本节阐述了间歇性转捩模型的理论基础。相关信息将在以下章节中详细介绍：

4.8.1 概述

4.8.2 间歇性转捩模型的传输方程

4.8.3 与其他模型的耦合关系

4.8.4 间歇性转捩模型与粗糙壁面的相互作用

如需了解在Ansys Fluent中使用该模型的具体细节，请参阅用户指南中的“湍流建模及设置代数或间歇性转捩模型”部分。

4.8.1 概述

$\gamma$（间歇性）转捩模型是在$\gamma$ - ${\mathrm{Re}}_{\theta }$转捩模型基础上进一步发展的成果（在Ansys Fluent中被称为Transition SST模型，详见Transition SST Model (p. 77)）。该$\gamma$转捩模型仅求解一个关于湍流间歇性因子$\gamma$的输运方程，从而避免了原$\gamma -{\mathrm{Re}}_{\theta }$转捩模型所需的第二个${\mathrm{Re}}_{\theta }$方程。相较于$\gamma -{\mathrm{Re}}_{\theta }$转捩模型，此$\gamma$转捩模型的优势在于：

• 它减少了计算工作量（通过只求解一个输运方程而非两个）。

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• 该模型避免了${\mathrm{Re}}_{\theta }$方程对速度$U$的依赖，从而使得$\gamma$转捩模型具有伽利略不变性。因此，它可以应用于相对于计算速度场的坐标系移动的表面。

• 该模型包含了横向流动不稳定性的考虑，这是$k$ - $kl$或$\gamma$ - ${\mathrm{Re}}_{\theta }$转捩模型所不具备的。

• 模型的构建简洁明了，并且可以根据少数用户参数进行精细调整。

与$\gamma -{\mathrm{Re}}_{\theta }$转捩模型类似，$\gamma$转捩模型严格基于局部变量。此外，$\gamma$转捩模型仅能与以下湍流模型结合使用：

• BSL $k-\omega$ 模型

• SST $k-\omega$ 模型

• 基于BSL或SST的比例自适应模拟（Scale-Adaptive Simulation）

• 基于BSL或SST的分离涡模拟（Detached Eddy Simulation）

• 基于BSL或SST的屏蔽分离涡模拟（Shielded Detached Eddy Simulation，SDES）

• 基于BSL或SST的应力混合涡模拟（Stress-Blended Eddy Simulation，SBES）

请注意以下限制条件：

• $\gamma$ 转捩模型仅适用于壁边界流动。与所有其他工程转捩模型一样，该模型不适用于自由剪切流中的转捩。模型会将自由剪切流预测为完全湍流。

• $\gamma$ 转捩模型仅针对经典边界层流动进行了校准。应用于其他类型的壁边界流动是可能的，但可能需要对基础相关性进行修改。

• $\gamma$ 转捩模型尚未与其他影响湍流模型源项的物理效应结合校准，例如：

• 浮力

• 多相湍流

4.8.2 间歇性转捩模型的输运方程

间歇性的输运方程如下：

$$\frac{\partial \left(\rho \gamma \right)}{\partial t}+\frac{\partial \left(\rho U_j\gamma \right)}{\partial x_j}=P_{\gamma }-E_{\gamma }+\frac{\partial }{\partial x_j}\left[\left(\mu +\frac{{\mu }_t}{{\sigma }_{\gamma }}\right)\frac{\partial \gamma }{\partial x_j}\right]$$

源项的构建在本质上与$\gamma {\text{-Re}}_{\theta }$转捩模型中的相应项相似。转捩源项定义如下：

$$P_{\gamma }=F_{\text{length }}\rho S\gamma \left(1-\gamma \right)F_{\text{onset }}$$

其中，$S$ 表示应变率大小，而 $F_{\text{length }}=100$。

破坏/再层流化源的定义如下：

$$E_{\gamma }=c_{a2}\rho \Omega \gamma F_{\text{turb }}\left(c_{e2}\gamma -1\right)$$

其中，$\Omega$ 表示绝对涡度率的幅值，$c_{a2}=0.06$，$c_{e2}=50$，以及 $\Omega \gamma =1.0$。转捩起始由以下函数控制：

$$\begin{array}{rl}& F_{onset1}=\frac{{\mathrm{Re}}_{\nu }}{2.2{\mathrm{Re}}_{\mathrm{bc}}},F_{onset2}=\min (F_{onset1},2.0)\\ & F_{onset3}=\max (1-(\frac{R_T}{3.5}{)}^3,0),F_{onset}=\max (F_{onset2}-F_{onset3},0)\end{array}\text{\hspace{1em}(4.196)}$$

$$F_{\text{turb }}=e-{\left(\frac{R_T}{2}\right)}^4$$

$$R_T=\frac{\rho k}{\mu \omega }$$

$${\mathrm{Re}}_V=\frac{\rho d_w^{2}S}{\mu }$$

$${\mathrm{Re}}_{\theta c}=f\left(T{u}_L,{\lambda }_{\theta L}\right)$$

其中，$d_w$ 表示壁面距离，而 ${\mathrm{Re}}_{\theta c}$ 是一种用于触发转捩模型的相关性：

$${\mathrm{Re}}_{\theta c}\left(T{u}_L,{\lambda }_{\theta L}\right)=C_{TU1}+C_{TU2}\exp \left[-C_{TU3}T{u}_L{F}_{PG}\left({\lambda }_{\theta L}\right)\right]$$

