曳力

对于常规应用，相间的曳力将作为曳力系数的函数计算。

对于连续-离散相的相间相互作用，相 $j$ 的曳力导致的作用于离散相 $i$ 的力实现如下：

图 1. EQUATION_DISPLAY

{F_{i j}}^{D} = A_{D} v_{r}

(1927)

其中， $A_{D}$ 为线性曳力系数， $v_{r}$ 为相 $i$ 和 $j$ 之间的相对速度。 $A_{D}$ 用作相对速度的线性乘数，定义如下：

图 2. EQUATION_DISPLAY

v_{r} = v_{j} - v_{i}

(1928)

对于多流态相间相互作用，总曳力计算如下：

图 3. EQUATION_DISPLAY

F_{ij}^{D} = \sum_{t = f r, i r, sr}^{} W_{t} A_{D, t} v_{r}

(1929)

其中， $W_{t}$ 为重量函数。

线性化曳力系数的计算与连续-离散相的相间相互作用相似。对于第一离散流态，主相被视为连续相，次相被视为离散相。对于第二离散流态，次相被视为连续相，主相被视为离散相。

线性曳力系数通过以下等式与颗粒的曳力系数 $C_{D}$ 的标准工程定义关联：

图 4. EQUATION_DISPLAY

A_{D} = C_{D} \frac{1}{2} ρ_{c} | v_{r} | (\frac{a_{cd}}{4})

(1930)

其中， $a_{c d}$ 为交界面面积密度。因子 $\frac{a_{c d}}{4}$ 表示等效球形颗粒的投影面积。可以将对非球形颗粒形状的校正并入模型中以用于曳力系数 $C_{D}$ 。

标准曳力系数 $C_{D}$ 包含两个因子：

图 5. EQUATION_DISPLAY

C_{D} = {f_{D} C}_{D∞}

(1931)

其中， $C_{D∞}$ 为单颗粒曳力系数，通过测量无界限的停滞连续相中颗粒的终端速度确定。 $f_{D}$ 为非球形颗粒形状的曳力校正因子，通过测量相同尺寸的多个颗粒在给定浓度下共同运动的终端速度来确定。此校正可涵盖许多在颗粒中难以分开的物理效应，例如湍流相互作用增强导致的阻碍，或群体运动或聚结导致的协同运动。

终端速度条件下的力平衡

在终端速度条件下，压力浮力和曳力处于平衡状态，连续相和离散相的两相动量守恒方程简化如下：

图 6. EQUATION_DISPLAY

V^{2} = \frac{8 α_{c} α_{d}}{a} \frac{Δ ρ}{ρ_{c}} \frac{g}{C_{D}}

(1932)

其中：

$Δ ρ = | ρ_{c} - ρ_{d} |$

$a$ 为两相间相互作用的交界面面积密度。

在 Simcenter STAR-CCM+ 中，有两种替代标准模型可用于交界面面积密度，因此：

图 7. EQUATION_DISPLAY

V^{2} = {\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \frac{4}{3} \frac{Δ ρ}{ρ_{c}} \frac{g d}{C_{D}} α_{c} for Spherical Particle Interfacial Area \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{4}{3} \frac{Δ ρ}{ρ_{c}} \frac{g d}{C_{D}} for Symmetric Interfacial Area \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}

(1933)

Eqn. (1933) 是通过与颗粒尺寸 $d$ 和连续相体积分数 $α_{c}$ 呈函数关系的终端速度 $V$ 的实验测量值，校准单颗粒曳力模型和多颗粒校正因子的关键方程。

此类两相校准的结果将应用于多相环境中，以及颗粒不以终端速度运动的流体。当为每个相间相互作用 $i j$ 确定曳力系数 $C_{D}$ 和曳力校正因子 ${f_{i j}}^{D}$ 时，终端速度将替换为计算得到的相对速度 $| v_{r} |$ 。

交界面面积密度法在力平衡中的作用

对于具有给定直径的球形颗粒，球形颗粒交界面面积法可确保几何精确性。对非球形形状的任何校正均可并入曳力系数。由于等效体积球形颗粒和两相混合物之间的密度差随 $α_{c}$ 减小而逐渐减小，无论颗粒形状如何，力平衡中的项 $α_{c} Δ ρ g d$ 都会正确反映有效浮力随浓度的变化。

当广泛的体积分数范围内都必须保证强度时，可使用对称交界面面积法，以便能够超过球形颗粒的最大填充。如果将额外的因子 $1 / α_{c}$ 并入用于对称交界面面积的曳力校正因子，则两个模型提供的结果相同，最高可至最大填充点。对于在 Simcenter STAR-CCM+ 中实现的标准曳力校正因子模型，此调整会自动完成。但是，当基于场函数或指数将对称交界面面积密度用于曳力校正模型时，需要显式包括该调整。

气泡曳力系数的特殊注意事项

允许因内循环导致曳力降低的气泡曳力定律包括 Tomiyama/Pure、Tomiyama/Moderately Contaminated、Bozzano-Dente 和 Wang 拖曳法。所有这些拖曳法在 Simcenter STAR-CCM+ 中均作为 ( $R e$ , $E o$ , $M o$ ) 的函数实现。

这些拖曳法在文献中已通过公式规定，以重现终端速度下的正确曳力系数。但是，这些定律可能导致不实际地低估以高滑移速度运动的小气泡的曳力系数。

在 Simcenter STAR-CCM+ 中，可通过给气泡曳力系数强加下限来避免此类问题。此限值基于任意尺寸的气泡以其终端速度运动时所观察到的曳力系数的最低值。此点对应于气泡即将要从其球形开始变形之前的滑移速度。它对应的韦伯数大约为 2，因此这是一个在所有气泡速度下应用都具有实际意义的约束。

