本节介绍了标准、RNG 和Realizable $k-\epsilon$ 模型。这三种模型的形式相似，都包含 $k$ 和 $\epsilon$ 的输运方程。各模型之间的主要差异在于：

• 计算湍流粘度的方法
• 控制 $k$ 和 $\epsilon$ 湍流扩散的湍流普朗特数
• $\epsilon$ 方程中的湍流生成项与破坏项

针对每个模型分别给出了输运方程、计算湍流粘度的方法以及模型常数。所有模型的基本共同特征包括由于剪切浮力产生的湍流生成、考虑压缩性效应以及模拟热质传递等。

4.3.1 标准k-ε模型

4.3.1.1 概述

双方程湍流模型通过求解两个独立的输运方程，能够确定湍流的长度和时间尺度。Fluent中的标准$k$-$\epsilon$模型属于这一类模型，自Launder和Spalding[342]提出以来，已成为实际工程流动计算的主力军。其鲁棒性、经济性以及对广泛湍流流动的合理准确性，解释了它在工业流动和传热模拟中的普及原因。该模型是半经验性的，其方程推导依赖于现象学考虑和经验主义。

标准 $k$ - $\epsilon$ 模型 [342] 是一种基于湍流动能 $\left(k\right)$ 及其耗散率 $\left(\epsilon \right)$ 的模型传输方程的模型。$k$ 的模型传输方程源自精确方程，而 $\epsilon$ 的模型传输方程则是通过物理推理获得，与数学上精确的对照方程相差甚远。

在推导 $k-\epsilon$ 模型的过程中，假设流体完全处于湍流状态，分子粘度的影响可以忽略不计。因此，标准 $k$ - $\epsilon$ 模型仅适用于完全湍流的情况。

随着对标准 $k-\epsilon$ 模型的优缺点有了更深入的认识，人们引入了一些改进措施以提升其性能。在 Fluent 中提供了两种变体：RNG $k$ - $\epsilon$ 模型 [721]和Realizable $k-\epsilon$ 模型 [591]。

4.3.1.2 标准k-ε模型的输运方程

湍流动能$k$及其耗散率$\epsilon$通过以下输运方程获得：

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho k\right)+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho k{u}_i\right)=\frac{\partial }{\partial x_j}\left[\left(\mu +\frac{{\mu }_t}{{\sigma }_k}\right)\frac{\partial k}{\partial x_j}\right]+G_k+G_b-\rho \epsilon -Y_M+S_k\text{\hspace{1em}(4.39)}$$

且

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho \epsilon \right)+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho \epsilon u_i\right)=& \frac{\partial }{\partial x_j}\left[\left(\mu +\frac{{\mu }_t}{{\sigma }_{\epsilon }}\right)\frac{\partial \epsilon }{\partial x_j}\right]\\ & +C_{1\epsilon }\frac{\epsilon }{k}\left(G_k+C_{3\epsilon }{G}_b\right)\\ & -C_{2\epsilon }\rho \frac{{\epsilon }^2}{k}+S_{\epsilon }\end{array}\text{\hspace{1em}(4.40)}$$

在这些方程中，$G_k$ 表示由于平均速度梯度产生的湍流动能生成项，其计算方法在“k-ε模型中的湍流生产模拟”中有详细描述。$G_b$ 是浮力引起的湍流动能生成项，计算方法在“k-ε模型中浮力对湍流的影响”（第58页）中阐述。$Y_M$ 代表可压缩湍流中脉动膨胀对总耗散率的贡献，其计算方式在“k-ε模型中可压缩性对湍流的影响”中有说明。$C_{1\epsilon }$、$C_{2\epsilon }$ 和 $C_{3\epsilon }$ 为常数。${\sigma }_k$ 和 ${\sigma }_{\epsilon }$ 分别是 $k$ 和 $\epsilon$ 的湍流普朗特数。$S_k$ 和 $S_{\epsilon }$ 为用户定义的源项。

4.3.1.3 湍流粘度的建模

湍流（或涡流）粘度 ${\mu }_t$，是通过结合 $k$ 和 $\epsilon$ 计算得出的，具体如下：

$${\mu }_t=\rho C_{\mu }\frac{k^2}{\epsilon }\text{\hspace{1em}(4.41)}$$

其中，$C_{\mu }$ 是一个常数。

4.3.1.4. 模型常数

模型常数 $C_{1\epsilon },C_{2\epsilon },C_{\mu },{\sigma }_k$ 和 ${\sigma }_{\epsilon }$ 具有以下默认值 [342]：

$$C_{1\epsilon }=1.44,C_{2\epsilon }=1.92,C_{\mu }=0.09,{\sigma }_k=1.0,{\sigma }_{\epsilon }=1.3$$