在这种相关性中，${\mathrm{Re}}_{\theta c}$ 表示临界动量厚度雷诺数，而 $T{u}_L$ 和 ${\lambda }_{\theta L}$ 则是局部定义的变量，分别近似于自由流湍流强度和压力梯度参数。提供与边界层中部自由流湍流强度 $Tu$ 相似水平的局部 $T{u}_L$ 表达式如下：

$$T{u}_L=\min \left(100\frac{\sqrt{2k/3}}{\omega d_w},100\right)$$

${\lambda }_{\theta L}$ 的公式为：

$${\lambda }_{\theta L}=-0.1111\frac{dV}{dy}\frac{d_{w^2}}{v}+0.1875\text{\hspace{1em}(4.197)}$$

为了数值稳定性，${\lambda }_{\theta L}$ 被限定如下：

$${\lambda }_{\theta L}=\min \left(\max \left({\lambda }_{\theta L},-10.0\right),10.0\right)\text{\hspace{1em}(4.198)}$$

函数 $F_{PG}$ 考虑了压力梯度对转捩的影响，其定义如下：

$$F_{PG}\left({\lambda }_{\theta }\right)=\{\begin{array}{l}\min \left(1+C_{PG1}{\lambda }_{\theta },C_{PG1}^{\lim }\right),{\lambda }_{\theta }\ge 0\\ \min \left(1+C_{PG2}{\lambda }_{\theta }+C_{PG3}\min \left[{\lambda }_{\theta }+1.0,0\right],C_{PG2}^{\lim }\right),{\lambda }_{\theta }<0\end{array}$$

$\gamma$ 转捩模型已针对广泛的通用案例以及涡轮机械和外部航空测试案例进行了校准。在大多数情况下，您无需调整模型系数，但该模型提供了访问这些系数的权限，以便您可以根据需要微调模型。这应仅基于详细的实验数据进行。您可以在相关性中调整以下常数：$C_{TU1},C_{TU2},C_{TU3},C_{PG1},C_{PG2},C_{PG3},C_{PG1}^{\lim },C_{PG2}^{\lim },C_{SEP},C_{RSF}$。

常数 $C_{TU1}$ 定义了临界 ${\mathrm{Re}}_{\theta c}$ 数的最小值，而 $C_{TU1}$ 与 $C_{TU2}$ 之和则定义了 ${\mathrm{Re}}_{\theta c}$ 的最大值。$C_{TU3}$ 控制着随着湍流强度 $\left(Tu\right)$ 增加时 ${\mathrm{Re}}_{\theta c}$ 的下降速度。$C_{PG1}$ 和 $C_{PG2}$ 常数分别调整在正压梯度和负压梯度区域中的临界 ${\mathrm{Re}}_{\theta c}$ 数值。在分离区，$C_{PG3}$ 常数被激活，必要时校正 ${\mathrm{Re}}_{\theta c}$ 值。此外，通过另一个常数 $C_{SEP}$,可以调节分离泡的大小,该常数通过源项直接进入模型而非通过相关性。$C_{PG1}^{\lim }$和$C{PG2}^{\lim }$定义了$F_{PG}函数$的极限;虽然通常不需要调整它们,但也可以进行调整(详情请联系您的技术支持工程师)

对于横流转捩，广泛使用的实验相关性是Arnal（1984）[223]提出的C1相关性。根据该相关性，当满足以下条件时会发生转捩：

$$\frac{{\mathrm{Re}}_{┊t}^{\ast }}{150f\left(H_S\right)}\ge 1$$

其中

$$f\left(H_S\right)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ for }{H}_S<2.3\\ \frac{2}{\pi }\arctan \left(\frac{0.106}{{\left(H_S-2.3\right)}^{2.05}}\right)& \text{ for }2.3<H_S<2.7\end{array}$$

横流雷诺数定义如下：

$${\mathrm{Re}}_{{\delta }_{┊}^{\ast }}=\frac{U_{S,\delta }{\delta }_{┊}^{\ast }}{\nu }$$

$${\delta }_{┊}^{\ast }={\int }_0^{\infty }\frac{W_S}{U_{S,\delta }}dy$$

$${\delta }_{XS}^{\ast }={\int }_0^{\infty }\left(1-\left(\frac{U_S}{U_{S,\delta }}\right)\right)dy$$

$${\Theta }_{XS}={\int }_0^{\infty }\left(1-\frac{U_S}{U_{S,\delta }}\right)\frac{U_S}{U_{S,\delta }}dy$$

$$H_S=\frac{{\delta }_{XS}^{\ast }}{{\theta }_{XS}}$$ 在前述方程中，${\mathrm{Re}}_{{\delta }_{┊}^{\ast }}$ 表示横流雷诺数，下标 $S$ 指的是与自由流速度 $U_{S,\delta }$（其中 $\delta$ 代表边界层边缘）对齐的坐标系，$W_S$ 则是垂直于自由流方向的横流速度。数值150是Arnal C1准则对应的临界雷诺数的校准常数。

