乳浊液和悬浮液的流变

悬浮液为液体中离散固体颗粒的非均匀混合物，例如酱和黏土。另一方面，乳浊液为两种或更多液体的混合物，其中一种液体离散在另一种液体中，如水中的油。众所周知，牛顿液体中存在的悬浮颗粒会导致非牛顿行为，因为混合物粘度会越来越依赖于离散相的体积分数。

Krieger 和 Dougherty 的 [491] 开发了相对（混合物）粘度模型，以描述液体中颗粒的悬浮液的非牛顿行为。对于这些模型，相对粘度仅取决于颗粒的体积分数。随着颗粒浓度的增加，当颗粒移向接触面时，粘度将呈指数增大，从而导致流体动力润滑力的力矩变大。最终在临界体积分数或最大填充体积分数时出现堵塞。最大填充体积分数定义为在填充颗粒时，物理上这些颗粒可占据的最大体积（通常假定为随机严密填充）。最大填充体积分数为经验参数。实验显示，填充硬完全球体的最严密方式将随机给定约 0.64 的最大填充体积分数。

Pal 和 Rhodes [524] 还开发了用于乳浊液的类似相对粘度模型。

在悬浮液流变中，无量纲相对粘度用于描述混合物粘度。相对混合物粘度可指定随着更多颗粒之间进行互动，混合物粘度如何增大，并指定颗粒之间的流体中存在的流体动力。随着颗粒接近最大填充且混合物出现堵塞，相对粘度趋于无穷大，从而实质上会封装屈服应力行为。

一般情况下，相对粘度定义为：

图 1. EQUATION_DISPLAY

η_{r} = \frac{η}{μ_{c}}

(2422)

其中：

$η$ 为混合粘度
$μ_{c}$ 为连续相（牛顿）粘度。

根据相对粘度，悬浮液和乳浊液的非牛顿行为会通过动量方程 Eqn. (1905) 中的应力张量 $T_{i}$ 影响流体。

本构方程

对于牛顿流体，通用相 $i$ 的应力张量由以下公式给出（另请参见 Eqn. (696)）：

图 2. EQUATION_DISPLAY

T_{i, Newtonian} = 2 α_{i} μ_{i} (D_{i} - \frac{1}{3} (\nabla \cdot v_{i}) I)

(2423)

其中：

$α_{i}$ 为体积分数
$μ_{i}$ 为相 $i$ 的（牛顿）粘度
$D_{i}$ 为变形速率张量。

对于悬浮液，除了相的牛顿应力以外，连续液体应力张量 ( $i = c$ ) 还考虑额外的应力张量 $T_{c, extra}$ 。因此，连续相的总应力张量为：

图 3. EQUATION_DISPLAY

T_{c, total} = T_{c, Newtonian} + T_{c, extra}

(2424)

连续相的额外应力张量定义为：

图 4. EQUATION_DISPLAY

T_{c, extra} = 2 α_{c} μ_{c} (η_{r} (ϕ) - 1) D_{c}

(2425)

其中， $ϕ$ 为离散相（即，悬浮颗粒）的体积分数。注意，在悬浮液流变中，离散相的体积分数通常由 $ϕ$ 而非 $α_{d}$ 表示。因此， $ϕ$ 用于本章中的以下所有方程中。Eqn. (2425) 包含相对粘度的剪切应力效应，由于混合物中存在颗粒，因此从该粘度中减去了一个应力以仅给定额外应力。

离散颗粒相应力张量 ( $i = d$ ) $T_{d, extra}$ 具有分割的剪切力贡献以及法向应力贡献和渗透压 $Π$ :。

图 5. EQUATION_DISPLAY

T_{d, extra} = 2 ϕ μ_{c} (η_{r} (ϕ) - 1) D_{d} - μ_{c} η_{n} (ϕ) {\dot{γ}}_{d} Q - Π I

(2426)