这些默认值是通过实验确定的，适用于包括常见剪切流动（如边界层、混合层和射流）以及衰减各向同性网格湍流在内的基本湍流流动。实践证明，它们在多种壁面约束流动和自由剪切流动中表现良好。

尽管模型的常数默认值是最为广泛接受的通用标准，但如有需要，您可以在粘性模型对话框中对其进行调整。

4.3.2. RNG k-ε模型

4.3.2.1. 概述

RNG $k$ - $\epsilon$ 模型是通过一种称为重整化群理论的统计技术推导出来的。它在形式上与标准 $k$ - $\epsilon$ 模型相似，但包含了以下改进：

• RNG模型在其$\epsilon$方程中增加了一个额外项，提高了对快速变形流动的准确性。

• RNG模型考虑了旋流对湍流的影响，增强了对于旋流流动的精度。

• RNG理论提供了湍流普朗特数的解析公式，而标准 $k-\epsilon$ 模型使用用户指定的常数值。

• 虽然标准 $k-\epsilon$ 模型是一个高雷诺数模型，但RNG理论提供了一个分析推导的有效粘度微分公式，该公式考虑了低雷诺数效应。然而，有效利用这一特性确实取决于对近壁区域的适当处理。

这些特性使得RNG $k$ - $\epsilon$ 模型相较于标准 $k-\epsilon$ 模型，在更广泛的流动类型中表现出更高的准确性和可靠性。

基于RNG的 $k$ - $\epsilon$ 湍流模型源自瞬态纳维-斯托克斯方程，采用了名为“重整化群”（RNG）的数学技术进行推导。该分析推导过程产生了一个常数不同于标准 $k$ - $\epsilon$ 模型的模型，并且在 $k$ 和 $\epsilon$ 的输运方程中引入了额外的项和函数。关于RNG理论及其在湍流中的应用的更详尽描述，可参见[499]。

4.3.2.2 RNG k-ε模型的输运方程

RNG $k$ - $\epsilon$ 模型与标准 $k$ - $\epsilon$ 模型的形式相似：

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho k\right)+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho k{u}_i\right)=\frac{\partial }{\partial x_j}\left({\alpha }_k{\mu }_{eff}\frac{\partial k}{\partial x_j}\right)+G_k+G_b-\rho \epsilon -Y_M+S_k\text{\hspace{1em}(4.42)}$$

且有

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho \epsilon \right)+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho \epsilon u_i\right)=& \frac{\partial }{\partial x_j}\left({\alpha }_{\epsilon }{\mu }_{eff}\frac{\partial \epsilon }{\partial x_j}\right)\\ & +C_{1\epsilon }\frac{\epsilon }{k}\left(G_k+C_{3\epsilon }{G}_b\right)\\ & -C_{2\epsilon }\rho \frac{{\epsilon }^2}{k}-R_{\epsilon }+S_{\epsilon }\end{array}\text{\hspace{1em}(4.43)}$$

在这些方程中，$G_k$ 表示由于平均速度梯度产生的湍流动能生成项，其计算方法在“k-ε模型中湍流生成的建模”（第57页）中有详细描述。$G_b$ 是浮力引起的湍流动能生成项，计算方法在“k-ε模型中浮力对湍流的影响”（第58页）中说明。$Y_M$ 代表可压缩湍流中脉动膨胀对总耗散率的贡献，其计算方式在“k-c模型中可压缩性对湍流的影响”（第59页）中有阐述。${\alpha }_k$ 和 ${\alpha }_{\epsilon }$ 分别是 $k$ 和 $\epsilon$ 的有效普朗特数的倒数。$S_k$ 和 $S_{\epsilon }$ 为用户定义的源项。

4.3.2.3.有效粘度的建模

RNG理论中的尺度消除过程导出了一个关于湍流粘度的微分方程：

$$d\left(\frac{{\rho }^{2}k}{\sqrt{\epsilon \mu }}\right)=1.72\frac{\hat{v}}{\sqrt{{\hat{v}}^3-1+C_v}}d\hat{v}\text{\hspace{1em}(4.44)}$$