$\gamma$ 转捩模型通过一个单独的相关性来考虑交叉流动的转捩，该相关性近似于 C1 相关性，采用局部公式表示。该公式仅使用局部信息，并具有以下函数形式：

$$T_{C1\text{ local }}=\frac{C_{RSF}}{150}\left(G\Psi {\mathrm{Re}}_V\right)>1$$

函数 $G$ 考虑了压力梯度的影响（形状因子）；函数 $\Psi$ 反映了横向流动强度相对于顺流强度的比率；雷诺数效应通过 ${\mathrm{Re}}_V$ 体现。可以通过常数 $C_{RSF}$ 调整相关性。随着 $C_{RSF}$ 的增加，由横向流动不稳定性引起的转捩位置会向上游移动。

函数 $G$ 的计算方法如下：

$$g\left({\lambda }_{\theta L,CF}\right)=8.8{\lambda }_{\theta L,CF}^3-9.1{\lambda }_{\theta L,CF}^2+3.7{\lambda }_{\theta L,CF}+1.0$$

$$g\left({\lambda }_{\theta L,CF}\right)=\min \left[\max \left(g\left({\lambda }_{\theta L,CF}\right),1.0\right),2.3\right]$$

$$G\left({\lambda }_{\theta L,CF}\right)=0.684/g\left({\lambda }_{\theta L,CF}\right)$$

其中，${\lambda }_{\theta L,CF}$ 是一个局部变量，用于近似压力梯度参数，其定义与 ${\lambda }_{\theta L}$ 类似（参见公式4.197（第87页）和公式4.198（第87页））：

$${\lambda }_{\theta L,CF}=-0.1111\frac{dV}{dy}\frac{d_{w^2}}{v}+0.2555$$

$${\lambda }_{\theta L,CF}=\min \left[\max \left({\lambda }_{\theta L,CF},0\right),0.7\right]$$

交叉流指示函数 $\Psi$ 是一个无量纲的量，用于衡量局部横向流动强度相对于顺流强度的程度。它是基于壁面法向变化的标准化涡度矢量 ${\overrightarrow{e}}_{\omega }$ 计算得出的，该矢量作为速度剖面三维性的度量，对于二维流动其值为零。

$${\overrightarrow{e}}_{\omega }=\frac{\overrightarrow{\omega }}{\left|\overrightarrow{\omega }\right|}$$

$$\overrightarrow{\varphi }=\overrightarrow{n}\cdot \nabla {\overrightarrow{e}}_{\omega }$$

$$\Psi =\left|\overrightarrow{\varphi }\right|d_w$$

在这里，$\overrightarrow{\omega }$ 表示涡度矢量，而 $\overrightarrow{n}$ 则是壁面法向矢量。

指示函数 $\Psi$ 与流场角度的局部变化成正比，因此可作为整体横流强度的衡量标准。

考虑横流效应的触发函数定义如下：

$$F_{\text{onset },CF}=\min \left[\max \left[100\left(T_{\text{C1local }}-1\right),0\right],1\right].$$

在$\gamma$方程中的源项随后被触发，这一过程由间歇性转捩模型的主要触发函数$F_{\text{onset}}$（见公式4.196，第87页）或$F_{\text{onset,}CF}$决定——取两者中数值较大者。

$$F_{\text{onset }}=\max \left[F_{\text{onset }},F_{\text{onset },CF}\right]$$

在计算$F_{\mathrm{onset},CF}$时使用的100倍因子，旨在加速转捩过程。

模型常数的默认值如下：

$\begin{array}{c}{C}_{TU1}=100.0,C_{TU2}=1000.0,C_{TU3}=1.0,C_{PG1}=1.0,C_{PG2}=-0.5,C_{PG3}=0.0,C_{PG1}^{\lim }=1.5,C_{PG2}^{\lim }=3.0,\end{array}$

$$C_{SEP}=1.0,C_{RSF}=1.0$$

4.8.3 与其他模型的耦合

$\gamma$ 转捩模型与 BSL $k$ - $\omega$、SST $k$ - $\omega$、SAS（结合 BSL 或 SST）以及 DES（结合 BSL 或 SST）模型的耦合方式，与 $\gamma -{\mathrm{Re}}_{\theta }$ 转捩模型相似（参见《耦合转捩模型与 SST 输运方程》(第80页)）。

4.8.4 间歇性转捩模型与粗糙壁面

请注意，该相关性并未包含粗糙壁面的影响。若计划考虑粗糙壁面，建议切换至 $\gamma -{\mathrm{Re}}_{\theta }$ 转捩模型（即 Transition SST 模型）。