颗粒引起的湍流

$k - ε$ 湍流

Troshko Hassan

Troshko-Hassan 颗粒引起的湍流源指定方法假设由曳力完成的整个工作都是连续相伪湍流的无条件阳性产物。此模型的另一个特征是，它假定此强湍流源是使用颗粒松弛时间尺度在局部耗散的。

Troshko 和 Hassan 模型通过为连续 K-Epsilon 模型提供源项来描述气泡引起的湍流效应 [559]。它使用虚拟质量相间相互作用模型。如果未选中虚拟质量相间相互作用模型，则虚拟质量系数默认为球形气泡的值：

图 1. EQUATION_DISPLAY

C_{V M} = \frac{1}{2}

(2471)

通过考虑交界面速度波动与交界面力密度之间的相关性与每单位时间的交界面力密度的工作完全相等，衍生得出源项。对于气泡流，曳力主导交界面力。来自 Troshko 和 Hassan [559] 的原始形式（用于定义）是：

图 2. EQUATION_DISPLAY

S_{k_{c}} = v_{r} \cdot F_{i j}^{D} = \frac{3}{4} \frac{C_{D}}{l_{cd}} α_{d} ρ_{c} {| v_{r} |}^{3}

(2472)

其中：

$C_{D}$ 为气泡曳力系数， $v_{r}$ 为平均滑移速度。

在 Simcenter STAR-CCM+ 中，Eqn. (2469) 根据线性化曳力系数 $A_{D}$ 重写，以解释多颗粒效应：

图 3. EQUATION_DISPLAY

S_{k_{c}} = A_{D} {| v_{r} |}^{2}

(2473)

耗散项使用随特征时间即气泡伪湍流耗散松弛 (BPTDR) 时间 $τ_{b}$ 衰减的能量源项，并按标定常数 $C_{3}$ 缩放：

图 4. EQUATION_DISPLAY

S_{ε_{c}} = \frac{C_{3} S_{k_{c}}}{τ_{b}}

(2474)

对于分析的数据，Troshko 和 Hassan 发现 $C_{3} = 0.45$ 。气泡伪湍流耗散松弛时间是：

图 5. EQUATION_DISPLAY

τ_{b} = \frac{2 C_{V M} d}{3 C_{D} | v_{r} |}

(2475)

假设气泡流 $ρ_{d} « ρ_{c}$ ，并且再次将 $C_{D}$ 替换为 $A_{D}$ ，得出：

图 6. EQUATION_DISPLAY

τ_{b} = \frac{ρ_{c} C_{V M} α_{d}}{2 A_{D}}

(2476 2491)

其中， $C_{V M}$ 为虚拟质量系数。

如果此模型用于雷诺应力方程，其影响假设为各向同性：

图 7. EQUATION_DISPLAY

S_{R c} = \frac{2}{3} S_{k c} I

(2477)

Gosman

连续相速度波动的雷诺数平均值乘以连续相动量方程的波动部分的曳力源项，得出连续相湍动能的以下源项：

图 8. EQUATION_DISPLAY

S_{k c} = {A_{c d}}^{D} (q_{c d} - {2 q}_{c}^{2} - v_{T D} \cdot v_{r})

(2478)

其中：

$q_{c d}$ 为离散相和连续相速度波动的乘积的离散相平均值。
$q_{c}$ 为连续相和连续相速度波动的乘积的离散相平均值的一半。

还要记住：

在这个推导中只考虑了曳力的影响。
用于曳力的封闭在 Stokesian 条件下良好，但仅当 ${A_{c d}}^{D}$ 表示非 Stokesian 曳力定律时才取约值。

Gosman 等人[468] 为此曳力相关源项描述了一个模型，其本质如下：

图 9. EQUATION_DISPLAY

S_{k c} = A_{c d} (C_{t} - 1) {2 K}_{c} - {F_{c d}}^{T D} \cdot v_{r}

(2479)

并可通过以下近似得出结论：

图 10. EQUATION_DISPLAY

\frac{q_{c d}}{{2 q}_{c}^{2}} \approx \frac{| v_{d}' |}{| v_{c}' |} = C_{t}

(2480)