式中

$$\hat{v}=\frac{{\mu }_{eff}}{\mu }$$

$$C_v\approx 100$$

方程4.44（第52页）经过积分，得到了一个精确描述有效湍流输运如何随有效雷诺数（或涡旋尺度）变化的表达式，使得模型能更好地处理低雷诺数及近壁流动。

在高雷诺数极限情况下，方程4.44（第52页）给出

$${\mu }_t=\rho C_{\mu }\frac{k^2}{\epsilon }\text{\hspace{1em}(4.45)}$$

采用RNG理论推导出的$C_{\mu }=0.0845$，值得注意的是，这一$C_{\mu }$值与标准$k$ - $\epsilon$模型中经验确定的0.09非常接近。

在Fluent中，默认情况下，有效粘度是根据高雷诺数形式（方程4.45，第52页）计算的。然而，当需要考虑低雷诺数效应时，有一个选项允许您使用方程4.44（第52页）给出的微分关系。

4.3.2.4 RNG旋流修正

一般来说，湍流会受到平均流动中的旋转或旋流的影响。Fluent中的RNG模型提供了一个选项，通过适当修改湍流粘度来考虑旋流或旋转的影响。这种修正如以下函数形式所示：

$${\mu }_t={\mu }_{t0}f\left({\alpha }_s,\Omega ,\frac{k}{\epsilon }\right)\text{\hspace{1em}(4.46)}$$

其中，${\mu }_{t0}$ 是不考虑旋流修正时计算得到的湍流粘度值，可以使用公式4.44（第52页）或公式4.45（第52页）进行计算。$\Omega$ 是 Fluent 中评估的特征旋流数，而 ${\alpha }_s$ 是一个旋流常数，其取值取决于流动是受强烈旋流主导还是仅有轻微旋流。此旋流修正对于轴对称、有旋流动以及选择 RNG 模型的三维流动始终有效。对于轻微有旋流动（Fluent中的默认设置），${\alpha }_s$ 设为0.07。然而，在强烈有旋流动情况下，可以采用更高的 ${\alpha }_s$ 值。

4.3.2.5. 计算有效普朗特数的倒数

有效普朗特数的倒数 ${\alpha }_k$ 和 ${\alpha }_{\epsilon }$，是通过 RNG理论推导出的以下公式进行计算的：

$${\left|\frac{\alpha -1.3929}{{\alpha }_0-1.3929}\right|}^{0.6321}{\left|\frac{\alpha +2.3929}{{\alpha }_0+2.3929}\right|}^{0.3679}=\frac{{\mu }_{\text{mol }}}{{\mu }_{\text{eff }}}\text{\hspace{1em}(4.47)}$$

其中 ${\alpha }_0=1.0$。在高雷诺数极限下 $\left(\frac{{\mu }_{\text{mol }}}{{\mu }_{\text{eff }}}\ll 1\right),{\alpha }_k={\alpha }_{\epsilon }\approx 1.393$。

4.3.2.6. ε方程中的 R- ε 项

RNG $k$ - $\epsilon$ 模型与标准 $k$ - $\epsilon$ 模型的主要区别在于 $\epsilon$ 方程中增加的一项，由下式给出

$$R_{\epsilon }=\frac{C_{\mu }\rho {\eta }^3\left(1-\eta /{\eta }_0\right)}{1+\beta {\eta }^3}\frac{{\epsilon }^2}{k}\text{\hspace{1em}(4.48)}$$

其中 $\eta \equiv Sk/\epsilon ,{\eta }_0=4.38,\beta =0.012$。

通过重新排列方程4.43（第51页），可以更清楚地看到这一项在RNG $\epsilon$ 方程中的影响。利用方程4.48（第53页），可以将方程4.43（第51页）右侧的第三和第四项合并，从而得到的新$\epsilon$ 方程可以重写为

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho \epsilon \right)+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\rho \epsilon u_i\right)=\frac{\partial }{\partial x_j}\left({\alpha }_{\epsilon }{\mu }_{eff}\frac{\partial \epsilon }{\partial x_j}\right)+C_{1\epsilon }\frac{\epsilon }{k}\left(G_k+C_{3\epsilon }{G}_b\right)-C_{2\epsilon }^{\ast }\rho \frac{{\epsilon }^2}{k}\text{\hspace{1em}(4.49)}$$

其中，$C_{2\epsilon }^{\ast }$ 由以下公式给出：

$$C_{2\epsilon }^{\ast }\equiv C_{2\epsilon }+\frac{C_{\mu }{\eta }^3\left(1-\eta /{\eta }_0\right)}{1+\beta {\eta }^3}\text{\hspace{1em}(4.50)}$$

