谐波平衡

谐波平衡方程描述了预先知道非稳态频率的周期性非稳定流。 它们适合对涡轮机中通常定期重复出现的对流场（例如压缩机、涡轮机和风扇）建模。

Simcenter STAR-CCM+ 中的谐波平衡方法是频率域中纳维-斯托克斯方程的完全分解。 非稳态瞬态流体在频率域中表示为时间上的傅立叶级数。 动量、能量和湍流的所有传输方程均根据基本驱动模式（通常为叶片通过频率或重复尾流模式）分解到频率域。 系统将对表示单个非稳态周期内离散时间级别上的非稳态求解的稳态方程进行求解，以获得傅立叶系数。

所需的时间级别数量取决于问题中保留的模式数。 每个时间级别的稳态求解均通过物理时间导数在周期边界处隐式耦合。 然后，系统将对线性系统近似因式分解，以实现时间级别之间的隐式耦合。

控制方程

谐波平衡的控制方程是积分形式的纳维-斯托克斯方程，用于随角速度 $\mathbf{\Omega }$ 稳定旋转的相对参考坐标系中的差分表面积 $d\mathbf{a}$ 的刚性任意控制体积 $V$。

$$\underset{V}{\int }\frac{\partial \mathbf{W}}{\partial t}dV+\oint [\mathbf{F}-\mathbf{G}]\cdot d\mathbf{a}=\underset{V}{\int }\mathbf{H}dV$$

(5042)

其中：

• $\mathbf{W}$ 为守恒变量的求解矢量，$\mathbf{W}={[\rho ,\rho \mathbf{v},\rho E]}^T$。
• $\mathbf{F}$ 为无粘性通量，$\mathbf{F}={[\rho {\mathbf{v}}_r,\rho \mathbf{v}\otimes {\mathbf{v}}_r+p\mathbf{I},\rho E{\mathbf{v}}_r+p\mathbf{v}]}^T$。
• $\mathbf{G}$ 为粘性通量，$\mathbf{G}={[0,\mathbf{T},\mathbf{T}\cdot {\mathbf{v}}_r+\mathbf{q}]}^T$。
• $\mathbf{H}$ 为源矢量，$\mathbf{H}={[S_u,\rho \mathbf{\Omega }\otimes \mathbf{v},S_u]}^T$。

且：

• $\rho$ 为密度。
• $\mathbf{v}$ 为绝对速度。
• ${\mathbf{v}}_r$ 为相对速度，${\mathbf{v}}_r=\mathbf{v}-\mathbf{r}\otimes \mathbf{\Omega }$。
• $E$ 为总焓。
• $p$ 为压力。
• $\mathbf{T}$ 为剪切应力张量。
• $\mathbf{q}$ 为热通量。
• $S_u$ 为用户自定义的源项。

谐波平衡方程

由于控制方程的求解 $\mathbf{W}$ 具有时间周期性，因此可以用傅立叶级数表示：

$$\mathbf{W}(\mathbf{x},t)={\displaystyle \sum _{m=-M}^M{\hat{\mathbf{W}}}_m\left(\mathbf{x}\right)e^{i\omega mt}}$$

(5043)

其中：

• $\omega$ 为干扰的基频。
• $M$ 为求解中保留的谐波数。

${\hat{\mathbf{W}}}_m$ 为傅立叶系数，由离散傅立叶变换唯一确定：

$${\hat{\mathbf{W}}}_m\left(\mathbf{x}\right)=\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{\mathbf{W}}_n^{*}(\mathbf{x},t_n)e^{-i\omega m{t}_n}}$$

(5044)

其中，${\mathbf{W}}_n^{*}$ 为一个不稳定周期 $T$ 内分布的离散时间级别 $t_n=nT/N$ 处的一组 $N=2M+1$ 求解。

在流场域中的任何位置上，可以使用离散傅立叶变换运算符 $E$ 及其对应的反 $E^{-1}$ 将时间级别求解转换为傅立叶系数，反之亦然，如下所示：

$$\hat{\mathbf{W}}=E{\mathbf{W}}^{*}$$

(5045)

$${\mathbf{W}}^{*}=E^{-1}\hat{\mathbf{W}}$$

(5046)

其中，$E$ 和 $E^{-1}$ 为量纲的平方矩阵 $N\times N$，傅立叶系数和时间级别求解已组合到矢量 $\hat{\mathbf{W}}$ 和 ${\mathbf{W}}^{*}$ 中：

$$\begin{array}{c}\hat{\mathbf{W}}={[{\hat{\mathbf{W}}}_{-M,}{\hat{\mathbf{W}}}_{-M+1}\dots ,{\hat{\mathbf{W}}}_{M-1,}{\hat{\mathbf{W}}}_M]}^T\\ {\mathbf{W}}^{*}={[{\mathbf{W}}_0^{*},{\mathbf{W}}_1^{*},\dots ,{\mathbf{W}}_{N-2}^{*},{\mathbf{W}}_{N-1}^{*}]}^T\end{array}$$

通过将控制方程 Eqn. (5042) 同时应用于所有 ${\mathbf{W}}^{*}$，可获得每个离散时间级别的求解：

$$\underset{V}{\int }\frac{\partial {\mathbf{W}}^{*}}{\partial t}dV+\oint [{\mathbf{F}}^{*}-{\mathbf{G}}^{*}]\cdot d\mathbf{a}=\underset{V}{\int }{\mathbf{H}}^{*}dV$$

(5047)

其中，通量和源矢量 ${\mathbf{F}}^{*}$、${\mathbf{G}}^{*}$ 和 ${\mathbf{H}}^{*}$ 使用对应的时间级别求解进行计算。 示例：

$${\mathbf{F}}^{*}={\left[\mathbf{F}\right({\mathbf{W}}_0^{*}),\mathbf{F}({\mathbf{W}}_1^{*}),\mathrm{...},\mathbf{F}({\mathbf{W}}_{N-2}^{*}),\mathbf{F}({\mathbf{W}}_{N-1}^{*}\left)\right]}^T$$

Eqn. (5047) 中的时间导数通过相对于时间对 Eqn. (5047) 求微分，然后使用 Eqn. (5045) 来计算，如下所示：

$$\frac{\partial {\mathbf{W}}^{*}}{\partial t}=\frac{\partial E^{-1}}{\partial t}\hat{\mathbf{W}}=\frac{\partial E^{-1}}{\partial t}E{\mathbf{W}}^{*}$$

或

$$\frac{\partial {\mathbf{W}}^{*}}{\partial t}=D{\mathbf{W}}^{*}$$

(5048)

其中，$D$ 为拟谱 $N\times N$ 运算符。 将 Eqn. (5048) 替换为 Eqn. (5047) 中的时间导数可得出最终的谐波平衡方程：

$$\underset{V}{\int }D{\mathbf{W}}^{*}dV+\oint [{\mathbf{F}}^{*}-{\mathbf{G}}^{*}]\cdot d\mathbf{a}=\underset{V}{\int }{\mathbf{H}}^{*}dV$$

(5049)