4.2.1. 概述

Spalart-Allmaras模型[621]是一种单方程模型，用于求解运动涡流（湍流）粘度的模拟输运方程。该模型专为涉及壁边界流动的航空航天应用设计，并已被证明对承受逆压梯度的边界层能给出良好的结果。此外，它在涡轮机械应用中也逐渐受到欢迎。

在原始形式中，Spalart-Allmaras 模型实际上是一个低雷诺数模型，要求边界层的粘性影响区域得到适当解析（ $y^{+}\sim$ 1 网格）。在 Ansys Fluent 中，Spalart-Allmaras 模型已通过一种对 $y^{+}$ 不敏感的壁面处理方法进行了扩展，使得该模型可以独立于近壁面 $y^{+}$ 分辨率应用。该公式会根据 $y^{\star }$ 自动从粘性子层公式过渡到对数层公式。在中等网格上 $\left(1<y^{+}<30\right)$，该公式保持其完整性并提供一致的壁面剪应力和热传递系数。尽管去除了对 $y^{+}$ 的敏感性，仍需确保边界层以至少10-15个单元的最小分辨率进行解析。

Spalart-Allmaras模型专为空气动力学流动设计，未针对一般工业流动进行校准。在某些自由剪切流中，尤其是平面和圆形射流流动中，该模型会产生较大误差。此外，它无法准确预测均匀各向同性湍流的衰减情况。

4.2.2. Spalart-Allmaras模型中的输运方程

在Spalart-Allmaras模型中，传输变量$\tilde{v}$与湍流运动粘度相同，除了在近壁（受粘性影响的）区域。修正湍流粘度$\tilde{v}$的输运方程为

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho \tilde{\nu }\right)+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho \tilde{\nu }{u}_i\right)=G_v+\frac{1}{{\sigma }_{\tilde{\nu }}}[\frac{\partial }{\partial x_j}\left\{\left(\mu +\rho \tilde{\nu }\right)\frac{\partial \tilde{\nu }}{\partial x_j}\right\}+C_{b2}\rho {\left(\frac{\partial \tilde{\nu }}{\partial x_j}\right)}^2]-Y_v+S_{\tilde{\nu }}\text{\hspace{1em}(4.15)}$$

其中，$G_v$ 表示湍流粘度的生成项，而 $Y_v$ 则是在近壁区域由于壁面阻塞和粘性阻尼导致的湍流粘度破坏。${\sigma }_{\tilde{v}}$ 和 $C_{b2}$ 是常数，$v$ 代表分子运动粘度。$S_{\tilde{v}}$ 是一个用户定义的源项。需要注意的是，由于在 Spalart-Allmaras 模型中不计算湍流动能 $k$，因此在估计雷诺应力时会忽略公式4.14（第44页）中的最后一项。

4.2.3. 湍流粘度的建模

湍流粘度 ${\mu }_t$ 通过公式计算得到：

$${\mu }_t=\rho \tilde{v}{f}_{v1}\text{\hspace{1em}(4.16)}$$

其中，粘性阻尼函数 $f_{v{1}^{\prime }}$ 由以下公式给出：

$$f_{v1}=\frac{{\chi }^3}{{\chi }^3+C_{v1}^3}\text{\hspace{1em}(4.17)}$$

且有：

$$\chi \equiv \frac{\tilde{\nu }}{\nu }\text{\hspace{1em}(4.18)}$$

4.2.4. 湍流生成建模

生成项 $G_v$ 模拟为：

$$G_v=C_{b1}\rho \tilde{S}\tilde{v}\text{\hspace{1em}(4.19)}$$

式中：

$$\tilde{S}\equiv S+\frac{\tilde{v}}{{\kappa }^2{d}^2}{f}_{v2}\text{\hspace{1em}(4.20)}$$

且

$$f_{v2}=1-\frac{\chi }{1+\chi f_{v1}}\text{\hspace{1em}(4.21)}$$

$C_{b1}$ 和 $\kappa$ 是常数，$d$ 表示与壁面的距离，而 $S$ 则是变形张量的标量度量。在Ansys Fluent中，默认情况下，如同Spalart和Allmaras最初提出的模型一样，$S$ 基于涡量的幅值来确定：

$$S\equiv \sqrt{2{\Omega }_{ij}{\Omega }_{ij}}\text{\hspace{1em}(4.22)}$$

其中 ${\Omega }_{ij}$ 表示平均转速张量，其定义为

$${\Omega }_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)\text{\hspace{1em}(4.23)}$$

