D_{\infty }}{\left(1-{\alpha }_p\right)}^2\\ & C_{D_{\infty }}=\frac{8}{3}\end{array}\text{\hspace{1em}(14.245)}$$

(14.245)

Fluent 自动计算阻力系数为：

$$C_D=\{\begin{array}{ll}{C}_{D_{sphere}},& if{C}_{D_{sphere}}\ge C_{D_{ellipse}}\\ \min (C_{D_{ellipse}},C_{D_{cap}})& if{C}_{D_{sphere}}<C_{D_{ellipse}}\end{array}\text{\hspace{1em}(14.246)}$$

14.5.7.1.8 气泡-液体与液滴-气体流动的通用阻力定律

通用阻力定律[319]（第1075页）适用于计算多种气液流动状态下的阻力系数。这些阻力定律适用于非球形的液滴/气泡，前提是流动区域的水力直径远大于颗粒的平均尺寸，即属于池流状态。

气泡和液滴流动的交换系数可以用一般形式表示为 $$K_{pq}=\frac{{\rho }_{p}f}{6{\tau }_p}{d}_p{A}_i\text{\hspace{1em}(14.247)}$$ 其中，$q$ 代表主要相，$p$ 代表分散相，$A_i$ 是界面面积（参见界面面积浓度（第 665 页））。分散相松弛时间 ${\tau }_p$ 定义为 $${\tau }_p=\frac{{\rho }_p{d}_p^2}{18{\mu }_e}\text{\hspace{1em}(14.248)}$$ 拖动函数 $f$ 定义为 $$f=\frac{C_{D}Re}{24}\text{\hspace{1em}(14.249)}$$ 主要相$q$与次要相$p$的相对雷诺数是根据这两相的相对速度计算得出的。 $$Re=\frac{{\rho }_q\left|\overrightarrow{v_q}-\overrightarrow{v_p}\right|d_p}{{\mu }_e}\text{\hspace{1em}(14.250)}$$ 其中，${\mu }_e$ 是主要相的有效粘度，考虑了连续体中颗粒族的影响。

瑞利-泰勒不稳定性波长为 $${\lambda }_{RT}={\left(\frac{\sigma }{g\Delta {\rho }_{pq}}\right)}^{0.5}\text{\hspace{1em}(14.251)}$$ 其中，$\sigma$ 表示表面张力，$g$ 为重力加速度，$\Delta {\rho }_{pq}$ 是相 $p$ 和相 $q$ 之间密度差的绝对值。

对于气泡流和液滴流，阻力系数的定义有所不同。

###14.5.7.1.8.1. 气泡-液体流动 $$C_{D_{vis}}=\frac{24}{\mathrm{Re}}\left(1+0.1{\mathrm{Re}}^{0.75}\right)\text{\hspace{1em}(14.252)}$$

$$C_{D_{dis}}=2/3\left(\frac{d_p}{{\lambda }_{RT}}\right){\left\{\frac{1+17.67f^{\ast 6/7}}{18.67f^{\ast }}\right\}}^2;f^{\ast }={\left(1-{\alpha }_p\right)}^{1.5}\text{\hspace{1em}(14.253)}$$

$$C_{D_{cap}}=\frac{8}{3}{\left(1-{\alpha }_p\right)}^2\text{\hspace{1em}(14.254)}$$ 在粘性状态下，满足以下条件： $$C_{D_{dis}}<{\mathrm{C}}_{D_{vis}}\text{\hspace{1em}(14.255)}$$ 拖曳系数，记作 $C_D$，其定义为 $$C_D=C_{D_{vis}}\text{\hspace{1em}(14.256)}$$ 在扭曲气泡状态中，满足以下条件： $$C_{D_{vis}}<{\mathrm{C}}_{D_{dis}}<{\mathrm{C}}_{D_{cap}}\text{\hspace{1em}(14.257)}$$ 拖曳系数计算如下： $$C_D=C_{D_{dis}}\text{\hspace{1em}(14.258)}$$ 在强烈变形、带有顶盖的气泡状态下，满足以下条件： $$C_{D_{dis}}>{\mathrm{C}}_{D_{cap}}\text{\hspace{1em}(14.259)}$$ 拖曳系数可以表示为 $$C_D=C_{D_{\text{cap }}}\text{\hspace{1em}(14.260)}$$ 泡沫-液体混合物的有效黏度为 $${\mu }_e=\frac{{\mu }_q}{1-{\alpha }_p}\text{\hspace{1em}(14.261)}$$

