混合多相流 (MMP)

混合多相流 (MMP) 模型假设相易混溶。可用于对离散多相流（如气泡和液滴流体）进行建模。典型应用包括燃料电池、锅炉和蒸汽轮机。模拟在气体中离散的液滴时，混合多相流 (MMP) 模型将考虑蒸发和冷凝。

混合多相流 (MMP) 模型通过将相混合物的质量、动量和能量的输运方程作为一个整体进行求解（而不是对每个相分别求解）来对液相建模。要计算相的分布，对每个相的体积分数传输方程求解。对于以不同的速度移动的相，可使用代数关系计算相对速度。

体积分数传输方程

体积分数根据以下守恒方程进行传输：

$$\frac{\partial }{\partial t}{\int }_V{\alpha }_{i}dV+{\int }_A{\alpha }_i{\mathbf{v}}_m\cdot da={\int }_V(S_{u,i}-\frac{{\alpha }_i}{{\rho }_i}\frac{D{\rho }_i}{Dt})dV+\underset{\mathrm{Turbulent}\mathrm{Term}}{\underbrace{{\int }_A\frac{{\mu }_t}{{\sigma }_t{\rho }_m}\nabla {\alpha }_i\cdot da}}-\underset{\mathrm{Slip}\mathrm{Velocity}\mathrm{Term}}{\underbrace{\underset{V}{\int }\frac{1}{{\rho }_i}\nabla \cdot \left({\alpha }_i{\rho }_i{\mathbf{v}}_{d,i}\right)}}dV$$

(2875)

其中：

• $t$ 为时间
• $V$ 为体积
• ${\alpha }_i$ 为以下相的体积分数： $i$
• $v_m$ 为质量平均速度
• $a$ 为表面积矢量
• $S_{u,i}$ 为以下相的用户自定义源项： $i$
• ${\rho }_i$ 为以下相的密度： $i$
• ${\mu }_t$ 为湍流动力粘度
• ${\sigma }_t$ 为湍流施密特数
• $v_{d,i}$ 为扩散速度

对于层流，湍流项设为零。

要阐明湍流扩散项，确切的项为：

$\frac{{\mu }_t}{{\rho }_i{\sigma }_t}\nabla Y_i=\frac{{\mu }_t}{{\rho }_i{\sigma }_t}\nabla \left(\frac{{\rho }_i}{{\rho }_m}{\alpha }_i\right)=\frac{{\mu }_t}{{\rho }_i{\sigma }_t}\left(\frac{{\rho }_i}{{\rho }_m}\nabla {\alpha }_i+{\alpha }_i\nabla \left(\frac{{\rho }_i}{{\rho }_m}\right)\right)$

其中，$Y_i={\alpha }_i{\rho }_i/{\rho }_m$ 为相 $i$ 的质量分数。

但是，第二个组分可以忽略，因为通常：

$|\frac{{\rho }_i}{{\rho }_m}\nabla {\alpha }_i|\gg \left|{\alpha }_i\nabla \left(\frac{{\rho }_i}{{\rho }_m}\right)\right|$

忽略第二个组分会得出 Eqn. (2875) 中给定的湍流扩散项。

连续性方程

相混合物的质量守恒由以下公式给出：

$$\frac{\partial }{\partial t}{\int }_V^{}{\rho }_m\mathrm{dV}+{\int }_A^{}{\rho }_m{\mathbf{\text{v}}}_m\cdot da={\int }_V^{}{S}_u\mathrm{dV}$$

(2876)

其中：

• ${\rho }_m$ 为混合物的密度
• $S_u$ 为用户自定义质量源项

动量方程

相混合物的动量平衡由以下公式给出：

$$\frac{\partial }{\partial t}{\int }_V^{}{\rho }_m{\mathbf{\text{v}}}_m\mathrm{dV}+{\int }_A^{}{\rho }_m{\mathbf{\text{v}}}_m\otimes {\mathbf{\text{v}}}_m\cdot da=-{\int }_A^{}p\mathbf{\text{I}}\cdot da+{\int }_A^{}{T}_m\cdot da+{\int }_V^{}{\mathbf{\text{f}}}_b\mathrm{dV}+{\int }_V^{}{s}_u\mathrm{dV}-\underset{\mathrm{Slip}\mathrm{Velocity}\mathrm{Term}}{\underbrace{\sum _i{\int }_A{\alpha }_i{\rho }_i{\mathbf{v}}_{d,i}\otimes {\mathbf{v}}_{d,i}\cdot da}}$$

(2877)

其中：

• $I$ 为单位张量
• $p$ 为压力
• $T_m$ 为粘性应力张量
• $f_b$ 为体积力矢量
• $s_u$ 为用户自定义动量源项

应力张量 $T_m$ 估算如下：

$$T_m={\mu }_{\mathrm{eff}}\left[(\nabla {\mathbf{\text{v}}}_m+{(\nabla v_m)}^T)-\frac{2}{3}\left(\nabla \cdot {\mathbf{\text{v}}}_m\right)\mathbf{\text{I}}\right]$$

(2878)

其中， ${\mu }_{\mathrm{eff}}$ 为有效粘度。

能量方程

相混合物模型的能量方程为：

$$\frac{\partial }{\partial t}{\int }_V^{}{\rho }_m{E}_m\mathrm{dV}+{\int }_A^{}({\rho }_m{H}_m{\mathbf{\text{v}}}_m+\underset{\mathrm{Slip}\mathrm{Velocity}\mathrm{Term}}{\underbrace{\sum _i{\alpha }_i{\rho }_i{H}_i{\mathbf{v}}_{d,i}}})\cdot da=-{\int }_A^{}\dot{\mathbf{\text{q}}}\cdot da+{\int }_A^{}{T}_m\cdot {\mathbf{\text{v}}}_m\cdot da+{\int }_V^{}({\mathbf{\text{f}}}_b\cdot {\mathbf{\text{v}}}_m+S_u)\mathrm{dV}$$

(2879)

其中：

• $E_m$ 为混合物的总能量
• $H_m$ 为混合物的总焓
• $\dot{q}$ 为热通量矢量
• $S_u$ 为用户自定义能量源项

混合物的总能量 $E_m$ 和总焓 $H_m$ 定义为：

$$E_m=H_m-\frac{p}{{\rho }_m}$$

(2880)

$$H_m=h_m+\frac{{\left|{\mathbf{\text{v}}}_m\right|}^2}{2}$$

(2881)

其中， $h_m$ 为特定于混合物的静焓。

Eqn. (2875)、Eqn. (2877) 和 Eqn. (2879) 中包含扩散速度 $v_{d,i}$ 的项源于相间滑移。请参见相滑移。