默认表达式中$S$的合理性在于，对于剪切流动，涡度和应变率是相同的。涡度的一个优势是在无粘流区域（如滞止线）中为零，而由于应变率引起的湍流生成在这些区域可能是不合理的。然而，已经有人提出了一种替代公式[129]（第1064页）并被整合到Ansys Fluent中。

这一修改在定义$S$时结合了涡度和应变张量的测量：

$$S\equiv \left|{\Omega }_{ij}\right|+C_{\text{prod }}\min \left(0,\left|S_{ij}\right|-\left|{\Omega }_{ij}\right|\right)\text{\hspace{1em}(4.24)}$$

其中

$$C_{\text{prod }}=2.0,\left|{\Omega }_{ij}\right|\equiv \sqrt{2{\Omega }_{ij}{\Omega }_{ij}},\left|S_{ij}\right|\equiv \sqrt{2S_{ij}{S}_{ij}}$$

定义平均应变率 $S_{ij}$ 为

$$S_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_j}{\partial x_i}+\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right)\text{\hspace{1em}(4.25)}$$

同时考虑旋转张量和应变张量可以减少涡粘度的产生，从而在涡量的度量超过应变率的区域中降低涡粘度本身。一个典型的例子可以在旋流中发现，即靠近受纯旋转影响的涡核附近的流动，已知这种情况下湍流会被抑制。同时包含旋转和应变张量能更准确地描述旋转对湍流的影响。默认选项（仅包括旋转张量）倾向于过高估计涡粘度的产生，因此在涡旋内部会过高估计涡粘度本身。

您可以在“粘性模型”对话框中选择修改后的形式来计算产生项。

4.2.5. 模拟湍流的消失过程

湍流消失项（Turbulent Destruction Term）模拟为：

$$Y_v=C_{w1}\rho f_w{\left(\frac{\tilde{v}}{d}\right)}^2\text{\hspace{1em}(4.26)}$$

式中：

$$f_w=g{\left[\frac{1+C_{w3}^6}{g^6+C_{w3}^6}\right]}^{1/6}\text{\hspace{1em}(4.27)}$$

$$g=r+C_{w2}\left(r^6-r\right)\text{\hspace{1em}(4.28)}$$

$$r\equiv \frac{\tilde{v}}{\tilde{S}{\kappa }^2{d}^2}\text{\hspace{1em}(4.29)}$$

$C_{w1}$、$C_{w2}$ 和 $C_{w3}$ 是常数，而 $\tilde{S}$ 由第4.20式（第46页）给出。需要注意的是，上述关于考虑平均应变对 $S$ 影响的修正也会影响用于计算 $r$ 的 $\tilde{S}$ 值。

4.2.6. 模型常数

模型常数 $C_{b1}$、$C_{b2}$、${\sigma }_{\bar{v}}$、$C_{v1}$、$C_{w1}$、$C_{w2}$、$C_{w3}$ 和 $\kappa$ 具有以下默认值 [621]：

$$C_{b1}=0.1355,C_{b2}=0.622,{\sigma }_{\tilde{v}}=\frac{2}{3},C_{v1}=7.1$$

$$C_{w1}=\frac{C_{b1}}{{\kappa }^2}+\frac{\left(1+C_{b2}\right)}{{\sigma }_{\tilde{v}}},C_{w2}=0.3,C_{w3}=2.0,\kappa =0.41$$

4.2.7.壁面边界条件

在Ansys Fluent中，Spalart-Allmaras模型已通过一种对$y^{\star }$不敏感的壁面处理方法得到扩展，该方法能自动将所有解变量从其粘性子层公式混合。

$$\frac{u}{u_{\tau }}=\frac{\rho u_{\tau }y}{\mu }\text{\hspace{1em}(4.30)}$$

根据 $y^{+}$ 值，转换为相应的对数层值：

$$\frac{u}{u_{\tau }}=\frac{1}{K}\ln E\left(\frac{\rho u_{\tau }y}{\mu }\right)\text{\hspace{1em}(4.31)}$$