因此， $(C_{t} - 1)$ 贡献表示交叉相位协方差与连续相湍动能之间的交换。

尽管最后一项看起来像功项，但实际上其符号与预期相反。如果相的相对运动与相间湍流耗散力同向，则最后一项可能变为连续相湍动能汇。

对雷诺应力方程的相应影响假定为各向同性：

图 11. EQUATION_DISPLAY

S_{R c} = \frac{2}{3} S_{k c} I

(2481)

假定主要耗散时间尺度 $k_{c} / ε_{c}$ 与剪切引发湍流的时间尺度相同，但仅允许 $(C_{t} - 1)$ 交换项参与其中。

图 12. EQUATION_DISPLAY

S_{ε c} = {A_{c d}}^{D} (C_{t} - 1) {2 ε}_{c}

(2482)

陈氏

连续相速度波动的雷诺数平均值乘以连续相动量方程的波动部分的曳力源项，得出连续相湍动能的以下源项：

图 13. EQUATION_DISPLAY

S_{k c} = C_{0} A_{D} (q_{c d} - {2 q}_{c}^{2} - v_{T D} \cdot v_{r})

(2483)

其中：

$q_{c d}$ 为离散相和连续相速度波动的乘积的离散相平均值。
$q_{c}$ 为连续相和连续相速度波动的乘积的离散相平均值的一半。
常数 $C_{0}$ 不是模型推导的一部分，而是默认为 1。可以调整它以测试此项求解的灵敏度。

请参见颗粒引发的湍流模型了解此项的原点，但也要记住：

在这个推导中只考虑了曳力的影响。
用于曳力的封闭在 Stokesian 条件下良好，但仅当 ${A_{c d}}^{D}$ 表示非 Stokesian 曳力定律时才取约值。

此外， $q_{c d} - {2 q}_{c}^{2}$ 表示交叉相位协方差与连续相湍动能之间的交换。

${A_{c d}}^{D} (v_{T D} \cdot v_{r})$ 表示通过湍流耗散力对平均滑移速度进行的工作。请参见颗粒引发的湍流模型。

对雷诺应力方程的相应影响假定为各向同性：

图 14. EQUATION_DISPLAY

S_{R c} = \frac{2}{3} S_{k c} I

(2484)

根据 Elghobashi 和 Abou-Arab [455]，假定主要耗散时间尺度与剪切引起湍流的时间尺度相同：

图 15. EQUATION_DISPLAY

S_{ε c} = C_{ε 3} \frac{ε_{c}}{k_{c}} max (S_{k c}, 0)

(2485)

负湍能量源项不得影响湍流耗散方程。参数 $C_{ε 3}$ 的默认值为 1.44，可以单独调整该参数，无需考虑其他项的常数。

相关性 $q_{c d}$ 和 ${q_{c}}^{2}$ 使用陈氏封闭中描述的陈氏理论来封闭：

图 16. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} q_{c d} = 2 [\frac{b + η}{1 + η}] k_{c} \\ {q_{c}}^{2} = k_{c} \end{matrix}

(2486)

其中：

$η$ 为颗粒涡流相互作用时间，通过颗粒松弛时间进行比例缩放。
$b$ 为颗粒运动方程中连续/离散相加速度项的系数比：

图 17. EQUATION_DISPLAY

b = \frac{1 + C_{V M}}{\frac{ρ_{d}}{ρ_{c}} + C_{V M}}

(2487)

封闭后，转移项 $q_{c d} - {2 q}_{c}^{2}$ 与 $(b - 1)$ 成比例。

因此，对于气体颗粒流 $ρ_{d} » ρ_{c}$ ，其中系数 $b$ 较小，转移项将变为连续相湍动能汇。

另一方面，对于气泡流 $ρ_{d} « ρ_{c}$ ，其中系数 $b$ 趋于 3/2（如果 $C_{V M}$ 约为 1/2），转移项将变为连续相湍动能源。

通用

此方法将其他颗粒引起的湍流源方法合并为一个通用方法，并且可以灵活地修改其他方法无法调整的关键源项参数。这种适应性使得通用方法更适合考虑与多相湍流关联的多尺度效应。

