标量、矢量和张量

Simcenter STAR-CCM+ 中的大多数物理量都是标量、矢量或二阶张量。

标量: 标量是完全由其幅值定义的物理量。; 例如，特定时间点和空间点处的温度完全由维数定义，例如， $T = - 273 ° C$ 。; 通常，标量的值可能取决于其他变量，如空间和时间。在这种情况下，可以使用标量函数描述值在不同位置和时间的标量场。
矢量: 矢量是完全由其幅值和方向定义的物理量。例如，电场和速度为矢量。; 矢量可以几何方式表示为箭头，用于定义矢量方向，其中箭头的长度表示矢量幅值。; 与标量一样，矢量的幅值和方向可能取决于其他变量，如空间和时间。在这种情况下，可以使用矢量函数描述矢量。
张量: 张量是完全由其在不同作用面上的幅值和方向定义的物理量。例如，应力和应变为张量。与标量和矢量一样，张量可能取决于其他变量，如空间和时间。在这种情况下，可以使用张量函数描述张量。

矢量和张量表示

由于矢量和张量是方向物理量，因此相对于坐标系定义这些物理量十分方便（请参见坐标系）。

在 3D 欧几里德空间中，矢量 $a$ 可以写为：

图 1. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} a = \end{matrix} a_{i} e_{i}

(5184)

其中，

\begin{matrix} e_{i} & i = 1, 2, 3 \end{matrix}

为坐标系中的基矢量（例如，笛卡尔坐标系的单位矢量

i, j, k

），

\begin{matrix} a_{i} \end{matrix}

为

a

相对于基矢量的分量。

此公式使用爱因斯坦求和约定，这意味着对一组重复指数求和：

图 2. EQUATION_DISPLAY

a_{i} e_{i} \equiv \sum_{i = 1}^{3} a_{i} e_{i} = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3}

(5185)

同样，二阶张量 $A$ 可以写为：

图 3. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} A = \end{matrix} A_{i j} e_{i} \otimes e_{j}

(5186)

其中， $e_{i} \otimes e_{j}$ 为基矢量之间的双积或张量积（请参见 Eqn. (5196)）。

Eqn. (5184) 和 Eqn. (5186) 采用指数记数法，也称为张量记数法。标识张量分量所需的指数数量定义了张量的阶数。实际上，可以将标量和矢量分别视为 0 阶和 1 阶张量。

对于张量分量

A_{i j}

，第一个指数标识分量的作用面，而第二个指数标识方向。例如，以笛卡尔坐标系

X, Y, Z

中的应力张量分量

σ_{i j}

为例：

分量 $σ_{x x}$ 标识 $X$ 方向上作用于垂直于 $X$ 轴的平面（即，平面 $Y Z$ ）的应力分量。分量 $σ_{z y}$ 标识 $Y$ 方向上作用于垂直于 $Z$ 轴的平面（即，平面 $X Y$ ）的应力分量。

方便记数法指相对于矢量基将矢量和张量的分量表示为矩阵。在矩阵表示中，会隐含基矢量。

在 3D 欧几里德空间中，矢量 $a$ 的分量可以表示为长度为 3 的一维组分表：

图 4. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} a = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \end{matrix}

(5187)

称为 $a$ 的列矢量表示。还可以使用行矢量表示来定义矢量 $a$ ：

图 5. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} a = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix}) \end{matrix}

(5188)

选择使用行还是列表示纯粹由习惯决定。可通过定义行和列表示，将两个矢量之间的标量积和双积写为矩阵积（请参见常见运算）。

在 3D 欧几里德空间中，二阶张量 $A$ 的分量可以表示为 3x3 矩阵：

图 6. EQUATION_DISPLAY

A = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix})

(5189)

张量可以定义为协变或逆变，具体取决于其分量如何随坐标系的更改而转换。此形式化描述超出了本概述的目的。