其中，$u$ 是沿壁面的速度，$u_{\tau }$ 是摩擦速度，$y$ 是距壁面的距离，$\kappa$ 是冯·卡门常数（0.4187），而 $E=9.793$。

这种混合方法经过校准，以覆盖缓冲层 $\left(1<y^{+}<30\right)$ 中的中间 $y^{+}$ 值。

4.2.7.1. Spalart-Allmaras模型在结冰模拟中的处理

在标准Spalart-Allmaras模型方程的基础上，采用了波音扩展[33]（第1058页）来考虑壁面粗糙度的影响。在该模型中，通过将壁面条件${\tilde{v}}_w=0$替换为：${\tilde{v}}_w\ne 0$以此估算传输变量（直接从S-A方程求解得到）的非零壁面值${\tilde{v}}_w$，从而模拟粗糙度效应。

$$\frac{\partial \tilde{v}}{\partial n}=\frac{{\tilde{v}}_w}{d_w+d_o\left(h_s\right)}\text{\hspace{1em}(4.32)}$$

其中，$n$ 是壁面法向，$d_w$ 表示壁面与近壁第一单元之间的最小单元到面的距离，而 $d_o\left(h_s\right)$ 则是一个引入的长度参数，用于施加偏移量，该偏移量取决于局部粗糙高度 $h_s$。

$$d_o\left(h_s\right)=e^{\left(-8.5x\right)}{d}_o\left(h_s\right)\approx 0.03h_s\text{\hspace{1em}(4.33)}$$

随后，bimi湍流运动粘度 $v_{t,w}$ 可按如下方式求得：

$$v_{t,w}=f_{v1}{\tilde{v}}_w={\mu }_{\tau }\kappa \left[d_w+d_o\left(h_s\right)\right]\text{\hspace{1em}(4.34)}$$

其中，$f_{v1}$ 是 Spalart-Allmaras 模型中的标准模型函数。由于粗糙度效应较强，湍流粘度应远大于壁面处的层流粘度，因此 $f_{v1}\to 1$，从而：

$$v_{t,w}={\tilde{v}}_w\text{\hspace{1em}(4.35)}$$

在公式4.34中，$\kappa$ 是冯·卡门常数，而 $u_{\tau }$ 是壁面摩擦速度。

$$u_{\tau }^2=\left(1+v_{t,w}\right)\frac{\partial u}{\partial n}=\left[1+u_{\tau }\kappa \left(d_w+d_o\left(h_s\right)\right)\right]\frac{\partial u}{\partial n}\text{\hspace{1em}(4.36)}$$

此外，为了对较小的粗糙度实现良好的预测，Aupoix 和 Spalart [33]（第1058页）提出应通过修改Spalart-Allmaras模型方程中的量$\chi$来调整函数$f_{v1}$。

$$\chi =\frac{{\bar{v}}_t}{v}+0.5\frac{h_s}{d_w+d_o\left(h_s\right)}\text{\hspace{1em}(4.37)}$$

4.2.8. 对流换热与质量传递建模

在Ansys Fluent中，湍流热传输通过利用雷诺类比于湍流动量传递的概念进行建模。以下是“建模”后的能量方程：

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho E\right)+\frac{\partial }{\partial x_i}\left[u_i\left(\rho E+p\right)\right]=\frac{\partial }{\partial x_j}\left[\left(k+\frac{c_p{\mu }_t}{P{r}_t}\right)\frac{\partial T}{\partial x_j}+u_i{\left({\tau }_{ij}\right)}_{eff}\right]+S_h\text{\hspace{1em}(4.38)}$$

在这种情况下，$k$ 代表热导率，$E$ 表示总能量，而 ${\left({\tau }_{ij}\right)}_{eff}$ 则是偏应力张量，其定义为

$${\left({\tau }_{ij}\right)}_{eff}={\mu }_{eff}\left(\frac{\partial u_j}{\partial x_i}+\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right)-\frac{2}{3}{\mu }_{eff}\frac{\partial u_k}{\partial x_k}{\delta }_{ij}$$