连续相动量方程的波动部分的曳力源项，得出连续相湍动能的以下源项：

图 18. EQUATION_DISPLAY

S_{k c} = C_{g} \frac{ρ_{d}}{τ_{D}} \overline{α_{d}} {| v_{r} |}^{2}

(2488)

在 Simcenter STAR-CCM+ 中，Eqn. (2488) 根据线性化曳力系数 $A_{D}$ 重写，由以下公式给出：

图 19. EQUATION_DISPLAY

S_{k c} = A_{D} {(C_{g} | v_{r} |}^{2} - C_{g}^{'} \min [0, 〈 v_{r} 〉 \cdot v_{T D}])

(2489)

其中：

$C_{g}$ 为调节交界面湍流传输的曳力调制参数，假设只有一部分曳力影响大尺度湍流，其余部分在小尺度中耗散。
$C_{g}^{'}$ 为调制因子，用于缩放湍流离散力对颗粒引起的湍流的贡献，默认为 1。

对于湍流耗散项，假定主导耗散时间尺度为

τ_{ε}

，耗散项建模如下：

图 20. EQUATION_DISPLAY

S_{ε_{c}} = \frac{1}{τ_{ε}} S_{k c}

(2490)

通用方法的公式类似于 Tchen、Gosman 和 Troshko & Hasan PIT 方法，可灵活调整求解耗散时间尺度 $τ_{ε}$ 的方法和参数。

对于颗粒松弛方法，耗散项使用随特征时间（气泡伪湍流耗散松弛时间）衰减的能量源项，类似于 Troshko 和 Hassan 方法，由以下公式给出：

图 21. EQUATION_DISPLAY

τ_{c} = \frac{ρ_{c} C_{V M} α_{d}}{2 A_{D}}

(2476 2491)

用于求解耗散时间尺度的涡流翻转方法如下：

图 22. EQUATION_DISPLAY

τ_{c} = \frac{k_{c}}{{C_{3} ε}_{c}}

(2492)

其中

C_{3}

为标定常数，默认值为 1.44。

对于可实现涡流翻转方法，耗散时间尺度计算如下：

图 23. EQUATION_DISPLAY

τ_{c} = \frac{k_{c}}{{C_{3} ε}_{c}} (1 + \sqrt{\frac{{ν ε}_{c}}{k_{c}^{2}}})

(2493)

其中， $ν$ 为运动分子粘度。

如果通用方法用于雷诺应力方程，其影响假设为各向异性，由以下公式给出：

图 24. EQUATION_DISPLAY

S_{R c} = A_{D} {C_{g} [A_{t} (〈 v_{r} 〉 〈 v_{r} 〉 + {(〈 v_{r} 〉 〈 v_{r} 〉)}^{T}) + (1 - A_{t}) \frac{2}{3} 〈 v_{r} 〉 \cdot 〈 v_{r} 〉] - C_{g}^{'} [A_{t} (〈 v_{r} 〉 v_{T D} + {(〈 v_{r} 〉 v_{T D})}^{T}) - (1 - A_{t}) \frac{2}{3} 〈 v_{r} 〉 \cdot v_{T D} 〉]}

(2494)

其中， $A_{t}$ 为各向同性系数。默认值为 $A_{t} = 0.5$ 。雷诺应力方程的湍流耗散率与 Eqn. (2489) 中定义的相同。

Sato

Sato 模型是颗粒引发的混合的最早、最简单的模型，是后来颗粒引起的湍流基于源的模型的强大替代模型。当对稀释气泡流建模时，该模型适用。

在稀疏气泡流中，剪切引起的湍流和气泡引起的波动在不同的尺度下操作。Lance 和 Bataille (1991) [497] 中的图 11 给出了满足以下条件的网格湍流的示例：其中气泡引起的波动占主导，但是剪切引起部分的衰减率始终不受影响。采用一个长度尺度方程对组合湍流能量的传输方程进行求解的更高级模型并没有充分地描述这种情况。但是，Sato 模型假定剪切引起部分是完全独立的，而气泡引起部分始终在局部平衡中，并且不需要传输方程。