14.5.7.1.8.2 液滴-气体流动

• 当 $\mathrm{Re}<1$ 时，斯托克斯区的阻力系数为 $$C_D=\frac{24}{\mathrm{Re}}\text{\hspace{1em}(14.262)}$$ 当 $1\le \mathrm{Re}\le 1000$ 时，粘性流态下的阻力系数为 $$C_D=\frac{24}{\mathrm{Re}}\left(1+0.1{\mathrm{Re}}^{0.75}\right)\text{\hspace{1em}(14.263)}$$ 对于牛顿流态（Re $\ge 1000$），阻力系数为 $$C_D=2/3\left(\frac{d_p}{{\lambda }_{RT}}\right){\left\{\frac{1+17.67f^{\ast 6/7}}{18.67f^{\ast }}\right\}}^2;f^{\ast }={\left(1-{\alpha }_p\right)}^3\text{\hspace{1em}(14.264)}$$ 液滴-气体混合物的有效粘度为 $${\mu }_e=\frac{{\mu }_q}{{\left(1-{\alpha }_p\right)}^{2.5}}\text{\hspace{1em}(14.265)}$$

重要提示：当前的通用拖曳模型适用于气泡-液体和/或液滴-气体流动，其中流动域的特征长度远大于颗粒的平均尺寸。

14.5.7.2 流体-固体交换系数

流体-固体交换系数 $K_{sl}$ 可以用以下一般形式表示： $$K_{sl}=\frac{{\alpha }_s{\rho }_{s}f}{{\tau }_s}\text{\hspace{1em}(14.266)}$$ 其中，${\alpha }_s$ 表示固相的体积分数，${\rho }_s$ 表示固相的密度。$f$ 在不同的交换系数模型中定义有所不同（如下文所述），而 ${\tau }_s$，即“颗粒松弛时间”，定义为 $${\tau }_s=\frac{{\rho }_s{d}_s^2}{18{\mu }_l}\text{\hspace{1em}(14.267)}$$ 其中，$d_s$ 表示第 $s$ 相颗粒的直径，${\mu }_l$ 表示流体相的动力粘度。

在此及下文中，下标 $l$ 和 $s$ 分别表示第 $l$ 个流体相和第 $s$ 个固体相。

所有 $f$ 的定义都包含一个基于相对雷诺数 $\left({\mathrm{Re}}_s\right)$ 的阻力函数 $\left(C_D\right)$。正是这个阻力函数在不同的交换系数模型中有所不同。

• Syamlal-O'Brien 模型

对于 Syamlal-O’Brien 模型 [639]（第 1094 页）： $$f=\frac{C_{D}R{e}_s{\alpha }_l}{24v_{r,s}^2}\text{\hspace{1em}(14.268)}$$ 其中，${\alpha }_l$ 表示流体相的体积分数，而曳力函数的形式由Dalla Valle [131]（第1064页）推导得出： $$C_D={\left(0.63+\frac{4.8}{\sqrt{R{e}_s/v_{r,s}}}\right)}^2\text{\hspace{1em}(14.269)}$$ 该模型基于流化床或沉降床中颗粒的终端速度测量，其相关性是体积分数和相对雷诺数的函数 [557]（第 1089 页）： $$R{e}_s=\frac{{\rho }_l{d}_s\left|{\overrightarrow{v}}_s-{\overrightarrow{v}}_l\right|}{{\mu }_l}\text{\hspace{1em}(14.270)}$$ 其中，${\overrightarrow{v}}_s$ 和 ${\overrightarrow{v}}_l$ 分别表示固相和液相的速度，${\rho }_l$ 为流体相的密度，而 $d_s$ 则代表第 $s^{th}$ 固相颗粒的直径。