在 $\eta <{\eta }_0$ 的区域，$R$ 项产生正贡献，使得 $C_{2\epsilon }^{\ast }$ 大于 $C_{2\epsilon }$。例如，在对数层中，可以证明 $\eta \approx 3.0$，从而得到 $C_{2\epsilon }^{\ast }\approx 2.0$，这与标准 $k-\epsilon$ 模型中的 $C_{2\epsilon }$ 值（1.92）相近。因此，对于弱至中等应变流动，RNG 模型往往能给出与标准 $k-\epsilon$ 模型大致相当的结果。

然而，在应变率较大的区域（即 $\eta >{\eta }_0$），$R$ 项产生负贡献，使得 $C_{2\epsilon }^{\ast }$ 的值小于 $C_{2\epsilon }$。与标准 $k-\epsilon$ 模型相比，$\epsilon$ 的破坏程度减小增强了 $\epsilon$，从而降低了 $k$ 以及最终的有效粘度。因此，在高应变率流动中，RNG 模型产生的湍流粘度低于标准 $k-\epsilon$ 模型。

因此，RNG模型比标准$k$-$\epsilon$模型更能响应快速应变和流线曲率的影响，这解释了RNG模型在某些流动类别中表现更优的原因。

4.3.2.7. 模型常数

方程4.43（第51页）中的模型常数$C_{1\epsilon }$和$C_{2\epsilon }$的值是通过RNG理论解析得出的。这些默认用于Fluent中的值为：

$$C_{1\epsilon }=1.42,C_{2\epsilon }=1.68$$

4.3.3. Realizablek-ε模型

4.3.3.1. 概述

Realizable $k$ - $\epsilon$ 模型 [591]（第1091页）与标准 $k$ - $\epsilon$ 模型在两个重要方面有所不同：

• Realizable $k$ - $\epsilon$ 模型包含了一种针对湍流粘度的替代公式。

• 对于耗散率 $\epsilon$，已从平均涡度波动的平方的精确输运方程中推导出一种修正的输运方程。

“Realizable”一词意味着该模型满足雷诺应力在数学上的特定约束条件，这些条件与湍流流动的物理特性相一致。标准$k$-$\epsilon$模型和RNG $k$-$\epsilon$模型均不满足这一Realizable性要求。

要理解Realizable$k$-$\epsilon$模型的数学原理，可以考虑将Boussinesq关系式（方程4.14，第44页）与涡粘性定义（方程4.41，第50页）结合起来，从而得到不可压缩受迫平均流动中法向雷诺应力的如下表达式：

$$\overline{u^2}=\frac{2}{3}k-2v_t\frac{\partial U}{\partial x}\text{\hspace{1em}(4.51)}$$

利用公式4.41针对$v_t\equiv {\mu }_t/\rho$，可以得出结论：当应变足够大以至于满足特定条件时，法向应力$\overline{u^2}$——根据定义为正值的量——会变为负值，即“不Realizable”。

$$\frac{k}{\epsilon }\frac{\partial U}{\partial x}>\frac{1}{3C_{\mu }}\approx 3.7\text{\hspace{1em}(4.52)}$$

同样地，可以证明当平均应变率较大时，剪切应力的Schwarz不等式${\left(\overline{u_{\alpha }}{\bar{u}}_{\beta }\right)}^2\le \overline{u_{\alpha }^2}\overline{u_{\beta }^2}$（$\alpha$和$\beta$不进行求和）可能被违反。确保Realizable性（正态应力的正值性和剪切应力的Schwarz不等式）的最直接方法是使$C_{\mu }$随平均流动（平均变形）和湍流$\left(k,\epsilon \right)$的变化而变化。许多模型研究者，包括Reynolds [552] (第1089页)，都提出了变量$C_{\mu }$的概念，并且得到了实验证据的有力支持。例如，在平衡边界层的对数层中，$C_{\mu }$的值约为0.09；而在强烈的均匀剪切流中则为0.05。

Realizable和RNG $k-\epsilon$ 模型在处理包含强烈流线曲率、涡旋和旋转的流动特征时，相较于标准 $k-\epsilon$ 模型显示出显著改进。由于该模型相对较新，目前尚不明确在哪些具体情况下Realizable $k-\epsilon$ 模型能持续优于RNG模型。然而，初步研究表明，对于分离流动及具有复杂二次流特征的流动验证中，Realizable模型提供了所有 $k-\epsilon$ 版本中的最佳性能。