其中：

$η_{n}$ 为正态相对粘度
$Q$ 为各向异性张量
${\dot{γ}}_{d}$ 为离散相的剪切力比率
$Π$ 为渗透压。

一般情况下，乳浊液使用与悬浮液相同的应力方程。与悬浮液不同的是，乳浊液的离散相不包含硬球体，因此最大填充可能更高，然后才会出现堵塞。堵塞在临界填充分数（也称为最大填充分数）时出现。对于乳浊液，在体积分数高于反向体积分数时，相对粘度会反转：

图 6. EQUATION_DISPLAY

η_{r} (ϕ) \to η_{r} (1 - ϕ) for ϕ \geq ϕ_{i n v}

(2427)

其中：

$ϕ$ 为填充体积分数
$ϕ_{inv}$ 为反向体积分数。

Simcenter STAR-CCM+ 提供几种方法，用于对 Eqn. (2426) 中的相对粘度 $η_{r}$ 、法向相对粘度 $η_{n}$ 和渗透压 $Π$ 建模。最早的悬浮液研究之一为 Krieger-Dougherty 模型 [491]。

Krieger-Dougherty 模型

Krieger-Dougherty 模型基于的假设为，聚集在刚性球体悬浮液的原始非牛顿流体行为中具有至关重要的作用。对乳胶系统的测量检测不到（按悬浮聚合物的体积）浓度低于 20% 时的非牛顿行为。Krieger-Dougherty 模型考虑相邻球形颗粒之间的相互作用。生成的流体方程与通过使用合成乳胶和聚合物颗粒溶液的测试收集的实验粘度测定数据相吻合。

在 Simcenter STAR-CCM+ 中，Krieger-Dougherty 模型具有以下形式：

图 7. EQUATION_DISPLAY

η_{r} = {(1 - \frac{ϕ}{ϕ_{m}})}^{- [η] ϕ_{m}}

(2428)

其中：

$[η]$ 为固有粘度。对于球形颗粒， $[η] = 2.5$ 。
$ϕ$ 为体积分数。
$ϕ_{m}$ 为最大临界填充分数。对于硬球体， $ϕ_{m} ≃ 0.645$ 。

对于 Krieger-Dougherty 模型，法向相对粘度为零。因此，对于此模型，Eqn. (2426) 中的第二项将消隐。

Morris 和 Boulay 模型

Morris 和 Boulay 模型的依据为，在牛顿液体中悬浮的中性浮力刚性球形颗粒的混合物中，法向应力在导致颗粒迁移和颗粒体积分数 $ϕ$ 的宏观空间变化方面的角色的检查。

将根据法向相对粘度 $η_{n} (ϕ)$ 捕捉压缩的剪切感应法向应力的整个 $ϕ$ 依赖性。按照与剪切粘度 $η_{s} (ϕ)$ 相同的方式，此物理量（作为 $ϕ^{2}$ ）将在 $ϕ = 0$ 时消隐，并且在最大填充时发散。将独立于 $ϕ$ 对由于颗粒的存在而产生的法向应力各向异性进行建模。

在 Simcenter STAR-CCM+ 中，Morris 和 Boulay 模型 ([521]) 的相对剪切粘度定义为：

图 8. EQUATION_DISPLAY

η_{r} (ϕ) = 1 + 2.5 ϕ {(1 - \frac{ϕ}{ϕ_{m}})}^{- 1} + K_{s} {(\frac{ϕ}{ϕ_{m}})}^{2} {(1 - \frac{ϕ}{ϕ_{m}})}^{- 2}

(2429)

其中：

$K_{s}$ 为接触效应
$ϕ_{m}$ 为最大填充分数。

Morris 和 Boulay 模型衍生自管道和 Couette 设备（其中流体与取决于几何的特定方向对齐）的实验。法向应力显示为具有各向异性。法向相对粘度导致颗粒在不同方向的迁移。

对于 x 方向的剪切流，各向异性张量为：

图 9. EQUATION_DISPLAY

Q = [\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{2} \end{matrix}]

(2430)

其中，各向异性参数为：

$λ_{1}$ = 1.0
$λ_{2}$ = 0.8
$λ_{3}$ = 0.5

通过将各向异性张量设为与单位张量相等，各向同性版本可为所有方向给定相等的加权 ([520])。

图 10. EQUATION_DISPLAY

Q = I

(2431)