流固交换系数的形式为 $$K_{sl}=\frac{3{\alpha }_s{\alpha }_l{\rho }_l}{4v_{r,s}^2{d}_s}{C}_D\left(\frac{R{e}_s}{v_{r,s}}\right)\left|{\overrightarrow{v}}_s-{\overrightarrow{v}}_l\right|\text{\hspace{1em}(14.271)}$$ 其中，$v_{r,s}$ 表示固相的终端速度相关性 [197]（第1068页）： $$v_{r,s}=0.5\left(A-0.06{\mathrm{Re}}_s+\sqrt{{\left(0.06{\mathrm{Re}}_s\right)}^2+0.12{\mathrm{Re}}_s\left(2B-A\right)+A^2}\right)\text{\hspace{1em}(14.272)}$$ 随着 $$A={\alpha }_l^{4.14}\text{\hspace{1em}(14.273)}$$ 并将以下文本翻译成中文： $$B=0.8{\alpha }_l^{1.28}\text{\hspace{1em}(14.274)}$$ 对于 ${\alpha }_l\le 0.85$，以及 $$B={\alpha }_l^{2.65}\text{\hspace{1em}(14.275)}$$ 对于 ${\alpha }_l>0.85$。

当固体剪切应力根据 Syamlal 等人 [640]（第 1094 页）（公式 14.364（第 697 页））定义时，此模型是合适的。

参数化的 Syamlal-O'Brien 模型是对 Syamlal-O'Brien 模型的改进，其中公式 14.274（第 676 页）和公式 14.275（第 676 页）中的 0.8 和 2.65 值被替换为根据流体流动特性和预期最小流化速度调整的参数 [638]（第 1094 页）。这克服了原始 Syamlal-O'Brien 模型在预测流化床反应器中床层膨胀时倾向于低估/高估的倾向。

这些参数是从单颗粒系统和多颗粒系统在终端沉降或最小流化条件下的速度相关性中得出的。对于多颗粒系统，最小流化条件下的相对雷诺数表示为： $${\mathrm{Re}}_s={\mathrm{Re}}_{\text{single }}\left[\frac{A+0.06B{\mathrm{Re}}_{\text{single }}}{1+0.06{\mathrm{Re}}_{\text{single }}}\right]\text{\hspace{1em}(14.276)}$$ 其中，${\mathrm{Re}}_{\text{single}}$ 表示单个颗粒在终端沉降条件下的雷诺数，其表达式为： $${\text{Re}}_{\text{single}}={\left[\frac{{\left({4.8}^2+2.52\sqrt{4\text{Ar/s}}\right)}^{0.5}-4.8}{1.26}\right]}^2\text{\hspace{1em}(14.277)}$$ 阿基米德数 ( Ar ) 可以表示为阻力系数 ( C_D ) 和雷诺数 ( \operatorname{Re}_s ) 的函数： $$\mathrm{Ar}=\frac{3}{4}{C}_D{\mathrm{Re}}_s^2\text{\hspace{1em}(14.278)}$$ 其中，$C_D$ 可从终端速度相关性 $v_{r,s}$ 以及雷诺数中获得： $$C_D={\left(\frac{0.63}{v_{r,s}}+\frac{4.8}{\sqrt{v_{r,s}{\mathrm{Re}}_s}}\right)}^2\text{\hspace{1em}(14.279)}$$ 从公式14.272（第676页）中可以找到$v_{r,s}$，其中$A$取自公式14.273（第676页），并将$B$改写如下： $$B=\{\begin{array}{cc}{c}_1{\alpha }_l^{1.28}& {\alpha }_l\le 0.85\\ {\alpha }_l^{d_1}& {\alpha }_l>0.85\end{array}\text{\hspace{1em}(14.280)}$$ 其中 $d_1=1.28+\frac{{\log }_{10}{c}_1}{{\log }_{10}0.85}$