标准 $k-\epsilon$ 模型或其他传统 $k-\epsilon$ 模型的弱点之一在于其对耗散率 $\left(\epsilon \right)$ 方程的建模方式。著名的圆喷射异常（得名于平面射流的扩散速率预测合理，但轴对称射流的扩散速率预测却出乎意料地差）主要被认为是由于耗散方程的建模问题所致。

Shih等人[591]（第1091页）提出的Realizable$k$-$\epsilon$模型旨在通过采用以下方法来解决传统$k$-$\epsilon$模型的缺陷：

• 一种新的涡粘性公式，涉及Reynolds [552]（第1089页）最初提出的变量$C_{\mu }$。

• 基于平均平方涡度波动动态方程的新耗散$\left(\epsilon \right)$模型方程。

Realizable$k$-$\epsilon$模型的一个局限性在于，在计算域同时包含旋转和静止流体区域的情况下（例如，多参考系、旋转滑动网格），该模型会产生非物理性的湍流粘度。这是因为Realizable$k$-$\epsilon$模型在定义湍流粘度时考虑了平均旋转的影响（参见方程4.55（第56页）至方程4.57（第56页））。这种额外的旋转效应已在单一移动参考系系统中进行了测试，并显示出优于标准$k$-$\epsilon$模型的性能。然而，由于这一修改的特性，将其应用于多参考系系统时应持谨慎态度。关于如何包括或排除此项的信息，请参阅“模拟湍流粘度”部分（第56页）。

4.3.3.2. Realizable k- ε 模型的输运方程

在Realizable$k$-$\epsilon$模型中，针对 $k$ 和 $\epsilon$ 的建模输运方程为

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho k\right)+\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\rho k{u}_j\right)=\frac{\partial }{\partial x_j}\left[\left(\mu +\frac{{\mu }_t}{{\sigma }_k}\right)\frac{\partial k}{\partial x_j}\right]+G_k+G_b-\rho \epsilon -Y_M+S_k\text{\hspace{1em}(4.53)}$$

且

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho \epsilon \right)+\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\rho \epsilon u_j\right)& =\frac{\partial }{\partial x_j}\left[\left(\mu +\frac{{\mu }_t}{{\sigma }_{\epsilon }}\right]\frac{\partial \epsilon }{\partial x_j}\right]\\ & +\rho C_{1}S\epsilon -\rho C_2\frac{{\epsilon }^2}{k+\sqrt{\nu \epsilon }}+C_{1\epsilon k}\frac{\epsilon }{k}{C}_{3\epsilon }{G}_b+S_{\epsilon }\end{array}\text{\hspace{1em}(4.41)}$$

其中

$$C_1=\max \left[0.43,\frac{\eta }{\eta +5}\right],\eta =S\frac{k}{\epsilon },S=\sqrt{2S_{ij}{S}_{ij}}$$

在这些方程中，$G_k$ 表示由于平均速度梯度产生的湍流动能生成项，其计算方法在“k-ε模型中的湍流产生模拟”（第57页）中有详细描述。$G_b$ 是浮力引起的湍流动能生成项，计算方法在“k-ε模型中浮力对湍流的影响”（第58页）中阐述。$Y_M$ 代表可压缩湍流中脉动膨胀对总耗散率的贡献，其计算方式在“k-ε模型中可压缩性对湍流的影响”（第59页）中有说明。$C_2$ 和 $C_{1\epsilon }$ 为常数。${\sigma }_k$ 和 ${\sigma }_{\epsilon }$ 分别是 $k$ 和 $\epsilon$ 的湍流普朗特数。$S_k$ 和 $S_{\epsilon }$ 为用户定义的源项。

注意到，$k$方程（公式4.53，第55页）与标准$k$-$\epsilon$模型（公式4.39，第50页）及RNG $k$-$\epsilon$模型（公式4.42，第51页）中的形式相同，仅模型常数有所不同。然而，$\epsilon$方程的形式则与标准和基于RNG的$k$-$\epsilon$模型中的大相径庭（分别见公式4.40，第50页和公式4.43，第51页）。其中值得关注的一个特点是：在$\epsilon$方程的生产项中（即公式4.54右侧第二项，第55页）并未涉及$k$的生产；也就是说，它不包含与其他$k-\epsilon$模型相同的$G_k$项。据信，当前形式更准确地反映了光谱能量传递。另一个理想的特点是破坏项（方程4.54右侧的第三项，第55页）没有奇点；也就是说，即使$k$消失或变为负值，其分母也永远不会为零。这一特点与传统的$k-\epsilon$模型形成对比，后者因分母中的$k$而存在奇点。

