响应模型

根据 $k-\epsilon$ 模型，再次提供了以下方程。 可使用根据 Eqn. (1147) 给出的涡流粘度概念对湍流应力建模，其中单相湍流粘度由以下公式给出：

其中：

其中，${\mathbf{\text{v}}}_d\text{'}$ 为离散相的速度波动，${\mathbf{\text{v}}}_c\text{'}$ 为连续相的速度波动。

如果连续相使用 $k-\epsilon$ 模型，则离散相湍动能 $k_d$ 为：

根据这些定义，离散相湍流涡粘度为：

其中：

• ${\rho }_d$ 为离散相密度
• ${\rho }_c$ 为连续相密度

伊萨

伊萨模型为气泡流提供 $C_t$ 。 对于很小的离散相体积分数，它将 $C_t$ 估计为高达 3，但是对于大于约 5% 的离散相体积分数，该估计值快速减小至 1。

伊萨湍流响应模型定义为采用体积分数校正的湍流响应系数 $C_t$ 的相关性 [537]：

$$C_t\left({\alpha }_d\right)=1+{\left({C_t}^{*}-1\right)}^{-f\left({\alpha }_d\right)}$$

(2463)

其中：

$$f\left({\alpha }_d\right)=180{\alpha }_d-4.71\times {10}^3{\alpha }_d^2+4.26\times {10}^4{\alpha }_d^3$$

(2464)

将根据伊萨模型计算 ${C_t}^{*}$ ([567])：

$${C_t}^{*}=\frac{3+\beta }{1+\beta +2({\rho }_d/{\rho }_c)}$$

(2465)

$\beta$ 定义为：

$$\beta =\frac{2A_{ij}^D{l}_e^2}{{\alpha }_d{\mu }_{c}R{e}_t}$$

(2466)

和

$$l_e=C_{\mu }\frac{k_c^{3/2}}{{\epsilon }_c}$$

(2467)

$$R{e}_t=\frac{\left|v_c\text{'}\right|l_e}{{\mathbf{\text{v}}}_c}$$

(2468)

$$\left|{\mathbf{\text{v}}}_c\text{'}\right|=\sqrt{\frac{2}{3}{k}_c}$$

(2469)

陈氏

如 Thai-Van 等人所指定 [555]，陈氏模型可为充满重颗粒的气流提供离散相湍流扩散率。 但是，此参考提出，因为气泡相的涡流扩散率的影响较弱，所以此模型也适用于气泡流。

根据 Thai-Van 等人的 [555]，充满重颗粒的湍气流的湍流扩散率可以建模为：

$${{\nu }_d}^t={\tau }_I\frac{1}{3}{q}_{cd}+\frac{1}{2}{\tau }_R\frac{2}{3}{q_d}^2$$

(2470)

其中：

• $q_{cd}$ 为离散相速度波动和连续相速度波动的乘积的离散相平均值
• $q_d$ 为离散相速度波动乘积的离散相平均值的一半

有关这些相关性的封闭的更多详细信息，请参见陈氏封闭。