一旦给定了颗粒直径和预期的最小流化速度，系数 $c_1$ 和 $d_1$ 可以通过迭代求解方程 14.276（第 677 页）至方程 14.280（第 677 页）来找到。

此模型的实现仅限于在气体-固体流动中使用，其中气体相是主要相且不可压缩。此外，该模型仅适用于 Geldart B 组颗粒。

• Wen 和 Yu [700]（第 1097 页）模型

对于 Wen 和 Yu [700]（第 1097 页）的模型，流体-固体交换系数的形式如下： $$K_{sl}=\frac{3}{4}{C}_D\frac{{\alpha }_s{\alpha }_l{\rho }_l\left|{\overrightarrow{v}}_s-{\overrightarrow{v}}_l\right|}{d_s}{\alpha }_l^{-2.65}\text{\hspace{1em}(14.281)}$$ 此处 $$C_D=\frac{24}{{\alpha }_{l}R{e}_s}\left[1+0.15{\left({\alpha }_{l}R{e}_s\right)}^{0.687}\right]\text{\hspace{1em}(14.282)}$$ 而 ${\mathrm{Re}}_s$ 由公式 14.270（第 676 页）定义。

该模型适用于稀疏系统。

• Gidaspow 模型

Gidaspow 模型 [205]（第 1068 页）结合了 Wen 和 Yu 模型 [700]（第 1097 页）以及 Ergun 方程 [164]（第 1066 页）。

当 ${\alpha }_l>0.8$ 时，流体-固体交换系数 $K_{sl}$ 的形式如下： $$K_{sl}=\frac{3}{4}{C}_D\frac{{\alpha }_s{\alpha }_l{\rho }_l\left|{\overrightarrow{v}}_s-{\overrightarrow{v}}_l\right|}{d_s}{\alpha }_l^{-2.65}\text{\hspace{1em}(14.283)}$$ 以下文本的中文翻译： $$C_D=\frac{24}{{\alpha }_{l}R{e}_s}\left[1+0.15{\left({\alpha }_{l}R{e}_s\right)}^{0.687}\right]\text{\hspace{1em}(14.284)}$$ 当 ${\alpha }_l\le 0.8$ 时， $$K_{sl}=150\frac{{\alpha }_s\left(1-{\alpha }_l\right){\mu }_l}{{\alpha }_l{d}_s^2}+1.75\frac{{\rho }_l{\alpha }_s\left|{\overrightarrow{v}}_s-{\overrightarrow{v}}_l\right|}{d_s}\text{\hspace{1em}(14.285)}$$ 该模型适用于稠密流化床。

• 惠林-吉达波夫模型

惠林-吉达波夫模型[263]（第1072页）同样结合了文和余模型[700]（第1097页）以及厄根方程[164]（第1066页）。当固体体积分数小于0.2时，通过函数实现了平滑切换。 $$K_{sl}=\psi K_{\text{sl-Ergun }}+\left(1-\psi \right)K_{\text{sl-Wen\&Yu }}\text{\hspace{1em}(14.286)}$$ 缝合功能的形式如下： $$\psi =\frac{1}{2}+\frac{\arctan \left(262.5\left({\alpha }_s-0.2\right)\right)}{\pi }\text{\hspace{1em}(14.287)}$$

• Gibilaro模型

Gibilaro模型[202]（第1068页）的形式为 $$K_{sl}=\left(\frac{18}{\mathrm{Re}}+0.33\right)\frac{{\rho }_f\left|v_s-v_l\right|}{d_p}{\alpha }_s{\alpha }_l^{-1.8}\text{\hspace{1em}(14.288)}$$ 以雷诺数为 $$\mathrm{Re}=\frac{{\alpha }_l{\rho }_l{d}_p\left|v_s-v_l\right|}{{\mu }_l}\text{\hspace{1em}(14.289)}$$