该模型已广泛验证于多种流动情况[309]（第1075页），[591]（第1091页），包括旋转均匀剪切流、自由流（如射流和混合层）、通道与边界层流动以及分离流等。在所有这些情况下，该模型的表现均显著优于标准$k-\epsilon$模型。特别值得一提的是，Realizable$k-\epsilon$模型解决了圆喷射异常问题；即它能够预测轴对称喷流的扩散速率与平面喷流相当。

4.3.3.3. 湍流粘度的建模

与其他$k-\epsilon$模型一样，涡粘度是通过计算得出的。

$${\mu }_t=\rho C_{\mu }\frac{k^2}{\epsilon }\text{\hspace{1em}(4.55)}$$

Realizable$k-\epsilon$模型与标准和RNG $k-\epsilon$模型的区别在于，$C_{\mu }$不再是常数。它是通过计算得出的。

$$C_{\mu }=\frac{1}{A_0+A_s\frac{k{U}^{\ast }}{\epsilon }}\text{\hspace{1em}(4.56)}$$

其中

$$U^{\ast }\equiv \sqrt{S_{ij}{S}_{ij}+{\tilde{\Omega }}_{ij}{\tilde{\Omega }}_{ij}}\text{\hspace{1em}(4.57)}$$

且

$${\tilde{\Omega }}_{ij}={\Omega }_{ij}-2{\epsilon }_{ijk}{\omega }_k$$

$${\Omega }_{ij}=\overline{{\Omega }_{ij}}-{\epsilon }_{ijk}{\omega }_k$$

其中，$\overline{{\Omega }_{ij}}$ 是在以角速度 ${\omega }_k$ 旋转的参考系中观察到的平均旋转速率张量。模型常数 $A_0$ 和 $A_s$ 由以下公式给出：

$$A_0=4.04,A_s=\sqrt{6}\cos \phi \text{\hspace{1em}(4.58)}$$

式中

$$\phi =\frac{1}{3}{\cos }^{-1}\left(\sqrt{6}W\right),W=\frac{S_{ij}{S}_{jk}{S}_{ki}}{{\tilde{S}}^3},\tilde{S}=\sqrt{S_{ij}{S}_{ij}},S_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_j}{\partial x_i}+\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right)\text{\hspace{1em}(4.59)}$$

可以看出，$C_{\mu }$ 是平均应变和旋转率、系统旋转的角速度以及湍流场 $\left(k\text{和}\epsilon \right)$ 的函数。在公式4.55（第56页）中，可以证明 $C_{\mu }$ 在平衡边界层的惯性子层中恢复标准值0.09。

重要提示：在Fluent中，默认情况下，项 $-2{\epsilon }_{ijk}{\omega }_k$ 不包含在 ${\tilde{\Omega }}_{ij}$ 的计算中。这是一个额外的旋转项，不适用于涉及滑动网格或多个参考系的情况。如果您希望在模型中包含此项，可以通过使用 define/models/viscous/turbulence-expert/rke-cmu-rotation-term? 文本命令并在提示符下输入 yes 来启用它。

4.3.3.4. 模型常数

模型常数 $C_2,{\sigma }_k$ 和 ${\sigma }_{\epsilon }$ 已被确定，以确保该模型在某些典型流动情况下表现良好。这些模型常数是

$$C_{1\epsilon }=1.44,C_2=1.9,{\sigma }_k=1.0,{\sigma }_{\epsilon }=1.2$$

4.3.4. k-ε模型中的湍流动能生成建模

代表湍流动能生成的项 $G_k$，在标准、RNG和Realizable$k-\epsilon$模型中均采用相同的建模方式。根据$k$的传输方程的精确表达式，该项可以定义为

$$G_k=-\rho \overline{u_i^{\prime }{u}_j^{\prime }}\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\text{\hspace{1em}(4.60)}$$

为了与Boussinesq假设保持一致地评估$G_k$，

$$G_k={\mu }_t{S}^2\text{\hspace{1em}(4.61)}$$

其中，$S$ 是平均应变率张量的模量，定义为

$$S\equiv \sqrt{2S_{ij}{S}_{ij}}\text{\hspace{1em}(4.62)}$$

重要提示：在使用高雷诺数 $k-\epsilon$ 版本时，方程 4.61（第57页）中使用有效粘度 $\left({\mu }_t+C\cdot \mu \right)$ 代替 ${\mu }_t$。系数 $C$ 的默认值为1，可通过 rpvar 'coeff-ke-mu-prod' 进行访问。