此形式适用于 3D 模拟，但是这些效应不再为各向异性。

Morris 和 Boulay 模型的法向相对粘度定义为：

图 11. EQUATION_DISPLAY

η_{n} (ϕ) = K_{n} {(\frac{ϕ}{ϕ_{m}})}^{2} {(1 - \frac{ϕ}{ϕ_{m}})}^{- 2}

(2432)

其中：

$K_{n}$ 为法向接触效应
$ϕ_{m}$ 为最大填充分数。

它等效于颗粒压力。这将导致颗粒朝向剪切速率低的区域迁移。

剪切稀化模型

剪切稀化模型将零剪切和无限剪切 Morris 和 Boulay 相对粘度模型 ([521]) 与 Carreau 广义牛顿模型相混合。剪切稀化模型未通过实验验证。建议仅当已知物理偏离 Morris 和 Boulay 模型时才使用该模型，并且应谨慎使用。

零剪切相对粘度为：

图 12. EQUATION_DISPLAY

η_{r 0} (ϕ) = 1 + 2.5 ϕ {(1 - \frac{ϕ}{ϕ_{m 0}})}^{- 1} + K_{s 0} {(\frac{ϕ}{ϕ_{m 0}})}^{2} {(1 - \frac{ϕ}{ϕ_{m 0}})}^{- 2}

(2433)

其中

$K_{s 0}$ 为零剪切速率时的接触参数
$ϕ_{m 0}$ 为零剪切速率时的最大填充。

无限剪切相对粘度为：

图 13. EQUATION_DISPLAY

η_{r \infty} (ϕ) = 1 + 2.5 ϕ {(1 - \frac{ϕ}{ϕ_{m \infty}})}^{- 1} + K_{s \infty} {(\frac{ϕ}{ϕ_{m \infty}})}^{2} {(1 - \frac{ϕ}{ϕ_{m \infty}})}^{- 2}

(2434)

其中：

$ϕ$ 为离散相体积分数
$K_{s∞}$ 为无限剪切速率时的接触参数
$ϕ_{m∞}$ 为无限剪切速率时的最大填充。

与 Carreau 模型混合：

图 14. EQUATION_DISPLAY

η_{r} (\dot{γ}, ϕ) = \frac{τ_{y}}{\dot{γ}} + η_{r \infty} (ϕ) + (η_{r 0} (ϕ) - η_{r \infty} (ϕ)) {(1 + {(λ \dot{γ})}^{a})}^{\frac{(n - 1)}{a}}

(2435)

其中：

$τ_{y}$ 为屈服应力
$λ$ 为松弛时间
$a = 2$ 为用于控制剪切稀化的参数
$n$ 为剪切稀化指数

$n$ 的默认值为 0.5。为了将 $n$ 描述为 $ϕ$ 的函数，Simcenter STAR-CCM+ 提供了以下线性关系：

图 15. EQUATION_DISPLAY

n = - n_{1} ϕ + n_{2}

(2436)

其中 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 是恒值。

为防止剪切加厚， $n$ 的最大值限制为 1。

按照与用于剪切相对粘度的相同方法，将 Morris 和 Boulay 法向相对粘度方程应用于零剪切速率限制和无限剪切速率限制：

图 16. EQUATION_DISPLAY

η_{n 0} (ϕ) = K_{n 0} {(\frac{ϕ}{ϕ_{m 0}})}^{2} {(1 - \frac{ϕ}{ϕ_{m 0}})}^{- 2}

(2437)

其中， $K_{n 0}$ 为零剪切速率时的法向接触参数。

和

图 17. EQUATION_DISPLAY

η_{n \infty} (ϕ) = K_{n \infty} {(\frac{ϕ}{ϕ_{m \infty}})}^{2} {(1 - \frac{ϕ}{ϕ_{m \infty}})}^{- 2}

(2438)

其中， $K_{n∞}$ 为无限剪切速率时的法向接触参数。

此外，将混合法向粘度限制以给定法向相对粘度：

图 18. EQUATION_DISPLAY

η_{n} (\dot{γ}, ϕ) = \frac{τ_{y}}{\dot{γ}} + η_{n \infty} (ϕ) + (η_{n 0} (ϕ) - η_{n \infty} (ϕ)) {(1 + {(λ \dot{γ})}^{a})}^{\frac{(n - 1)}{a}}

