湍流耗散

相浓度中再分布不均匀的湍流效应通过相动量方程中的额外湍流耗散力进行建模。将雷诺平均应用于瞬时曳力时，该项自然会出现。

有关简单推导和其他参考，请参见曳力对湍流耗散的贡献。对于合适的闭包，该项采用以下形式：

图 1. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} {F_{i j}}^{T D} = A_{D} v_{T D} \\ v_{T D} = D_{T D} \cdot {\frac{\nabla α_{d}}{α_{d}} - \frac{\nabla α_{c}}{α_{c}}} \end{matrix}

(2022)

其中：

${F_{i j}}^{T D}$ 为因离散相 $j$ 而应用到连续相 $i$ 动量方程的单位体积力。
$v_{T D}$ 为因使用相速度的加权体积分数定义而产生的相对漂移速度。
或者， $v_{T D}$ 可以写为：

图 2. EQUATION_DISPLAY

v_{T D} = D_{T D} \cdot {\nabla ln (α_{d}) - \nabla ln (α_{c})}

(2023)

对数形式在同位网格上更易于离散，因此默认使用此格式。此格式可用于模拟在分离或沸腾/冷凝过程可能会在临近网格单元中产生多种不同数量级的体积分数的流体。

通常，张量扩散率系数 $D_{T D}$ 根据连续相湍流扩散率进行各向同性近似：

图 3. EQUATION_DISPLAY

D_{T D} = C_{0} \frac{{ν_{c}}^{t}}{σ_{α}} I

(2024)

其中：

${ν_{c}}^{t}$ 为连续相湍流运动粘度。
$σ_{α}$ 为体积分数的湍流普朗特数。在下一节中更为详细地介绍了该项。
常数 $C_{0}$ 不是模型推导的一部分，但默认值为 1，可以改变它来测试求解对此项的灵敏度。
$I$ 为单位矩阵。

对连续相的雷诺应力张量 $R_{c}$ 建模时，还可以使用各向异性近似：

图 4. EQUATION_DISPLAY

D_{T D} = C_{0} \frac{3}{2} \frac{C_{μ}}{σ_{α}} \frac{k_{c}}{ε_{c}} R_{c}

(2025)

替代耗散系数模型之间的本质区别可以概括为有效湍流普朗特数

σ_{α}

，而不是为张量扩散率

D_{T D}

选择模型。此数字表示动量扩散率与因连续相速度波动而引起的体积分数扩散率之比。

注	对于能量（温度）的湍流扩散，此比率称为湍流普朗特数；对于浓度的湍流扩散，此比率称为湍流施密特数。由于没有针对常规变量的约定，此处的首选项是将该物理量命名为湍流普朗特数。

有四个建模选项适用于湍流普朗特数：

常数，与被动标量一样，默认值为 1
用户指定的表达式
陈氏湍流耗散系数，建议用于小颗粒或气泡
惯性湍流耗散系数，建议用于大颗粒或气泡

对于多流态相间相互作用，湍流耗散力计算如下：

图 5. EQUATION_DISPLAY

F^{T D} = (W_{f r} \frac{A_{D, f r} v_{p}^{t}}{σ_{p}} + W_{i r} \frac{A_{D, i r} v_{i r}^{t}}{σ_{i r}} + W_{s r} \frac{A_{D, s r} v_{s}^{t}}{σ_{s}}) (\frac{\nabla α_{s}}{α_{s}} - \frac{\nabla α_{p}}{α_{p}})

(2026)

其中：

$\begin{matrix} v_{p}^{t} 、 & v_{i r}^{t} 和 & v_{s}^{t} \end{matrix}$ 分别为主相、中间流态和次相湍流运动粘度。
$\begin{matrix} σ_{p} 、 & σ_{i r} 和 & {\begin{matrix} σ \end{matrix}}_{s} \end{matrix}$ 分别为主相、中间流态和次相湍流普朗特数。

陈氏湍流耗散系数

Thai-Van 等人 [555] 针对颗粒的有效湍流扩散率提出了一个模型。这基于 Simonin 对稳态均匀湍流颗粒行为的陈氏分析的扩展。

此模型表示为湍流耗散力项的有效湍流普朗特数，如下所示：

图 6. EQUATION_DISPLAY

σ_{α} = σ_{0} \sqrt{1 + C_{β} ξ^{2}} \frac{1 + η}{b + η}

(2027)

其中：

$σ_{0}$ 为未修正的湍流普朗特数，假设为 1，表示基本被动扩散率。
$C_{β}$ 为轨线交叉效应的标定系数。
$ξ$ 为按湍流波动速度进行比例缩放的颗粒滑移速度。
$η$ 为按颗粒松弛时间进行比例缩放的颗粒-涡相互作用时间。
$b$ 为颗粒运动方程中的连续/离散加速度项的系数之比。

有关更多详细信息，请参见陈氏封闭。

在此模型中，高速交叉 ( $ξ » 1$ ) 的整体效果是通过增加有效湍流普朗特数来减少相关性和耗散。

对于相互作用时间合适的气泡流（相密度 $ρ_{d} « ρ_{c}$ ），此模型中的虚拟质量效应可能是最多按因子 1.5 增加耗散。

惯性湍流耗散系数

如果颗粒大于内部湍流尺度，则它们具有相当大比重的波动动能，颗粒-颗粒相互作用是一个十分重要的能量再分布机制。最好将高颗粒浓度的气体颗粒流建模为颗粒流，但是对于更稀的颗粒浓度（ $α_{d}$ 大约介于 1% 和 10% 之间），通常可以通过湍流耗散惯性校正来获得有用的结果。

重颗粒惯性耗散的有效湍流普朗特数建模为：

图 7. EQUATION_DISPLAY

σ_{α} = \frac{σ_{0}}{(1 + \frac{τ_{R}}{τ_{T}}) (1 + \frac{ρ_{c} C_{V M}}{ρ_{d} + ρ_{c} C_{V M}})}

(2028)

其中：

$σ_{0}$ 为未修正的湍流普朗特数，假设为 1，表示基本被动扩散率。
$τ_{R}$ 为颗粒松弛时间：

图 8. EQUATION_DISPLAY

τ_{R} = \frac{ρ_{d} α_{d}}{{A^{D}}_{c d}} (1 + \frac{ρ_{c}}{ρ_{d}} C_{V M})

(2029)

$τ_{T}$ 为涡流通时间：

图 9. EQUATION_DISPLAY

τ_{T} = C_{μ} \frac{k_{c}}{ε_{c}}

(2030)

$C_{V M}$ 为颗粒响应的虚拟质量系数，如果已激活用于模拟加速平均流，则从虚拟质量力模型中提取该项，否则假设常数值为 0.5。

Eqn. (2028) 分母中的第一个因子计算颗粒松弛延长时间 ( $τ_{R} » τ_{T}$ )，而第二个因子源自虚拟质量力（有关详细信息，请参见虚拟质量对湍流耗散的贡献）。该模型的整体效果是通过减少有效湍流普朗特数来增加耗散。