它通过增强连续相的有效粘度而起作用：

图 25. EQUATION_DISPLAY

ν_{e f f} = ν + ν_{t u r b} + ν_{S a t o}

(2495)

其中：

$ν$ 为连续相运动粘度
$ν_{t u r b}$ 为湍流扩散率
$ν_{S a t o}$ 为 Sato 气泡引发粘度。

Sato 气泡引发粘度由以下公式给出：

图 26. EQUATION_DISPLAY

ν_{S a t o} = k f_{d} f_{B} α_{g a s} \frac{d_{b}}{2} U_{s l i p}

(2496)

其中：

$k$ 为模型标定常数
$f_{d}$ 为 Van Driest 阻尼因子
$f_{B}$ 为气泡直径形状修正因子
$α_{g a s}$ 为离散相体积分数
$d_{b}$ 为气泡直径
$U_{s l i p}$ 为相间的滑移速度。

Van Driest [562] 阻尼因子为：

图 27. EQUATION_DISPLAY

f_{d} = {(1 - \exp (- \frac{y^{+}}{A^{+}}))}^{2}

(2497)

其中， $A^{+}$ 为无量纲常数。

气泡直径形状修正因子是：

图 28. EQUATION_DISPLAY

f_{B} = \begin{matrix} 4 y / d_{b} (1 - y / d_{b}) & y < d_{b} / 2 \\ 1 & y > d_{b} / 2 \end{matrix}

(2498)

其中， $y$ 为离壁面的距离。

湍流和气泡引起粘度的部分叠加是通过对不同体积分数下的湍流强度进行测量来证明的（如 Lance 和 Bataille [497] 中图 11 所示）。体积分数对网格生成湍流衰变的影响表明，气泡引起波动的影响纯粹是加性影响。但是，这并不完全正确，特别是在具有显著剪切力结果和壁面效应的流中。该模型应谨慎使用，特别是在雷诺数较低的情况下，气泡引起部分可能比剪切引起部分大得多。

$k - ω$ 湍流

传统上，离散相颗粒与连续相中湍流的相互作用根据湍流耗散率 $ϵ$ 进行建模。这是因为处于最大含能涡流和最小粘性涡流之间的惯性子范围中， $ϵ$ 描述了长度尺度和速度比例之间的关系，用于估计给定大小的颗粒周围的速度波动的值。

对于 $k - ω$ 模型，通过计算与 $k - ω$ 模型一致的 $ϵ$ 场来重用这些基于 $ϵ$ 的模型。然而，不同的湍流模型可以对成功地再现测量的速度分布和剪切应力所需的 k 和 $ϵ$ 具有不同的解释，因此可以计算 k 和 $ϵ$ 的不同值，特别是靠近壁面时。因此，可以预期的是，当连续相湍流模型在 $k - ϵ$ 和 $k - ω$ 之间切换时，物理上依赖于 $ϵ$ （如颗粒破碎速率）的多相模型可能需要进行一定的重新校准。

颗粒引起的湍流的替代模型在两个方面有所不同，必须一致地选择和校准。第一个方面是湍动能 $S_{k}$ 的源项的强度和推导。第二个方面是为了对湍流耗散方程 $S_{ϵ}$ 产生相应影响而选择的耗散时间尺度。以下概述了如何操作这两项以推导 $ω$ 方程的源项 $S_{ω}$ 。

使用变化率符号 $\dot{k}$ 作为 k 等的连续相平衡方程的简写，颗粒引起的湍流对三个方程的影响如下：

图 29. EQUATION_DISPLAY

\dot{k} = S_{k}

(2499)

图 30. EQUATION_DISPLAY

\dot{ϵ} = S_{ϵ}

(2500)

图 31. EQUATION_DISPLAY

\dot{ω} = S_{ω}

(2501)