(2439)

屈服应力

对于单离散乳浊液，Eqn. (2435) 和 Eqn. (2439) 中的屈服应力为 [516]：

图 19. EQUATION_DISPLAY

τ_{y} = τ_{y 0} (\frac{σ}{a}) ϕ_{e f f} {(ϕ_{e f f} - ϕ_{m})}^{2}

(2440)

其中：

$τ_{y 0}$ 为常数前因子。如[516]中所使用，默认值为 0.5。
$σ$ 为液滴表面上的交界面张力。
$a$ 为液滴半径。
$ϕ_{e f f}$ 为有效体积分数，考虑了液滴之间存在薄膜的情况。
$ϕ_{m}$ 为临界填充分数（其中 $ϕ_{c} = 0.645$ 用于随机封闭填充的硬球体）。

由于液滴的可变形性，与颗粒悬浮液相比，乳浊液可以具有大得多的最大填充分数。

对于固体颗粒的悬浮液，由于相互接触的颗粒形成网络，因此屈服应力在低于最大填充时形成。多个研究（[446]、[500]）已表明将屈服应力与体积分数关联的幂次定律行为，并且其具有可变幂次指数（从 2 到 4）。以下模型也适合很多可用于悬浮液屈服应力的数据：

图 20. EQUATION_DISPLAY

τ_{y} = τ_{y 0} {(\frac{ϕ}{ϕ - ϕ_{m y}})}^{2}

(2441)

其中：

$τ_{y 0}$ 为阶次单位的常数前因子
$ϕ_{m y}$ 为屈服最大填充。

渗透压

Eqn. (2426) 中的渗透压因已排除颗粒的体积而产生，并且可以因颗粒间力而衍生自应力。 $Π_{o}$ 是根据 Mewis 和 Wagner 的 [519] 给出的颗粒渗透压：

图 21. EQUATION_DISPLAY

Π_{o} = n k_{B} T (\frac{1 + ϕ + ϕ^{2} - ϕ^{3}}{{(1 - ϕ)}^{3}})

(2442)

其中：

$n$ 为颗粒密度
$k_{B}$ 为玻尔兹曼常数
$T$ 为温度。

Simcenter STAR-CCM+ 使用硬球体渗透压，用于在悬浮颗粒相互接触时定义阶跃函数：

图 22. EQUATION_DISPLAY

Π_{hs} = {\begin{array}{l} Π_{o} (ϕ), & if ϕ < ϕ_{m} \\ Π_{\max}, & if ϕ \geq ϕ_{m} \end{array}

(2443)

其中， $Π_{o} (ϕ)$ 由 Eqn. (2442) 给出， $Π_{\max}$ 为用户指定的最大渗透压。

当离散相体积分数高于最大填充时，将为渗透压给定较大的最大渗透压值以表示硬球体相互作用，从而在超出最大填充限制时将颗粒从填充中排除。

对于乳浊液，硬球体排除将减小至高于反向体积分数的反向渗透压：

图 23. EQUATION_DISPLAY

Π_{hs} = {\begin{array}{l} Π_{o} (ϕ), & if ϕ < ϕ_{m} \\ Π_{\max}, & if ϕ_{m} \leq ϕ \leq ϕ_{i} \\ Π_{o} (1 - ϕ), & if ϕ > ϕ_{i} \end{array}

(2444)

悬浮液和乳浊液曳力

液体中颗粒的曳力模型为单个颗粒雷诺数的函数。继而，颗粒雷诺数为连续液体动力粘度的函数。很多实验研究 [440] 将曳力模型与单相广义牛顿模型的参数相关联。Simcenter STAR-CCM+ 使用修改的 Schiller-Naumann 模型，其中连续相动力粘度 $μ_{c}$ 由 $μ_{c} \cdot η_{r}$ 替换。此组合粘度反映混合物的粘度，而非稀释连续相的粘度。

反向体积分数 $ϕ_{i}$ 在乳浊液曳力模型内予以定义。