流体-流体曳力系数

Simcenter STAR-CCM+ 提供了各种曳力系数法。

适用于球形颗粒的 Schiller-Naumann 曳力系数

Simcenter STAR-CCM+ 根据连续流体的类型在内部选择 Schiller-Naumann 拖曳法。

对于牛顿流体，球形刚性颗粒的曳力系数根据 Schiller 和 Naumann 的研究 [543] 中的相关性计算：

$$C_D=\{\begin{array}{c}\frac{24}{{\text{Re}}_d}(1+0.15{\text{Re}}_d^{0.687})\text{ 0}<{\text{Re}}_d\le 1000\\ 0.44{\text{Re}}_d>1000\end{array}$$

(1946)

离散相雷诺数 ${\text{Re}}_d$ 定义为：

$${\text{Re}}_d=\frac{{\rho }_c\left|{\mathbf{\text{v}}}_r\right|l}{{\mu }_c}$$

(1947)

其中：

• ${\rho }_c$ 为连续相的密度
• ${\mu }_c$ 为连续相的动力粘度
• $l$ 为相互作用长度尺度或气泡尺寸。

使用非牛顿 Herschel–Bulkley 连续相的 Schiller-Naumann

如果连续相为非牛顿，则需要修正 Schiller-Naumann 曳力。 根据 [429]，Herschel–Bulkley（或幂次定律）连续相中的球形刚性颗粒的曳力系数为：

$$C_D=\frac{24}{{\text{Re}}_{HB}}(1+0.15{\text{Re}}_{HB}^{0.687})$$

(1948)

离散相雷诺数 ${\text{Re}}_{HB}$ 定义为：

$${\text{Re}}_{HB}=\frac{{\text{Re}}_{PL}}{1+\frac{7\pi }{24}{\text{Bi}}_{HB}}$$

(1949)

颗粒宾汉数 ${\text{Bi}}_{HB}$ 定义为：

$${\text{Bi}}_{HB}=\frac{{\tau }_0}{K}{\left(\frac{d}{\left|{\mathbf{\text{v}}}_r\right|}\right)}^n$$

(1950)

幂次定律雷诺数为：

$${\text{Re}}_{PL}=\frac{{\rho }_c{\left|{\mathbf{\text{v}}}_r\right|}^{2-n}{d}^n}{K}$$

(1951)

其中：

• ${\tau }_0$ 为屈服应力
• $K$ 为一致性因子
• $n$ 为模型的幂次定律分量
• $\left|{\mathbf{\text{v}}}_r\right|$ 为相间相对滑移速度
• $d$ 为颗粒直径。

使用非牛顿广义 Carreau-Yasuda 连续相的 Schiller-Naumann

如果连续相为非牛顿，则 Carreau-Yasuda 连续相中的球形刚性颗粒的曳力系数为：

$$C_D=\frac{24}{{\text{Re}}_{HB}}(1+0.15{\text{Re}}_0^{0.687})(1+0.65\left(n-1\right){\lambda }^{0.20})$$

(1952)

其中， $n$ 和 $\lambda$ 为 Carreau 模型 [440] 中的参数。

${\text{Re}}_0$ 为使用流体的零剪切粘度的零剪切颗粒雷诺数：

$${\text{Re}}_0=\frac{{\rho }_c\left|{\mathbf{\text{v}}}_r\right|d}{{\mu }_0}$$

(1953)

其中：

• ${\mu }_0$ 为连续相的零剪切粘度
• $d$ 为相互作用长度尺度或气泡尺寸
• ${\rho }_c$ 为连续相的密度
• $\left|{\mathbf{\text{v}}}_r\right|$ 为相间相对速度的幅值。

Rusche-Issa 曳力系数

Rusche-Issa 曳力系数适用于离散相体积分数变高时。 为了考虑会增加曳力的更多颗粒的存在，Rusche 和 Issa 建立了一个曳力校正项，它在离散相体积分数为零时等于 1，之后呈指数增长 [537]。

$$f\left({\alpha }_d\right)=e^{K_1{\alpha }_d}+{\alpha }_d^{K_2}$$

(1954)

Rusche-Issa 拖曳法使用线性化 Schiller-Naumann 形式并结合了 Rusche-Issa 校正。

Rusche [536] 研究了针对气体、液体和固体颗粒离散相的学术文献中的一系列实验，发现了可拟合曳力系数的相关性 [538]。 实验平均值给出的参数汇总如下：

离散相	气泡	液滴	固体颗粒
K1	3.64	2.10	2.68
K2	0.864	0.249	0.430

对称曳力系数

对称曳力系数给出的线性化系数为：

$$A_{cd}^D=\frac{3}{4}{C}_D\frac{{\alpha }_c{\alpha }_d({\alpha }_c{\rho }_c+{\alpha }_d{\rho }_d)}{({\alpha }_c{l}_c+{\alpha }_d{l}_d)}\left|{\mathbf{\text{v}}}_r\right|$$

(1955)

