相间湍流传输

相间湍流传输模型考虑因曳力导致连续相和离散相之间发生的湍流相互作用。 注意，该模型仅适用于连续气相和固体颗粒离散相。 该模型会为连续相和离散相的湍动能和耗散方程添加源项。 非闭项或建模项（在源项中）是沿颗粒轨线计算的流体和颗粒波动速度之间的交叉相关项。

这些源项是曳力对波动速度分量的作用所致，根据 Fox [459] 进行设定。

此模型适用于携带精细颗粒的气体颗粒流（即，尺寸介于 20 和 100 $\mu m$ 之间且密度通常小于 1.4g/cm³ 的 Geldart A 型颗粒）。 此模型的典型应用是流化催化裂化 (FCC) 系统。

仅当离散相为固体颗粒相时，相间湍流传输模型才可用。 Simcenter STAR-CCM+ 将颗粒相限制为仅使用标准 $k-ϵ$ 两层湍流模型，因此，该公式仅适用于连续相和离散相均使用 $k-ϵ$ 模型的情景。 $S_{kc}$ 和 $S_{kd}$ 分别为连续相和离散相湍动能方程的源项：

$S_{ϵc}$ 和 $S_{ϵd}$ 分别为连续相和离散相湍流耗散率方程的源项：

其中：

• $C_0$ 为模型标定常数。 （此常数不是原始模型公式的一部分。）
• $C_{ϵ3}$ 默认为 1.54。
• $A_{cd}$ 为线性化曳力系数。
• ${\beta }_{cd}$ 为速度交叉相关系数，默认为 0.7。

  在 Simcenter STAR-CCM+ 中， ${\beta }_{cd}$ 可以设为常数、使用场函数指定或使用 Zaichik 方法指定：

• $k_k=\frac{1}{2}{〈{{\mathbf{\text{v}}}_k}^{"}\cdot {{\mathbf{\text{v}}}_k}^{"}〉}_k$

  其中， ${\mathbf{\text{v}}}_k$ 为相 $k$ 的瞬时速度。

• ${\epsilon }_k=\frac{{\mu }_k}{{\rho }_k}{〈2{S_k}^{"}\cdot {S_k}^{"}〉}_k$

  其中， ${S_k}^{"}=\frac{1}{2}\{\nabla {{\mathbf{\text{v}}}_k}^{"}+{(\nabla {{\mathbf{\text{v}}}_k}^{"})}^T\}$

Zaichik 方法

Zaichik [577] 为速度交叉相关系数非闭项 ${\beta }_{cd}$ 提供了一个模型，该项适用于任意颗粒至流体密度值和颗粒尺寸与流体湍流长度尺度比值：

$${\beta }_{cd}=\frac{(1-A)f_{u\alpha }+A}{\sqrt{(1-A^2)f_{u\alpha }+A^2}}$$

(2517)

且：

$$A=\frac{(1+C_{VM}){\rho }_c}{{\rho }_d+C_{VM}{\rho }_c}$$

(2518)

和

$$f_{u\alpha }=\frac{2{\mathrm{\Omega }}_{\alpha }+Z^2}{2{\mathrm{\Omega }}_{\alpha }+2{\mathrm{\Omega }}_{\alpha }^2+Z^2}$$

(2519)

其中：

• $C_{VM}$ 为虚拟质量系数
• $f_{u\alpha }$ 为响应系数
• ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$ 为颗粒惯性参数
• $Z$ 为连续相的泰勒微分时间尺度与拉格朗日积分时间尺度之比

颗粒惯性参数定义为：

$${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }=\frac{{\tau }_p}{T_{Lp}}$$

(2520)

且：

$${\tau }_p=\frac{{\alpha }_d{\rho }_d}{A_{cd}}(1+C_{VM}\frac{{\rho }_c}{{\rho }_d})$$

(2521)

其中， ${\tau }_p$ 为颗粒响应时间。 $T_{Lp}$ 为涡颗粒相互作用时间尺度，由以下公式给出：

$$T_{Lp}=\frac{T_{Lp}^l+2T_{Lp}^n}{3}$$

(2522)

且：

$$T_{Lp}^l=\frac{T_L}{\sqrt{1+C_{\beta }{\zeta }^2}}$$

$$T_{Lp}^n=\frac{T_L}{\sqrt{1+{4C}_{\beta }{\zeta }^2}}$$

$$\begin{array}{ccc}{T}_L=\frac{2{\tau }_k({\mathrm{Re}}_{\lambda }+C_1)}{\sqrt{15}{C}_{0\infty }},& C_{0\infty }=7,& C_1=32\end{array}$$

其中：

• $T_{Lp}^l$ 和 $T_{Lp}^n$ 分别为颗粒在相对速度矢量的纵向和法向上观察到的流体速度的拉格朗日积分时间尺度
• $T_L$ 为拉格朗日积分时间尺度
• $\zeta$ 为按湍流波动速度进行比例缩放的颗粒滑移速度
• $C_{\beta }$ 为轨线交叉效应的标定系数。 根据 Deutsch 和 Simonin [448]，该项默认为 0.45。

定标颗粒滑移速度由以下公式给出：

$$\zeta =\frac{\left|v_r\right|}{\sqrt{\frac{2}{3}{k}_c}}$$

其中，$v_r$ 为相间相对速度。

连续相的泰勒微分时间尺度与拉格朗日积分时间尺度之比为：

$$Z=\frac{{\tau }_T}{T_L}$$

且：

$${\tau }_T={{\tau }_k\left(\frac{2{\mathrm{Re}}_{\lambda }}{\sqrt{15}{a}_0}\right)}^{1/2}$$

其中：

• ${\tau }_T$ 为泰勒微分时间尺度
• ${\tau }_k$ 为 Kolmogorov 时间尺度
• ${\mathrm{Re}}_{\lambda }$ 为泰勒尺度雷诺数

Kolmogorov 时间尺度定义为：

$$\begin{array}{c}{\tau }_k=\sqrt{\frac{{\nu }_c}{{ϵ}_c}}\end{array}$$

泰勒尺度雷诺数由以下公式给出：

$\begin{array}{c}{\mathrm{Re}}_{\lambda }=\sqrt{\frac{20k_c^2}{3{\nu }_c{ϵ}_c}}\end{array}$

其中，${\nu }_c$ 为

$\begin{array}{cccc}{a}_0=\frac{a_{01}+a_{0\infty }{\mathrm{Re}}_{\lambda }}{a_{02}+{\mathrm{Re}}_{\lambda }},& a_{01}=11,& a_{02}=205,& a_{0\infty }=7\end{array}$