相平均和封闭

使用相平均通常会减少对湍流多相流体进行建模所需的封闭数。具体来说,如果使用对流通量的相平均速度,则无需将湍流扩散项包括在相质量守恒方程中。

1. EQUATION_DISPLAY
ϕ=ϕ¯+ϕ=ϕk+ϕ"
(2523)

其中:

  • ϕ¯ 为瞬时变量 ϕ 的雷诺平均值。
  • ϕk 为瞬时变量 ϕ 的相平均值(由使用相 k 的体积分数加权的雷诺平均值形成):
2. EQUATION_DISPLAY
ϕk=αkϕ_αk_
(2524)

其中, αk 为相 k 的瞬时体积分数。

在用户指南中的其他位置, αk 用于雷诺平均体积分数 αk_

以下欧拉多相湍流方程根据相平均湍流应力、动能和耗散衍生得出 [468]

3. EQUATION_DISPLAY
Rk=vk"vk"k
(2525)
4. EQUATION_DISPLAY
kk=12vk"vk"k
(2526)
5. EQUATION_DISPLAY
εk=μkρk2Sk"Sk"k
(2527)
6. EQUATION_DISPLAY
Sk"=12{vk"+(vk")T}
(2528)

其中, vk 为相 k 的瞬时速度。

在用户指南中的其他位置, vk 用于相平均速度 vkk

Boussinesq 封闭

使用涡流扩散率或 Boussinesq 假设,连续相中任何标量 φ 因湍流速度波动 v'c 而产生的雷诺通量可以建模为:

7. EQUATION_DISPLAY
ϕv'c_=ϕvc_=ϕv'c_-νctσϕϕ¯
(2529)

其中, σϕ 为动量与 ϕ 的湍流扩散率之比。

陈氏封闭

Thai-Van 等人[555] 根据 Simonin 等人开展的工作(例如,请参见 Deutch 和 Simonin 所著 [449])汇总了同相位和互相位湍流扩散率封闭,进一步扩展了陈氏理论对稳态均匀湍流中小颗粒的研究结果(例如,请参见 Hinze 所著 [475])。

这些封闭在 Simcenter STAR-CCM+ 中用于陈氏湍流耗散力、离散相湍流和颗粒引起的湍流选项。它们提供了适用于以下湍流扩散率的模型:

连续相湍流扩散:

8. EQUATION_DISPLAY
νct=23qc2τT
(2530)

相间湍流耗散:

9. EQUATION_DISPLAY
Dcd=τI13qcdI
(2531)

离散相湍流扩散:

10. EQUATION_DISPLAY
νdt=τI13qcd+12τR23qd2
(2532)

使用以下内容构造,这包括以下相关性:

  • qc2=12vc"vc"c
  • qcd=vc"vd"d
  • qd2=12vd"vd"d

以下时间尺度:

  • τT 为涡流周转时间。
  • τI 为颗粒-涡流相互作用时间。
  • τR 为颗粒松弛时间。

根据 Thai-Van 等人所著,Eqn. (2532) 最初针对充满重颗粒的湍气流衍生得出。他们指出,还可以衍生出气泡相的涡流粘度封闭,但这对预测的影响可以忽略不计。

如果湍流模型用于连续相,则 qc2 随时可以用作连续相湍动能 kc νct 对应于标准 K-Epsilon 湍流模型提供的湍流扩散率。

根据 Thai-Van 等人所著,可使用以下公式估计其他相关性:

11. EQUATION_DISPLAY
qcd=2qc2[b+η1+η]
(2533)
12. EQUATION_DISPLAY
qd2=qc2[b2+η1+η]
(2534)
13. EQUATION_DISPLAY
τI=τTσ011+Cβξ2
(2535)
14. EQUATION_DISPLAY
τT=32Cμkcεc
(2536)
15. EQUATION_DISPLAY
τR=τD(1+ρcρdCVM)
(2537)

其中:

