当选择伪时间方法时，会应用一种高级形式的隐式欠松弛，该方法根据流场行为在模拟过程中动态调整松弛因子。将伪时间方法引入通用输运方程后，控制方程的积分形式如下：

• 对于稳态计算：

$${\int }_V\frac{\partial \rho \varphi }{\partial \tau }dV+{\oint }_S\rho \varphi \overrightarrow{v}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{A}}={\oint }_S{\Gamma }_{\varphi }\nabla \varphi \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{A}}+{\int }_V{S}_{\varphi }dV\text{\hspace{1em}(23.99)}$$

• 对于瞬态计算：

$${\int }_V\frac{\partial \rho \varphi }{\partial t}dV+{\int }_V\frac{\partial \rho \varphi }{\partial \tau }dV+{\oint }_S\rho \varphi \overrightarrow{v}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{A}}={\oint }_S{\Gamma }_{\varphi }\nabla \varphi \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{A}}+{\int }_V{S}_{\varphi }dV\text{\hspace{1em}(23.100)}$$

其中，$\tau$ 表示伪时间。需要注意的是，当 $\tau \to \infty$ 时，伪时间项消失，方程恢复其原始形式。

在采用有限体积法对控制方程进行离散化后，得到了稳态方程的代数形式。

$${\rho }_p\Delta V\frac{{\varphi }_p-{\varphi }_p^{\text{old }}}{\Delta \tau }+a_p{\varphi }_p=\sum _{nb}{a}_{nb}{\varphi }_{nb}+b\text{\hspace{1em}(23.101)}$$

其中，${\varphi }_p^{\text{old }}$表示上一次迭代中${\varphi }_p$的值，而$\Delta \tau$是伪时间步长，可以使用局部或全局时间步长方法计算（如下文所述）。对于局部时间步长方法，方程23.101（第1004页）可直接扩展到瞬态流动情况。

要了解如何使用伪时间方法进行欠松弛计算，请参阅《使用伪时间方法进行计算》。

更多信息，请参见以下章节：

23.6.1. 局部时间步长方法

23.6.2. 全局时间步长方法

23.6.1 局部时间步长方法

伪时间方法的局部时间步长公式适用于使用基于压力的分离求解器（SIMPLE、SIMPLEC或PISO）的稳态和瞬态情况。Fluent根据您指定的伪时间库朗数和流动尺度[504]（第1086页）为域中的每个单元计算局部伪时间步长。除了伪时间方法隐含的欠松弛外，默认情况下还会对动量方程和其他输运方程应用隐式欠松弛。

有关应用局部时间步长方法的详细信息，请参阅用户指南中的《局部时间步长方法设置》。

23.6.2 全局时间步长方法

伪时间方法的全球时间步长公式仅适用于采用基于压力的耦合求解器或基于密度的隐式求解器的稳态情况。它为整个模拟域使用单一的伪时间步长。您可以选择指定伪时间步长大小，或者让Ansys Fluent自动计算；如果您指定的不是1的时间尺度因子，自动计算的值还可以进一步修改。Ansys Fluent允许您为流体域和以下固体域使用不同的时间步长大小：

• 固体区域

• 多孔区域

• 固化和熔化模型

自动时间步长计算如下：

• 流体时间尺度

流体区域的自动流体时间尺度$\left(\Delta {\tau }_{\text{fluid }}\right)$是使用不同时间尺度的最小值计算的：

$$\Delta {\tau }_{\text{fluid }}=\mathrm{Min}\left(\Delta {\tau }_{\mathrm{u}},\Delta {\tau }_{\mathrm{p}},\Delta {\tau }_{\mathrm{b}},\Delta {\tau }_{\mathrm{g}},\Delta {\tau }_{\mathrm{rot}},\Delta {\tau }_{\text{compress }}\right)\text{\hspace{1em}(23.102)}$$

其中，$\Delta {\tau }_{\mathrm{u}}$、$\Delta {\tau }_{\mathrm{p}}$、$\Delta {\tau }_{\mathrm{b}}$、$\Delta {\tau }_{\mathrm{g}}$、$\Delta {\tau }_{\mathrm{rot}}$ 和 $\Delta {\tau }_{\text{compress }}$ 分别代表对流、动态、浮力、重力、旋转和可压缩时间尺度。

根据问题的物理特性和上述时间尺度的适用性，它们可用于计算全局伪时间步长。每个时间尺度可以通过将一个代表性速度尺度除以一个代表性长度尺度 $L_{\mathrm{scale}}$ 来获得。

对流时间尺度 $\Delta {\tau }_{\mathrm{u}}$ 的计算公式为：

$$\Delta {\tau }_{\mathrm{u}}=\frac{0.3L_{\text{scale }}}{\mathrm{Max}\left(0.1U_{\mathrm{bc}},U_{\text{domain }}\right)}\text{\hspace{1em}(23.103)}$$