• EMMS模型

能量最小化多尺度（EMMS）曳力模型是一种基于中尺度结构的方法的异质性方法。在EMMS方法中，中尺度结构被分解为聚集相和稀疏相（[690]（第1097页），[391]（第1079页））。尽管均匀曳力定律（如Wen和Yu模型[700]（第1097页）以及Gidaspow模型[205]（第1068页））倾向于高估固体通量，但基于聚集相的EMMS曳力正确评估了固体通量和轴向S形空隙率分布。由Lu等人提出的EMMS曳力模型[391]（第1079页）适用于流化床中两相颗粒流动的建模。

流固交换系数具有以下形式： $$K_{sl}=\frac{3}{4}{C}_D\frac{{\alpha }_s{\alpha }_l{\rho }_l\left|\overrightarrow{v_s}-\overrightarrow{v_l}\right|}{d_s}{\alpha }_l^{-265}{H}_D\text{\hspace{1em}(14.290)}$$ 请提供需要翻译的文本，以便我进行翻译。 $$C_D=\{\begin{array}{ll}0.44,& R{e}_S\ge 1000\\ \frac{24}{R{e}_S}\left(1+0.15R{e}_S^{0.687}\right),& R{e}_S<1000\end{array}$$ 其中，$R{e}_S$ 定义为 $$R{e}_S=\frac{{\rho }_l{d}_s\left|\overrightarrow{v_s}-\overrightarrow{v_l}\right|}{{\mu }_l}{\alpha }_l$$ 指数 $H_D$ 表示为： $$H_D=a{\left(R{e}_S+b\right)}^c,0.001\le R{e}_S\le 35\text{\hspace{1em}(14.291)}$$ 系数 $a,b$ 和 $c$ 是气相体积分数的函数。表14.3显示了在不同 ${\alpha }_l$ 范围内计算 $a,b$ 和 $c$ 的公式：指数 $H_D$ 的拟合公式（第679页）[391]（第1079页）。

表14.3：指数 $H_D$ 的拟合公式

• 过滤的两相流模型

如《过滤的两相流模型》（第727页）所述，过滤的两相流模型可用于粗网格的情况。

14.5.7.3 固-固交换系数

固-固交换系数 $K_{ls}$ 具有以下形式 [637]（第1094页）： $$K_{ls}=\frac{3\left(1+e_{ls}\right)\left(\frac{\pi }{2}+C_{fr,ls}\frac{{\pi }^2}{8}\right){\alpha }_s{\rho }_s{\alpha }_l{\rho }_l{\left(d_l+d_s\right)}^2{g}_{0,ls}}{2\pi \left({\rho }_l{d}_l^3+{\rho }_s{d}_s^3\right)}\left|{\overrightarrow{v}}_l-{\overrightarrow{v}}_s\right|\text{\hspace{1em}(14.292)}$$ 其中

$e_{ls}=$ 恢复系数

$C_{fr,ls}=$ 第 $I$ 和第 $s$ 固相颗粒之间的摩擦系数

$\left(C_{fr,ls}=0\right)$

$d_l=$ 固相 $l$ 颗粒的直径

$g_{0,ls}=$ 径向分布系数

注意，恢复系数在固体压力（第 694 页）中描述，径向分布系数在径向分布函数（第 695 页）中描述。

14.5.7.4 曳力修正

在使用欧拉或混合多相模型时，Fluent 可以在计算相间动量交换时包含用户指定的曳力修正项。这是通过将公式 14.204（第 664 页）中的 $K_{pq}$ 替换为 $K_{pq}^{\prime }$ 来引入的。 $$K_{pq}^{\prime }=\eta K_{pq}\text{\hspace{1em}(14.293)}$$ 而 $K_{pq}$ 的定义如公式 14.212 所示（第 667 页）。你可以将修正因子 $\eta$ 指定为常数、用户定义的函数、基于 Brucato 等人提出的相关性，或是近壁面阻力修正。