4.3.5. 关于破坏项线性化的备注

在对 $k$ 和 $\epsilon$ 传输方程的破坏项进行线性化时，会出现比值 $\epsilon /k$。为了在使用高雷诺数版本的 Standard-k-e 和 RNG模型时提高鲁棒性，对其进行了重新表述。具体表达式如下：

$$\frac{\epsilon }{k}\to \frac{\rho C_{\mu }k}{{\mu }_t+C\cdot \mu }\text{\hspace{1em}(4.63)}$$

系数 $C$ 的默认值为1，可通过rpvar 'coeff-ke-mu-dok'访问。

注意：若使用用户自定义函数（UDF）来定义涡流粘度，则不应用此关系式，而是直接计算比值 $\epsilon /k$。

4.3.6. k-ε模型中浮力对湍流的影响

当存在非零重力场和温度梯度时，Fluent中的$k$-$\epsilon$模型能够考虑由于浮力产生的$k$（如公式4.39（第50页）、公式4.42（第51页）和公式4.53（第55页）所示的$G_b$），以及相应的$\epsilon$生成贡献，体现在公式4.40（第50页）、公式4.43（第51页）和公式4.54（第55页）中。

浮力引起的湍流生成由以下给出：

$$G_b=\beta g_i\frac{{\mu }_t}{\underset{t}{\mathrm{Pr}}}\frac{\partial T}{\partial x_i}\text{\hspace{1em}(4.64)}$$

其中，$\underset{t}{\mathrm{Pr}}$ 表示能量湍流普朗特数，$g_i$ 是重力矢量在第 $i^{\text{ th }}$ 方向的分量。对于标准和Realizable $k$ - $\epsilon$ 模型，$P{r}_t$ 的默认值为0.85。对于非预混和部分预混燃烧模型，$P{r}_t$ 设置等于PDF施密特数以确保刘易斯数等于1。在RNG $k-\epsilon$ 模型的情况下，$\underset{t}{\mathrm{Pr}}=1/\alpha$，其中 $\alpha$ 由方程4.47（第53页）给出，但 ${\alpha }_0=1/\mathrm{Pr}=k/\mu c_p$。热膨胀系数 $\beta$ 定义为

$$\beta =-\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial \rho }{\partial T}\right)}_p\text{\hspace{1em}(4.65)}$$

对于理想气体，方程4.64简化为

$$G_b=-g_i\frac{{\mu }_t}{\rho P{r}_t}\frac{\partial \rho }{\partial x_i}\text{\hspace{1em}(4.66)}$$

从$k$的传输方程（见第50页的公式4.39、第51页的公式4.42以及第55页的公式4.53）可以看出，在不稳定分层情况下，湍流动能倾向于增强$\left(G_b>0\right)$。而在稳定分层条件下，浮力则趋向于抑制湍流$\left(G_b<0\right)$。在使用Fluent软件时，当存在非零的重力场和非零的温度（或密度）梯度时，默认会考虑浮力对$k$生成的影响。

尽管浮力对$k$生成的影响相对较好理解，但对$\epsilon$的影响则不那么明确。在Fluent中，默认情况下，通过在$\epsilon$的输运方程中将$G_b$设为零（参见公式4.40（第50页）、公式4.43（第51页）或公式4.54（第55页））来忽略浮力对$\epsilon$的影响。

然而，您可以在粘性模型对话框中纳入浮力对$\epsilon$的影响。在这种情况下，由公式4.66（第58页）给出的$G_b$值将用于$\epsilon$的输运方程（公式4.40（第50页）、公式4.43（第51页）或公式4.54（第55页））。

$\epsilon$受浮力影响的程度由常数$C_{3\epsilon }$决定。在Fluent中，$C_{3\epsilon }$并未直接指定，而是根据以下关系式[238]（第1070页）计算得出：

$$C_{3\epsilon }=\tanh \left|\frac{v}{u}\right|\text{\hspace{1em}(4.67)}$$

其中，$v$ 是流动速度沿重力方向的分量，而 $u$ 是流动速度垂直于重力方向的分量。通过这种方式，对于主要流动方向与重力方向一致的浮力剪切层，$C_{3\epsilon }$ 将变为1。而对于垂直于重力矢量的浮力剪切层，$C_{3\epsilon }$ 将变为零。