其中，速度 $U_{\mathrm{bc}}$ 是域边界面上速度算术平均值的最大值，而 $U_{\text{domain}}$ 是域内单元上速度的算术平均值。对于 VOF 和混合模型，平均速度仅使用界面单元中的速度进行计算。

动态时间尺度 $\Delta {\tau }_{\mathrm{p}}$ 计算如下：

$$\Delta {\tau }_{\mathrm{p}}=\frac{0.3L_{\mathrm{scale}}}{U_{\Delta P}}\text{\hspace{1em}(23.104)}$$

速度尺度 $U_{\Delta P}$ 是基于开放边界处的压力差，例如压力入口、压力出口或速度入口，并由以下公式定义：

$$U_{\Delta P}=0.1\sqrt{\frac{\left(P_{\mathrm{bc},\max }-P_{\mathrm{bc},\min }\right)}{{\bar{\rho }}_{\mathrm{cells}}}}\text{\hspace{1em}(23.105)}$$

其中，$P_{\mathrm{bc},\max }$ 表示开边界处的最大压力值，$P_{\mathrm{bc},\min }$ 表示开边界处的最小压力值，而 ${\bar{\rho }}_{\text{cells }}$ 则是整个计算域内的平均密度。

在使用Boussinesq浮力模型时，浮力时间尺度 $\Delta {\tau }_{\mathrm{b}}$ 的计算方式如下：

$$\Delta {\tau }_{\mathrm{b}}=\sqrt{\frac{L_{\text{scale }}}{g\beta \left(T_{\max }-T_{\min }\right)}}\text{\hspace{1em}(23.106)}$$

其中，$g$ 表示重力矢量的大小（即，$g=\left|\overrightarrow{g}\right|$），$\beta$ 是热膨胀系数，而 $T_{\max }$ 和 $T_{\min }$ 分别代表最高和最低温度。

对于完整的（非Boussinesq）浮力模型，重力时间尺度 $\Delta {\tau }_{\mathrm{g}}$ 的计算公式为：

$$\Delta {\tau }_{\mathrm{g}}=\sqrt{\frac{\rho L_{\text{scale }}}{g\left({\rho }_{\max }-{\rho }_{\min }\right)}}\text{\hspace{1em}(23.107)}$$

在存在旋转速度的情况下，旋转时间尺度 $\Delta {\tau }_{\text{rot }}$ 的计算方式如下：其中 ${\rho }_{\max }$ 和 ${\rho }_{\min }$ 分别代表混合物的最大和最小密度，而 $\rho$ 则是各相密度的平均值。

$$\Delta {\tau }_{\mathrm{rot}}=\frac{0.1}{{\omega }_{\max }}\text{\hspace{1em}(23.108)}$$

其中，${\omega }_{\max }$ 表示角速度矢量幅度的最大值（即，${\omega }_{\max }=\mathrm{Max}\left(\left|\overrightarrow{\omega }\right|\right)$）。

若模拟马赫数 $M$ 大于 0.3，则可压缩时间尺度 $\Delta {\tau }_{\mathrm{compress}}$ 通过以下公式获得：

$$\Delta {\tau }_{\mathrm{compress}}=\frac{0.3L_{\mathrm{scale}}}{\bar{c}}\text{\hspace{1em}(23.109)}$$

模拟马赫数 $M$ 的计算方法如下：

$$M=\frac{\mathrm{Max}\left(0.1U_{\mathrm{bc}},U_{\mathrm{domain}},U_{\Delta P}\right)}{\bar{c}}\text{\hspace{1em}(23.110)}$$

其中，$\bar{c}$ 表示所有单元中声速的平均值。

有两种长度尺度计算方法可供选择：激进法和保守法。如果采用激进长度尺度方法，那么在前述所有方程中，长度尺度的定义为

$$L_{\text{scale }}=\mathrm{Max}\left(L_{\mathrm{vol}},L_{\mathrm{ext}}\right)\text{\hspace{1em}(23.111)}$$

另一方面，如果采用保守的长度尺度方法，那么长度尺度就被定义为

$$L_{\text{scale }}=\mathrm{Min}\left(L_{\mathrm{vol}},L_{\mathrm{ext}}\right)\text{\hspace{1em}(23.112)}$$

体积长度尺度定义如下：

$$L_{\mathrm{vol}}=\sqrt[3]{V}\text{\hspace{1em}(23.113)}$$

并且域的长度尺度定义为

$$L_{\mathrm{ext}}=\mathrm{Max}\left(L_x,L_y,L_z\right)\text{\hspace{1em}(23.114)}$$

• 固体时间尺度

对于固体区域、多孔介质区域以及凝固和熔化模型，自动设定的固体时间尺度默认为无穷大（1e20秒）；然而，通过调整固体区域的时间尺度因子，这一数值可以被减小。

有关全局时间步长方法中自动时间步长的应用细节，请参阅用户指南中的“全局时间步长方法设置”部分。