  • τD 为基本颗粒时间尺度。此处,该项通常用于表示线性化曳力系数的倒数。有关此系数的详细信息,请参见曳力对湍流耗散的贡献
  • b 为颗粒运动方程中连续/离散相加速度项的系数比:
16. EQUATION_DISPLAY
b=1+CVMρdρc+CVM
(2538)
  • CVM 为颗粒响应的虚拟质量系数,如果未指定平均流的虚拟质量力模型,则默认值为 0.5。
  • η 为颗粒涡流相互作用时间,通过颗粒松弛时间进行比例缩放:
17. EQUATION_DISPLAY
η=τIτR
(2539)
  • Cβ 为轨线交叉效应的标定系数。根据 Deutsch 和 Simonin 所著 [449],对与平均相对速度平行的方向将其选作 0.45,而对正交方向将其选作 1.8。默认值为 1.8。
  • ξ 为按湍流波动速度进行比例缩放的颗粒滑移速度:
18. EQUATION_DISPLAY
ξ=|vr|23kc
(2540)

尽管 Thai-Van 等人将波动校正包含在此滑移速度估计中,但 Simcenter STAR-CCM+ 中将忽略此校正。

曳力对湍流耗散的贡献

在 Stokesian(粘性曳力)条件下,因相对于粘度为 μc 的流体的速度,固定直径为 d 、密度为 ρd 的固体球形颗粒上的瞬时曳力为:

19. EQUATION_DISPLAY
ρdαdτD(vd-vc)
(2541)
20. EQUATION_DISPLAY
τD=ρdd218μc=d218νc(ρdρc)
(2542)

瞬时曳力的雷诺平均可以写为平均曳力项与湍流耗散项的总和:

21. EQUATION_DISPLAY
ρdαdτD(vd-vc)¯=ρdτDαd_(vr+vTD)
(2543)
22. EQUATION_DISPLAY
vr=vdd-vcc
(2544)
23. EQUATION_DISPLAY
vTD=vcc-vcd
(2545)

使用 Boussinesq 封闭对最后一项建模:

24. EQUATION_DISPLAY
vTD=αcvc¯αc_-αdvc¯αd_=αcvc'¯αc_-αdvc'¯αd_-νctσα(αc_αc_-αd_αd_)
(2546)

对于非 Stokesian 拖曳法和其他交界面面积模型,雷诺平均的结果不再具有简单直观的封闭,但上述结果仍然用作近似。

对于小颗粒,可能会补偿部分非 Stokesian 拖曳法。通过包括对用于计算曳力系数的平均颗粒相对速度的波动贡献(例如,请参见 Thai-Van 等人所著),即可实现此补偿。但是,此处没有遵循这种做法,因为通常很难判断颗粒涡流相互作用究竟会减少还是增强平均滑移 [431]

一般情况下,将 Stokesian 系数

25. EQUATION_DISPLAY
ρdτDαd_
(2547)

替换为平均线性化曳力系数 AcdD (使用平均滑移速度 vr 和平均交界面面积 acd 计算得出):

26. EQUATION_DISPLAY
AcdD=acd8ρcCD|vr|
(2548)

即可得出这些平均曳力和湍流耗散力:

27. EQUATION_DISPLAY
FcdD=AcdDvr
(2549)
28. EQUATION_DISPLAY
FcdTD=AcdDvTD
(2550)

这种形式的湍流耗散力及其封闭被人知晓已有一段时间了。例如,请参见 Deutsch 和 Simonin 所著 [449] 或 Gosman 等人所著[468]。此外,该项最近已与 Drew 所著 [452] 和 Burns 等人所著[437] 提出的替代方法达成一致。

虚拟质量对湍流耗散的贡献

瞬时虚拟质量力为:

29. EQUATION_DISPLAY
ρcCVMαd(ad-ac)
(2551)

其中, a 为对应相的加速度。取上述方程的平均值将得出:

