欧拉多相流 (EMP)

Simcenter STAR-CCM+ 中称为欧拉多相流 (EMP) 模型且最初开发主要由核工业推动的双流体模型通常用于离散流体建模。

欧拉多相流 (EMP) 模型将每个相视为互穿连续体。该模型在所有相共用一个压力场时对每个相的质量、动量和能量传输方程进行求解。输运方程的欧拉平均 [480] [566] [454] 导致各相间发生额外的相互作用。这些相互作用需要封闭模型，如曳力、升力、相间热传递等。

体积分数

每个相在流体域中所占的比例由其体积分数给出。

相 $i$ 的体积由以下公式给出：

图 1. EQUATION_DISPLAY

V_{i} = \int_{V} α_{i} d V

(1902)

其中， $α_{i}$ 为相 $i$ 的体积分数。每个欧拉相的体积分数必须满足以下要求：

图 2. EQUATION_DISPLAY

\sum_{i = 1}^{n} α_{i} = 1

(1903)

其中， $n$ 为总相数。

连续性方程

类分相 $i$ 的质量守恒由以下公式给出：

图 3. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} α_{i} ρ_{i} d V + \oint_{A} α_{i} ρ_{i} v_{i} \cdot d a = \int_{V} \sum_{j \neq i} (m_{i j} - m_{j i}) d V + \int_{V} S_{i}^{α} d V

(1904)

其中：

$α_{i}$ 为体积分数
$ρ_{i}$ 为密度
$v_{i}$ 为速度
$m_{i j}$ 为从相 j 到相 i 的质量传递率 ( $m_{i j} \geq 0$ )
$m_{j i}$ 为从相 i 到相 j 的质量传递率 ( $m_{j i} \geq 0$ )
$S_{i}^{α}$ 为用户自定义的相质量源项

动量方程

类分相 $i$ 的动量平衡为：

图 4. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t} \int_{V} α_{i} ρ_{i} v_{i} d V + \oint_{A} α_{i} ρ_{i} v_{i} \otimes v_{i} \cdot d a = - \int_{V} α_{i} \nabla p d V \\ + \int_{V} α_{i} ρ_{i} g d V + \oint_{A} [α_{i} (T_{i} + T_{i}^{t})] \cdot d a + \int_{V} M_{i} d V \\ + \int_{V} {(F_{i n t})}_{i} d V + \int_{V} S_{i}^{α} d V + \int_{V} \sum_{i = 1}^{n} (m_{i j} v_{j} - m_{j i} v_{i}) d V \end{matrix}

(1905)

其中：

$p$ 为压力，假设在所有相中都相同
$g$ 为重力矢量
$T_{i}$ 和 ${T_{i}}^{t}$ 分别为分子和湍流应力
$M_{i}$ 为每单位体积的相间动量传递
${(F_{i n t})}_{i}$ 表示内力（例如，颗粒之间的固相压力或用户自定义的势能力）
$S_{i}^{α}$ 为相动量源项
$m_{i j}$ 为从相 j 到相 i 的质量传递率。
$m_{j i}$ 为从相 i 到相 j 的质量传递率。

相间动量传递表示各相彼此施加的合力并满足以下方程：

图 5. EQUATION_DISPLAY

\sum_{i}^{} M_{i} = 0

(1906)

能量方程

根据以下方程，欧拉相的能量守恒：

图 6. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t} \int_{V} α_{i} ρ_{i} E_{i} d V + \oint_{A} α_{i} ρ_{i} H_{i} v_{i} \cdot d a = \oint_{A} α_{i} k_{e f f, i} \nabla T_{i} d a + \oint_{A} T_{i} \cdot v_{i} \cdot d a \\ + \int_{V} f_{i} \cdot v_{i} d V + \int_{V} \sum_{j \neq i} Q_{ij} d V + \int_{V} \sum_{(i j)}^{} {Q_{i}}^{(i j)} d V + \int_{V} S_{u, i} d V + \int_{V} \sum_{j \neq i}^{} (m_{i j} - m_{j i}) h_{i} (T_{i j}) d V \end{matrix}

(1907)

其中：

$E_{i}$ 为总能量
$H_{i}$ 为总焓
$T_{i}$ 为粘性应力张量
$α_{i}$ 、 $ρ_{i}$ 和 $v_{i}$ 分别为相 $i$ 的体积分数、密度和速度，如 Eqn. (1904) 中所示。
$T_{i}$ 为温度。
$k_{e f f, i}$ 为 Eqn. (1908) 中的有效导热率。
$f_{i}$ 为体积力矢量。
$Q_{i j}$ 为从相 $j$ 到相 $i$ 的相间传热率。它是指由于相间温度差而产生的相间热传递。
$Q_{i}^{(i j)}$ 为从相对交界面 (ij) 到相 i 的传热率。它是指在该相和交界面之间发生热传递的热传递现象，如蒸发、冷凝和沸腾。
$S_{u, i}$ 为能量源。
$h_{i} (T_{i j})$ 为在交界面温度 $T_{i j}$ 下计算得出的相 i 焓。

有效导热率 $k_{e f f}$ 为：

图 7. EQUATION_DISPLAY

k_{e f f, i} = k_{i} + \frac{μ_{t, i} C_{p, i}}{σ_{t, i}}

(1908)

其中：

$k_{i}$ 为导热率。
$μ_{t, i}$ 为湍流粘度。
$C_{p, i}$ 是比热。
$σ_{t, i}$ 为湍流热扩散普朗特数。

现在，总能量 $E$ 通过以下公式与总焓 $H$ 相关

图 8. EQUATION_DISPLAY

E_{i} = H_{i} - \frac{p}{ρ_{i}}

(1909)

其中：

图 9. EQUATION_DISPLAY

H_{i} = h_{i} + \frac{{| v_{i} |}^{2}}{2}

(1910)

且

图 10. EQUATION_DISPLAY

h_{i} (T_{i}) = h_{i}^{R E F} + \int_{T_{i}^{R E F}}^{T_{i}} C_{p, i} (T′) d T′

(1911)

其中， $h_{i}^{R E F}$ 为相 $i$ 的生成热， $T_{i}^{R E F}$ 为相 $i$ 的标准状态温度。

仅通过相间热扩散传递热时，相间传热率满足 $Q_{i j} = - Q_{j i}$ 。仅通过相变（总体沸腾或冷凝）传递热和质量时，每个相 i,j 和相对交界面 (ij) 之间的传热率满足热平衡：

图 11. EQUATION_DISPLAY

Q_{i}^{(i j)} + Q_{j}^{(i j)} + (m_{i j} - m_{j i}) Δ h_{i j} = 0

(1912)

其中， $Δ h_{i j}$ 为从相 j 到相 i 需要生成的热。这是一个带符号的物理量，使 $Δ h_{i j} = - {Δ h}_{j i}$ 。相变热根据在交界面温度 $T_{i j}$ 下计算得出的相焓定义进行定义：

图 12. EQUATION_DISPLAY

Δ h_{i j} = h_{j} (T_{i j}) - h_{i} (T_{i j})

(1913)