14.5.7.4.1 Brucato 等人相关性

Brucato 等人提出的相关性，参见文献 [84]（第 1061 页），适用于稀薄气液流动 [333]（第 1076 页）和固液流动 [451]（第 1083 页），在这些情况下，由于液相湍流的影响，阻力系数会增加。对于 Brucato 等人提出的相关性，阻力修正因子表示为 $$\eta =\left(1+\gamma \right)\text{\hspace{1em}(14.294)}$$ 以下文本的中文翻译： $$\gamma =K{\left(\frac{d}{\lambda }\right)}^3\text{\hspace{1em}(14.295)}$$ 在这里，$K=6.5\times {10}^{-6}$，$d$ 表示气泡直径，而 $\lambda$ 则是由以下公式给出的 Kolmogrov 长度尺度： $$\lambda ={\left(\frac{v_l^3}{\epsilon }\right)}^{1/4}\text{\hspace{1em}(14.296)}$$ 其中，$v_l$ 是液相的特定分子粘度，$\epsilon$ 是液相湍流涡流耗散的平均值。

14.5.7.4.2 近壁面曳力增强

Fluent 的近壁面曳力增强功能对于准确预测近壁面多相流中的滑移速度非常有效。例如，这种曳力修正非常适合空气-水系统，其中一层大小相等的气泡沿着壁面滑动。在这种情景下，气泡处于具有最高平均应变比和最高湍流的流动区域，这可能导致大气泡破裂成更小的气泡。这些较小的气泡可以在不破裂的情况下沿壁面滑动很长时间，仅表现出与理想球形的一些偏差。在模拟此类流动而不进行曳力修正时，气泡的局部积聚可能导致数值问题。

近壁面曳力增强保持了从壁面到主体流体的平滑过渡，从而避免了体积分数停滞和速度过冲。这提高了数值鲁棒性和预测的近壁面速度及空隙率值的准确性。它还减少了靠近壁面的不稳定性和非物理的高速峰值。

增强公式的具体内容是 Ansys 的专有技术，因此未公开发布。

14.5.8 升力系数修正

14.5.8.1 Shaver-Podowski 修正

Shaver 和 Podowski [590]（第 1091 页）提出的升力修正模型旨在抑制近壁面处的升力，当气体距离壁面小于一个气泡半径时，升力减小至零。该模型提高了预测近壁面空隙峰值的准确性和整体鲁棒性，尤其是在结合湍流分散和壁面润滑模型使用时。

修正后的升力系数定义为： $$C_{CL}=\{\begin{array}{ll}{C}_L& \frac{y_w}{d_b}\ge 1.0\\ C_L\left(3{\left(\frac{2y_w}{d_b}-1\right)}^2-2{\left(\frac{2y_w}{d_b}-1\right)}^3\right)& 0.5\le \frac{y_w}{d_b}<1.0\\ 0& \frac{y_w}{d_b}<0.5\end{array}\text{\hspace{1em}(14.297)}$$ 公式 (14.297) 中，$C_L$ 代表升力系数，$y_w$ 表示距壁面的距离，而 $d_b$ 则是气泡直径。# 14.5.9 升力

在多相流中，Fluent 可以考虑次级相颗粒、液滴或气泡上的升力效应。这些升力主要由于主相流场中的速度梯度作用在颗粒上。升力对较大颗粒的影响更为显著，但 Fluent 模型假设颗粒直径远小于颗粒间距。因此，包含升力并不适用于紧密堆积的颗粒或非常小的颗粒。

根据 Drew (1993) [152]（第 1065 页），作用在主相 $q$ 中次级相 $p$ 上的升力可以计算为： $${\overrightarrow{F}}_{\text{lift }}=-C_l{\rho }_q{\alpha }_p\left({\overrightarrow{v}}_q-{\overrightarrow{v}}_p\right)\times \left(\nabla \times {\overrightarrow{v}}_q\right)\text{\hspace{1em}(14.298)}$$ 其中

$C_l=$ 升力系数（升力系数模型）

${\rho }_q=$ 主相密度

${\alpha }_p=$ 次相体积分数

${\overrightarrow{v}}_q=$ 主相速度

${\overrightarrow{v}}_p=$ 次相速度