其中：

$l_c$ 为相互作用长度尺度

$l_d$ 为反转拓扑长度尺度

$$C_D=\{\begin{array}{cc}\frac{24}{R{e}_{cd}}(1+0.15R{e}_{cd}^{0.687})& 0<R{e}_{cd}\le 1000\\ 0.44& R{e}_{cd}>1000\end{array}$$

(1956)

并且，

$$R{e}_{cd}=\frac{({\alpha }_c{\rho }_c+{\alpha }_d{\rho }_d)({\alpha }_c{l}_c+{\alpha }_d{l}_d)\left|{\mathbf{\text{v}}}_r\right|}{({\alpha }_c{\mu }_c+{\alpha }_d{\mu }_d)({\alpha }_c+{\alpha }_d)}$$

(1957)

气泡的 Bozzano-Dente 曳力系数

此相关性使用单个表达式涵盖了范围广泛的各种气泡流态，并考虑了不同的气泡形状。 它是针对重力作用下单个气泡在液柱中上升的情况开发的。 它将 Eotvos 数和 Morton 数均考虑在内，因此可应用于高粘性系统，例如甘油、熔融态玻璃和一些油类。

它还可用于低压和高压水系统。

注	对于小气泡，与通常与污水或纯净水系统（Re/24 或 Re/16）关联的值相比，此相关性为曳力系数提供了不同的渐近线 (Re/48)。

对于根据 Bozzano 和 Dente 的 [436] 获得的此模型，曳力系数为：

$$C_D=f{\left(\frac{a}{R_0}\right)}^2$$

(1958)

其中， $f$ 为摩擦因子， ${(a/R_0)}^2$ 为变形因子。 这些物理量推导如下

$$f=\left(\frac{48}{\text{Re}}\right)\frac{1+12{\text{Mo}}^{1/3}}{1+36{\text{Mo}}^{1/3}}+0.9\frac{{\text{Eo}}^{3/2}}{1.4(1+30{\text{Mo}}^{1/6})+{\text{Eo}}^{3/2}}$$

(1959)

且

$${\left(\frac{a}{R_0}\right)}^2\cong \frac{10(1+1.3{\text{Mo}}^{1/6})+3.1\text{Eo}}{10(1+1.3{\text{Mo}}^{1/6})+\text{Eo}}$$

(1960)

其中， $\text{Re}$ 为雷诺数， $\text{Mo}$ 为 Morton 数， $\text{Eo}$ 为 Eotvos 数。

$$\text{Re}=\frac{{\rho }_c\left|{\mathbf{\text{v}}}_r\right|l}{{\mu }_c}$$

(1961)

$$\text{Eo}=\frac{\left|{\rho }_c-{\rho }_d\right|g{l}^2}{\sigma }$$

(1962)

$$\text{Mo}=\frac{\left|{\rho }_c-{\rho }_d\right|{g\mu }_c^4}{{\rho }_c{\rho }_d{\sigma }^3}$$

(1963)

• ${\rho }_c$ 和 ${\mu }_c$ 为连续相的密度和动力粘度
• ${\rho }_d$ 为离散相的密度
• $\left|{\mathbf{\text{v}}}_r\right|$ 为相间相对速度的幅值
• $l$ 为相互作用长度尺度或气泡尺寸
• $g$ 为重力加速度
• $\sigma$ 为表面张力。

液滴的 Hamard 和 Rybczynski 曳力系数

Hamard 和 Rybczynski 曳力模型用于在第二种不混溶粘性牛顿流体中离散的粘性牛顿流体液滴。 根据 [440]，曳力系数为：

$$C_D=\frac{24}{\text{Re}}Y$$

(1964)

其中：

$\text{Re}$ 为颗粒雷诺数

其中：

$$Y=\frac{2+3X_E}{3+3X_E}$$

(1965)

$$X_E=\frac{{\mu }_d}{{\mu }_c}$$

(1966)

其中， ${\mu }_c$ 为连续相的动力粘度， ${\mu }_d$ 为离散相的动力粘度。

对于气泡， $X_E«1$ 且 $Y\to 2/3$ 。 对于固体颗粒， $Y\to 1$ 。

Hamard 和 Rybczynski 曳力模型不适用于高雷诺数，此时使用 Schiller-Naumann 模型的精度会更高。

气泡的 Tomiyama 曳力系数

Tomiyama 相关性适用于满足一系列条件的系统，对其有效的 Eotvos ( $\text{Eo}$ )、Morton ( $M\text{o}$ ) 和雷诺 ( $\text{Re}$ ) 数范围如下所示：

$$\begin{array}{c}{10}^{-2}<Eo<{10}^3\\ {10}^{-14}<Mo<{10}^7\\ {10}^{-3}<Re<{10}^5\end{array}$$

(1967)

通过 [557] 为单个气泡计算的、基于三种污染状态的曳力系数如下：

• 纯：

$$C_D=\text{max}[\text{min}(\frac{16}{\text{Re}}(1+0.15{\text{Re}}^{0.687}),\frac{48}{\text{Re}}),\frac{8\text{Eo}}{3(\text{Eo}+4)}]$$

(1968)

• 中度：

$$C_D=\text{max}[\text{min}(\frac{24}{\text{Re}}(1+0.15{\text{Re}}^{0.687}),\frac{72}{\text{Re}}),\frac{8\text{Eo}}{3(\text{Eo}+4)}]$$