30. EQUATION_DISPLAY
ρcCVMαd_(add-acd)= ρcCVMαd_(add-acc)+ρcCVMαd_(αc'acαc_-αd'acαd_)
(2552)

第一项针对平均流的惯性。第二项影响湍流耗散力。假设颗粒松弛时间 τR 是加速时间尺度的估计值,可以使用 Boussinesq 封闭对该项进行建模:

31. EQUATION_DISPLAY
αc'acαc_-αd'acαd_-νctτRσα(αc_αc_-αd_αd_)
(2553)
32. EQUATION_DISPLAY
τR=ρdαd_AcdD(1+ρcρdCVM)
(2554)

组合来自曳力和虚拟质量项的贡献:

33. EQUATION_DISPLAY
AcdDvTD-ρcCVMαd_νctτRσα(αc_αc_-αd_αd_))= (1+ρcCVMρd+ρcCVM)AcdDvTD
(2555)

对于气泡流 ( ρcρd ),包括来自虚拟质量的贡献可能会使总体湍流耗散系数加倍。

尽管虚拟质量对于湍流中的颗粒响应建模非常重要,但平均虚拟质量力的建模为可选,因为并非所有应用均包括加速平均流。

颗粒引起的湍流

本节概述如何衍生连续相波动动能方程的源项。在所有可能的相间力中,假设曳力是此项的主要贡献。

瞬时流动能的相平均为连续相中的速度波动动能提供以下成分:

34. EQUATION_DISPLAY
kc=12vc"vc"c=12{vcvcc-vccvcc}
(2556)

其中:

  • 12vc"vc"c 为瞬时流中的平均动能。通过使用瞬时相动量方程取瞬时相速度标量积 vc 的雷诺平均,可衍生得出平衡方程。
  • 12vccvcc 为平均流中保留的动能。可使用雷诺平均相动量方程从相平均速度的标量积 vcc 中衍生该方程。

减去这两个方程即可衍生得出 kc 的方程。然后,瞬时力项(假设与滑移速度 vd-vc 和离散相体积分数 αd 成比例)

35. EQUATION_DISPLAY
fc=ρdαdτD(vd-vc)
(2557)

kc 方程的贡献如下:

36. EQUATION_DISPLAY
Skc=vcfc¯-vcfc_=vc"fc¯
(2558)
37. EQUATION_DISPLAY
=ρdτDαd_{vc"vd"d-vc"vc"d+vc"d[vdd-vcc]}
(2559)
38. EQUATION_DISPLAY
=AcdD{vc"vd"d-vc"vc"d-vTDvr}
(2560)

根据上一节曳力对湍流耗散的贡献以及下列恒等式,可使用曳力线性化系数 AcdD 和耗散速度 vTD 得出最终结果:

39. EQUATION_DISPLAY
vTD=vcc-vcd=[vcc-vc]αd¯αd_=-vc"d
(2561)

Skc 现在可以借助湍流响应模型陈氏封闭,并结合以下进一步的近似,进行建模:

40. EQUATION_DISPLAY
vcvcdvcvcc=2kc
(2562)

Eqn. (2560) 中的前两项表示离散-连续速度波动的协方差与连续相的湍动能之间的平衡或传递。

最后一项可视为湍流耗散力与平均滑移速度(或是平均曳力与湍流耗散速度)的点积。其作用取决于这两个矢量的对齐情况。

在充分发展和收敛的管道流中,该点积通常很小,甚至为零。对于水平管道流,此值较小的原因是滑移速度的幅值在充分发展的条件下可能很小。对于垂直管道流,这是因为:尽管滑移不小,但它在充分发展的条件下与体积分数的梯度正交。

但该项可以是正值或负值,并在发展条件下或收敛过程中较大。当平均曳力和湍流耗散力作用于相反的方向时,该项会对连续相湍动能起到一定的促进作用。例如,根据相应的浓度梯度促使颗粒下降或气泡上升。