4.3.7.湍流阻尼

有关湍流阻尼的详细信息，请参见湍流阻尼（第167页）。

4.3.8. k-ε模型中可压缩性对湍流的影响

在高马赫数流动中，可压缩性通过所谓的“膨胀耗散”影响湍流，这在不可压缩流动的建模中通常被忽略[708]（第1098页）。忽略膨胀耗散无法预测随着马赫数增加的可压缩混合和其他自由剪切层的扩散率下降现象。为了在Fluent的k-$\epsilon$模型中考虑这些效应，可以在k方程中包含膨胀耗散项 $Y_M$。该项根据Sarkar[566]（第1089页）提出的建议进行建模：

$$Y_M=2\rho \epsilon M_t^2\text{\hspace{1em}(4.68)}$$

where $M_t$ is the turbulent Mach number, defined as

$$M_t=\sqrt{\frac{k}{a^2}}\text{\hspace{1em}(4.69)}$$

其中 $a\left(\equiv \sqrt{\gamma RT}\right)$ 表示声速。

注意：Sarkar模型仅在极少数自由剪切测试案例中进行了测试，使用时应谨慎（且仅在确实必要时），因为它即使在跨音速和超音速马赫数下也可能对壁面边界层产生负面影响。默认情况下该模型是禁用的。详细信息请参阅《Fluent用户指南》中的模型增强部分。

4.3.9. k-ε模型中的对流热与质量传递建模

在Fluent中，湍流热传输采用雷诺类比于湍流动量传输的概念进行建模。因此，“建模”的能量方程如下所示

$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho E\right)+\frac{\partial }{\partial x_i}\left[u_i\left(\rho E+p\right)\right]=\frac{\partial }{\partial x_j}\left(k_{eff}\frac{\partial T}{\partial x_j}+u_i{\left({\tau }_{ij}\right)}_{eff}\right)+S_h\text{\hspace{1em}(4.70)}$$

其中，$E$ 表示总能量，$k_{eff}$ 是有效热导率，而

${\left({\tau }_{ij}\right)}_{eff}$ 则是偏应力张量，定义为

$${\left({\tau }_{ij}\right)}_{eff}={\mu }_{eff}\left(\frac{\partial u_j}{\partial x_i}+\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right)-\frac{2}{3}{\mu }_{eff}\frac{\partial u_k}{\partial x_k}{\delta }_{ij}$$

涉及${\left({\tau }_{ij}\right)}_{\text{eff }}$的项表示粘性加热，在基于密度的求解器中总是被计算。在基于压力的求解器中默认不计算此项，但可以在粘性模型对话框中启用。

根据您使用的物理模型，能量方程中可能会出现其他项。更多详情请参见传热理论（第172页）。

对于标准和Realizable$k-\epsilon$模型，有效导热系数：

$$k_{eff}=k+\frac{c_p{\mu }_t}{P{r}_t}$$

在这种情况下，$k$ 代表热导率。湍流普朗特数的默认值为 0.85。您可以在粘性模型对话框中更改湍流普朗特数的数值。

对于 RNG $k-\epsilon$ 模型，有效热导率为

$$k_{eff}=\alpha c_p{\mu }_{eff}$$

其中，$\alpha$ 根据第53页的公式4.47计算得出，但设定 ${\alpha }_0=1/\mathrm{Pr}=k/\mu c_p$。

$\alpha$ 随 ${\mu }_{mol}/{\mu }_{eff}$ 变化的事实，如第53页的公式4.47所示，是RNG $k$ - $\epsilon$ 模型的一个优势。这与实验证据一致，表明湍流普朗特数随分子普朗特数和湍流变化[296]（第1074页）。公式4.47（第53页）在非常广泛的分子普朗特数范围内表现良好，从液态金属 $\left(Pr\approx {10}^{-2}\right)$ 到石蜡油 $(Pr\approx {10}^3$ )，这使得可以在低雷诺数区域计算传热。公式4.47（第53页）平滑地预测了有效普朗特数的变异范围：从粘性主导区域的分子值（$\alpha$ =1/ $Pr$）到流动完全湍流区域的完全湍流值（$\alpha$ =1.393）。

湍流质量传递的处理方式类似。对于标准和Realizable $k-\epsilon$ 模型，默认的湍流施密特数为 0.7。这个默认值可以在粘性模型对话框中更改。对于 RNG 模型，质量传递的有效湍流扩散率是按照类似于热传输的方法计算的。公式 4.47（第 53 页）中的 ${\alpha }_0$ 值为 ${\alpha }_0=1/Sc$，其中 $\mathrm{Sc}$ 是分子施密特数。