(1969)

• 已污染：

$$C_D=\text{max}[\left(\frac{24}{\text{Re}}(1+0.15{\text{Re}}^{0.687})\right),\frac{8\text{Eo}}{3(\text{Eo}+4)}]$$

(1970)

其中， $\text{Re}$ 为雷诺数， $\text{Eo}$ 为 Eotvos 数。

$$\text{Re}=\frac{{\rho }_c\left|{\mathbf{\text{v}}}_r\right|l}{{\mu }_c}$$

(1971)

$$\text{Eo}=\frac{\left|{\rho }_c-{\rho }_d\right|g{l}^2}{\sigma }$$

(1972)

• ${\rho }_c$ 为连续相的密度
• ${\mu }_c$ 为连续相的动力粘度
• ${\rho }_d$ 为离散相的密度
• $\left|{\mathbf{\text{v}}}_r\right|$ 为相间相对速度的幅值
• $l$ 为相互作用长度尺度或气泡尺寸
• $g$ 为重力加速度
• $\sigma$ 为表面张力。

Tomiyama 曳力系数是 Tomiyama 等人的 [558] 在计算其升力系数时使用的。 因此，需要将 Tomiyama 升力系数与 Tomiyama 曳力系数一同使用。

气泡的 Wang 曳力系数

此模型适用于在接近大气压力下水中的气泡浓度。 在其他条件下需谨慎使用。

气泡将发生变形并偏离球体形状。 使用 Wang 等人的 [567] 中的经验相关性可获得更真实的值。 对于在水中上升的单个气泡，相关性是使用曲线拟合测量推导的：

$$C_D=e^{[a+b\ln {\text{Re}}_d+c{\left(\ln {\text{Re}}_d\right)}^2]}$$

(1973)

其中， ${\text{Re}}_d$ 为离散相雷诺数。

下表中给出了原始系数。

${\mathbf{\text{Re}}}_d$	$\mathbf{\text{a}}$	$\mathbf{\text{b}}$	$\mathbf{\text{c}}$
${\mathbf{\text{Re}}}_d\le 1$	$\ln 24$	$-1$	$0$
$1<{\mathbf{\text{Re}}}_d\le 450$	$2.699467$	$-0.33581596$	$-0.07135617$
$450<{\mathbf{\text{Re}}}_d\le 4000$	$-51.77171$	$13.1670725$	$-0.8235592$
${\mathbf{\text{Re}}}_d>4000$	$\ln (8/3)$	$0$	$0$

Simcenter STAR-CCM+ 实施已在 Wang 原始方法 [567] 的基础上进行了修正，使得曳力系数在颗粒雷诺数变化时为连续的。 这对于尽可能减小颗粒直径可变的应用中可达到的残差至关重要，且修正后的方法确保了在使用松弛因子正常值的条件下可靠收敛。

修正内容包括：

• 上表中的前两个 Re 流态之间的断点已从 Re=1 移至 Re=2.197115。
• 上表中的后两个 Re 流态已替换为：

$$C_D=\frac{8}{3}\frac{{\text{Eo}}_{AW}}{{\text{Eo}}_{AW}+4}$$

(1974)

为了与原始 Wang 曲线拟合尽量相等，需要使用在 293K 温度下修订的水和空气属性，根据气泡直径 $d$ 计算 Eotvos 数。

$${\text{Eo}}_{AW}=\frac{\left({\rho }_W-{\rho }_A\right)g{d}^2}{{\sigma }_{AW}}$$

(1975)

• ${\rho }_W$ 为 998.20 kg/m³。
• ${\rho }_A$ 为 1.2069 kg/m³。
• $g$ 为 9.81 m/s²。
• ${\sigma }_{AW}$ 为 0.072736 N/m。

Štrubelj 和 Tiselj 交界面曳力系数

对于中间区，将改写 Štrubelj 和 Tiselj [549] 的方法来计算交界面线性化曳力系数：

$$\begin{array}{ccc}{A}_{D,ir}=f_{ir}{\alpha }_p{\alpha }_s{\rho }_m& {\rho }_m={\alpha }_p{\rho }_p+{\alpha }_s{\rho }_s& f_{ir}=1/t_{sc}\end{array}$$

(1976)

• 松弛时间尺度 t_sc 的默认值将采用 0.01 秒。
• 减小松弛时间尺度有助于这两相的速度的瞬时平衡，因为它会导致中间区中的曳力提高。
• 通过提高中间区中的曳力，可减少该区域中的滑移。

混合交界面曳力系数

混合方法通过混合中间区任意侧上的离散流态的曳力，计算中间区曳力。 此方法适用于中间区中未定义明确的分隔交界面的情况。

在中间区中，线性化曳力 ( $A_d$ ) 计算如下：

$$A_{d,ir}={\alpha }_p{A}_{d,fr}+{\alpha }_s{A}_{d,sr}$$

(1977)

其中，下标 $fr$ 、 $ir$ 和 $sr$ 分别用于第一区、中间区和第二区。