基本方程

Simcenter STAR-CCM+ 可对诸多物理现象进行建模，包括流体机制、固体力学、热传递、电磁学以及化学反应。在典型长度远远大于原子间距离的宏观尺度下，可以忽略物质的离散结构，且材料可以建模为连续体。描述连续体的物理特征的数学模型根据各种表示守恒原理的基本定律推导而出。

可以使用欧拉方法或拉格朗日方法来表示连续体的守恒定律。在欧拉方法中，给定的体积表示材料可流过的空间部分。在拉格朗日方法中，给定的体积表示体中的材料部分，以便观察者能够在材料运动通过空间时进行跟随。

拉格朗日和欧拉描述在 Simcenter STAR-CCM+ 中都可以采用，具体看哪个最便于对特定物理场进行建模。对于离散相，Simcenter STAR-CCM+ 会让用户进行选择，因为它同时实施欧拉和拉格朗日描述来描述相似现象。

Simcenter STAR-CCM+ 中表示的大多数物理源自一组核心的基本定律。在此采用微分形式介绍这些基本定律，针对极微小的控制体积。在理论指南的后续章节中，会将这些定律展开成 Simcenter STAR-CCM+ 采用的数值解方法。

力学

连续体机制用于研究连续体响应机械力的行为。用于控制流体和固体的力学特性的基本定律为质量、线性动量、角动量和能量守恒。

质量守恒: 通过控制体积的质量平衡由连续性方程表达：; 图 1. EQUATION_DISPLAY

$\frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla\cdot (ρ v) = 0$

(654); 其中， $ρ$ 为密度，即单位体积的质量， $v$ 为连续体速度。
线性动量守恒: 线性动量的时间变化率等于作用于连续体的合力：; 图 2. EQUATION_DISPLAY

$\frac{\partial (ρ v)}{\partial t} + \nabla\cdot (ρ v \otimes v) = \nabla\cdot σ + f_{b}$

(655); 其中， $\otimes$ 表示外积， $f_{b}$ 为作用于连续体的单位体积的各种体积力（例如重力和离心力）的合力， $σ$ 为应力张量。对于流体，应力张量通常写为法向应力与剪切应力的总和，即 $σ = - p I + T$ ，其中， $p$ 为压力， $T$ 为粘性应力张量，得出：; 图 3. EQUATION_DISPLAY

$\frac{\partial (ρ v)}{\partial t} + \nabla\cdot (ρ v \otimes v) = - \nabla\cdot (p I) + \nabla\cdot T + f_{b}$

(656)
角动量守恒: 角动量守恒要求应力张量是对称的：; 图 4. EQUATION_DISPLAY

$σ = σ^{T}$

(657)
能量守恒: 将热力学第一定律应用于控制体积时，能量守恒可以写为：; 图 5. EQUATION_DISPLAY

$\frac{\partial (ρ E)}{\partial t} + \nabla\cdot (ρ E v) = f_{b} \cdot v + \nabla\cdot (v \cdot σ) - \nabla\cdot q + S_{E}$

(658)
其中， $E$ 为单位质量的总能量， $q$ 为热通量， $S_{E}$ 为单位体积的能量源。

电磁学研究连续体响应电磁场的行为。用于描述连续体的电磁行为的基本定律为 Maxwell 方程和电荷守恒。

Maxwell 方程: Maxwell 方程可以编写为：; 图 6. EQUATION_DISPLAY

$\begin{matrix} \frac{\partial B}{\partial t} + \nabla \times E = 0 \end{matrix}$

(659)

图 7. EQUATION_DISPLAY

$\begin{matrix} \frac{\partial D}{\partial t} - \nabla \times H = - J \end{matrix}$

(660)
图 8. EQUATION_DISPLAY

$\begin{matrix} \nabla \cdot D = ρ \end{matrix}$

(661)
图 9. EQUATION_DISPLAY

$\begin{matrix} \nabla \cdot B = 0 \end{matrix}$

(662); 其中， $ρ$ 为电荷密度， $J$ 为电流密度， $E$ 为电场， $D$ 为电通量密度， $H$ 为磁场， $B$ 为磁通量密度。

电荷守恒: 控制体积内的电荷守恒由连续性方程给出：; 图 10. EQUATION_DISPLAY

$\nabla \cdot J + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0$

(663)

Simcenter STAR-CCM+ 还可对化学反应、辐射和各种其他现象进行建模。用于描述这些现象的数学模型会在具体的章节中介绍。

大多数情况下，数学模型的偏微分方程不是闭合方程组，即，未知物理量的数量超过方程的数量。要使方程组闭合，需要向数学模型添加额外的方程。这些额外的方程称为本构定律，取决于所研究的材料。

描述数学模型的方程需要域边界的真实条件。边界条件数和类型取决于方程的类型和阶次（例如，稳态或非稳态，一阶或二阶）。通常，共有三种主要类型的边界条件：

狄利克雷（或第一种类型）：指定域边界处的主要变量（即，求解控制方程时针对的某一物理量）的值。固体力学中的规定位移和流体力学中的规定压力或速度为狄利克雷边界条件。
诺伊曼（或第二种类型）：指定域边界处的变量的导数。固体力学中的规定负载和电磁学中的规定电流密度为诺伊曼边界条件。
洛平（或第三种类型）：指定域边界处变量的值及其导数的线性组合。洛平边界条件是狄利克雷和诺伊曼边界条件的加权组合，不太常见。

Simcenter STAR-CCM+ 使用离散化方法将连续方程组转换为离散代数方程组，从而可使用数值方法求解。

离散化方法遵循以下常规过程：

Simcenter STAR-CCM+ 使用有限体积法或有限元方法离散化连续方程，具体取决于数学模型。