曳力校正因子

曳力校正法的目标是将实验终端速度作为颗粒浓度的函数正确重现。

Richardson 和 Zaki [534] 的传统方法广泛适用于给定尺寸的球形颗粒。鼓泡塔的曳力校正更为复杂，因为气泡尺寸可作为浓度的函数而变化。在传统方法（例如，搅动湍流流态 [481] 的模型）中，气泡曳力校正隐式包含了湍流相互作用以及聚结和破碎的影响。最新的趋势为单独隔离浓度对指定尺寸气泡的终端速度的影响（例如，Simmonet 等人的[545]）。

要考虑所有这些可能性，需要定义颗粒尺寸的校正因子、终端速度和曳力系数。假设：

图 8. EQUATION_DISPLAY

f_{d} = \frac{d}{d_{\infty}}

(1934)

图 9. EQUATION_DISPLAY

f_{V} = \frac{V}{V_{\infty}}

(1935)

图 10. EQUATION_DISPLAY

f_{D} = \frac{C_{D}}{C_{D \infty}}

(1936)

其中，下标 $\infty$ 表示无界限的停滞流体中单颗粒的条件。

在力平衡 Eqn. (1933) 中设置 $α_{c} = 1$ ，会给出无界限介质中以终端速度运动的单颗粒的力平衡：

图 11. EQUATION_DISPLAY

{V_{\infty}}^{2} = \frac{4}{3} \frac{Δ ρ}{ρ_{c}} \frac{g d_{\infty}}{C_{D \infty}}

(1937)

此结果应用于两个相互作用面积密度模型中的任一个。然后，计算 Eqn. (1934) 与 Eqn. (1936) 之比，并与 Eqn. (1937) 相结合，得到三个校正因子之间的以下关系：

图 12. EQUATION_DISPLAY

{f_{V}}^{2} = {\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{α_{c} f_{d}}{f_{D}} for Spherical Particle Interfacial Area \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{f_{d}}{f_{D}} for Symmetric Interfacial Area \end{matrix} \end{matrix}

(1938)

计算 $f_{V}$ 时，出于以下两个原因，Simcenter STAR-CCM+ 模型不包含尺寸校正因子 $f_{d}$ ：

现代计算方法关注指定尺寸颗粒的曳力和曳力校正，颗粒尺寸分布作为单独的模型考虑。
尺寸变化仅与大气泡的曳力校正有关，这种气泡的曳力系数与 Re 无关。

使用指定尺寸颗粒的曳力校正时，上述关系简化为：

图 13. EQUATION_DISPLAY

{f_{V}}^{2} = {\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{α_{c}}{f_{D}} for Spherical Particle Interfacial Area \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{1}{f_{D}} for Symmetric Interfacial Area \end{matrix} \end{matrix}

(1939)

在 Simcenter STAR-CCM+ 中，该关系用于：

对于在文献中指定为使用速度校正因子 $f_{V}$ 的模型，实现曳力校正因子 $f_{D}$ 。
对于在文献中指定为使用曳力校正因子 $f_{D}$ 的模型，获取速度校正因子 $f_{V}$ 。速度校正因子为计算单颗粒的曳力系数所必需。

当曳力系数 $C_{D \infty}$ 取决于颗粒雷诺数时，这最后一点对于再现终端速度至关重要。需要在单颗粒终端速度 $V_{\infty}$ （而非在要尝试计算多颗粒系统中的曳力系数的终端速度 $V$ ）下计算单颗粒曳力系数。将速度校正因子 $f_{V}$ 应用于滑移雷诺数：

图 14. EQUATION_DISPLAY

C_{D \infty} \equiv C_{D} (R e_{\infty}) = C_{D} (\frac{R e}{f_{V}})

(1940)

输出变量

为帮助用户遵循这些曳力计算，可使用以下场检查 Simcenter STAR-CCM+ 模拟中的每个相对：

颗粒 Eotvos 数 $E o$ 。此场仅适用于曳力模型取决于表面张力的情况。
颗粒滑移速度雷诺数 $R e$
单颗粒雷诺数 $R e_{\infty} = \sqrt{\frac{f_{D}}{α_{c}}} R e$ ，

其中， $f_{D}$ 为多颗粒系统中的曳力校正因子， $α_{c}$ 为连续相体积分数， $R e$ 为相对雷诺数。
单颗粒曳力系数 $C_{D \infty}$
曳力校正因子 $f_{D}$

固定指数流态

校正因子可以建模为增加到某一常数幂次的连续相体积分数，即：

图 15. EQUATION_DISPLAY

f_{V} = \frac{V}{V_{\infty}} = α_{c}^{n}

(1941)

图 16. EQUATION_DISPLAY

f_{D} = \frac{C_{D} (R e, α_{c})}{C_{D} (R e_{\infty}, 1)} = α_{c}^{n_{D}}

(1942)

然后，Eqn. (1942) 会得出这些指数之间的简单关系：

图 17. EQUATION_DISPLAY

n_{D} = {\begin{matrix} \begin{matrix} 1 - 2 n for Spherical Particle Interfacial Area \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 n for Symmetric Interfacial Area \end{matrix} \end{matrix}

(1943)

例如，在 Stokesian 条件 ( ${R e}_{\infty} < 0.1$ ) 下，速度校正的常数 Richardson Zaki [534] 指数 $n = 4.65$ 时，曳力校正指数为：

图 18. EQUATION_DISPLAY

n_{D} = - 8.3

(1944)

使用球形颗粒交界面面积时，或：

图 19. EQUATION_DISPLAY

n_{D} = - 9.3

(1945)

使用对称交界面面积时。