假设 $ϵ = β^{*} ω k$ 给出：

图 32. EQUATION_DISPLAY

S_{ω} = ω {\frac{\dot{ϵ}}{ϵ} - \frac{\dot{k}}{k}} = \frac{1}{k} {\frac{S_{ϵ}}{β^{*}} - ω S_{k}}

(2502)

当颗粒引起的湍流项变得显著时，在替代模型中，还可通过此结果获得关于湍流时间尺度 $\frac{k}{ϵ} = \frac{1}{β^{*} ω}$ 行为的有用见解。

由于 Gosman 模型使用 $\frac{k}{ϵ}$ 作为颗粒引起的湍流的耗散时间尺度（忽略了在充分发展流中较小的湍流耗散点积项），所以它对 $ω$ 方程的影响完全为零：

图 33. EQUATION_DISPLAY

S_{ϵ} = \frac{ϵ}{k} S_{k}

(2503)

图 34. EQUATION_DISPLAY

S_{ω} = 0

(2504)

陈氏模型以与 Gosman 相同的耗散时间尺度 $\frac{k}{ϵ}$ 开始，但具有标定常数 $C_{ϵ 3}$ ，使得 $S_{ϵ}$ 不立即与 $\frac{ϵ}{k} S_{k}$ 处于局部平衡。

当使用默认标定 $C_{ϵ 3} = 1.44$ 并且净源 $S_{k}$ 恰好为正（可能在充分发展流中）时，颗粒引起的湍流可以缩短 $\frac{k}{ϵ}$ ，而在其他情况下则延长。

图 35. EQUATION_DISPLAY

S_{ϵ} = C_{ϵ 3} \frac{ϵ}{k} \max (S_{k}, 0)

(2505)

图 36. EQUATION_DISPLAY

S_{ω} = \frac{ω}{k} {C_{ϵ 3} \max (S_{k}, 0) - S_{k}}

(2506)

Troshko-Hassan 模型使用与气泡直径上滑移速度成比例的耗散时间尺度 $τ_{b}$ ：

图 37. EQUATION_DISPLAY

S_{ϵ} = C_{ϵ 3} \frac{S_{k}}{τ_{b}}

(2507)

图 38. EQUATION_DISPLAY

S_{ω} = \frac{S_{k}}{k} {\frac{C_{ϵ 3}}{β^{*} τ_{b}} - ω}

(2508)

这个模型给出了气泡引起项变得占主导地位时湍流时间尺度的清晰气泡相关渐近线，例如远离壁面：

图 39. EQUATION_DISPLAY

\frac{k}{ϵ} \to \frac{τ_{b}}{C_{ϵ 3}}

(2509)

通用方法的特定耗散率的生成率为：

图 40. EQUATION_DISPLAY

S_{ω} = C_{ϵ 3} \frac{13}{36} A_{D} (C_{g} {| 〈 v_{r} 〉 |}^{2} - C_{g}^{'} \min [0, 〈 v_{r} 〉 \cdot v_{T D}])

(2510)

大涡模拟

颗粒引起的湍流模型根据以下公式对湍流粘度产生影响：

图 41. EQUATION_DISPLAY

μ_{t} = μ_{S G S} + μ_{P I T}

(2511)

此处 $μ_{S G S} = ρ_{c} Δ^{2} S$ 是亚网格尺度对湍流粘度的影响， $ρ_{c}$ 是连续相的密度， $Δ$ 是长度尺度， $S$ 是应变率张量的函数。对于每个亚网格尺度模型，后两者分别以 Eqn. (1388)、Eqn. (1392) 和 Eqn. (1398)（对于 $Δ$ ）和以 Eqn. (1387)、Eqn. (1391) 和 Eqn. (1397)（对于 $S$ ）单独定义。

另一方面：

图 42. EQUATION_DISPLAY

μ_{P I T} = Δ ρ_{c} α_{d} | v_{r} |

(2512)

定义为 Lakehal [495]，其中， $α_{d}$ 为离散相体积分数， $v_{r}$ 为相位相对速度。

颗粒引起的湍流

k−ε 湍流

k−ω 湍流

大涡模拟

$k - ε$ 湍流

$k - ω$ 湍流