β 概率密度函数 (PDF)

如果提供了瞬时混合分数，小火焰模型可提供反应状态空间中任何相关变量的瞬时值，如组分质量分数和温度。此外，需要提供反应状态空间变量的平均值，以将任何空间位置的湍流波动考虑在内。

得出这些平均值需要执行四个步骤：

求出时间平均值，就像在动量方程中一样。这将根据以下方程得出 $Z$ 的时间平均值（一阶矩） $Z_{m e a n}$ ：
图 1. EQUATION_DISPLAY

$\frac{\partial}{\partial t} (ρ χ Z_{m e a n}) + \nabla \cdot [ρ v Z_{m e a n} - (ρ D_{Z} + \frac{μ_{t}}{σ_{t, Z_{m e a n}}}) \nabla Z_{m e a n}] = 0$

(3498)

其中， $D_{Z}$ 为层流混合分数扩散系数， $μ_{t}$ 为湍流粘度， $σ_{t, Z_{m e a n}}$ 为混合分数的湍流施密特数。
衍生出二阶矩 $Z_{var}$ （也称为混合分数偏差）的方程：
图 2. EQUATION_DISPLAY

$\frac{\partial}{\partial t} (ρ χ Z_{var}) + \nabla \cdot (ρ v Z_{var} - \frac{μ_{t}}{σ_{{t, Z}_{var}}} \nabla Z_{var}) = \frac{2 μ_{t}}{σ_{{t, Z}_{var}}} {(\nabla Z_{m e a n})}^{2} - C_{d} ρ \frac{ε}{k} Z_{var}$

(3499)

其中：
图 3. EQUATION_DISPLAY

$Z_{var} = \bar{{(Z - Z_{m e a n})}^{2}}$

(3500)

$σ_{t, Z_{var}}$ 为偏差的湍流施密特数， $C_{d}$ 为耗散常数。
假设 PDF 的形状仅取决于这两个力矩。混合分数的这一假定 PDF 是 β 函数，形式如下：
图 4. EQUATION_DISPLAY

$P (Z) = \frac{Z^{a - 1} {(1 - Z)}^{b - 1}}{\int_{0}^{1} Z^{a - 1} {(1 - Z)}^{b - 1} d Z}$

(3501)

其中，a 和 b 与平均值和方差相关，具体如下：
图 5. EQUATION_DISPLAY

$a = \frac{Z_{m e a n}}{Z_{var}} [Z_{m e a n} (1 - Z_{m e a n}) - Z_{var}]$

(3502)

和
图 6. EQUATION_DISPLAY

$b = \frac{(1 - Z_{m e a n})}{\overline{Z}} a$

(3503)
从 PDF 中得出任何物理量的平均值，具体如下：
图 7. EQUATION_DISPLAY

$\tilde{ϕ} (Z) = \int_{}^{} ϕ (Z) P (Z) d Z$

(3504)

通过预计算的表将任何标量的平均值映射到混合分数的平均值及其方差。然后，如果需要这些平均值，仅需查找并插值即可。

尽管混合分数偏差的传输方程通常在 RANS (Eqn. (3499)) 求解，但通常做法是在 LES 燃烧中使用代数关系。假设混合分数偏差方程中的结果等于耗散，则可使用以下关系：

图 8. EQUATION_DISPLAY

Z_{var} = C_{v} Δ^{2} {(\nabla Z_{m e a n})}^{2}

(3505)

其中， $C_{v}$ 为用户可调常数，默认值为 1/12。 $Δ$ 为亚网格尺度。

要满足结果等于耗散的假设，可以根据以下方程在内部计算耗散常数 $C_{d}$ (Eqn. (3499))：

图 9. EQUATION_DISPLAY

C_{d} = \frac{2 C_{s}^{2} C_{l}}{C_{v}}

(3506)

其中， $C_{l}$ 是计算湍流时间尺度时的常数（对于 Smagorinsky 亚网格尺度湍流或 Wale 亚网格尺度湍流为 Eqn. (1495)）。 $C_{s}$ 是用于计算长度尺度的常数（对于 Smagorinsky 亚网格尺度湍流，为 Eqn. (1388) 中的 $C_{s}$ ；对于 Wale 亚网格尺度湍流，为 Eqn. (1398) 中的 $C_{w}$ ）。

β PDF 已通过“小火焰生成流形 (FGM)”模型和“化学平衡模型”针对多重流进行了扩展。

将 β PPDF 扩展到多重流

要获取多重流的 β PDF 中任何物理量的平均值，使用以下方程：

图 10. EQUATION_DISPLAY

ϕ = \int_{0}^{1} P (Z_{1}) \int_{0}^{(1 - Z_{i})} P (Z_{2}) \dots \int_{0}^{(1 - Σ_{i = 1}^{n - 2} Z_{i})} P (Z_{n - 1}) ϕ (Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n - 1}) d Z_{1} d Z_{2} \dots d Z_{n - 1}

(3507)

由于限值不是常数，因此重积分计算十分复杂。为了简化此计算，引入了定标混合分数空间：

图 11. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} s_{1} = Z_{1} \\ s_{2} = \frac{Z_{2}}{1 - Z_{1}} \\ \begin{matrix} . \\ : \\ s_{n - 1} = \frac{Z_{n - 1}}{1 - Σ_{i = 1}^{n - 2} Z_{i}} \end{matrix} \end{matrix}

(3508)

现在，Eqn. (3507) 可以重新设定为：

图 12. EQUATION_DISPLAY

ϕ = \int_{0}^{1} P (s_{1}) \int_{0}^{1} P (s_{2}) \dots \int_{0}^{1} P (s_{n - 1}) ϕ (s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n - 1}) d s_{1} d s_{2} \dots d s_{n - 1}

(3509)

对于 Eqn. (3498) 到 Eqn. (3503) 中所述的四个步骤，可以如下所述重新设定以包含多重流 β PDF 方法：

由于定标混合分数不是守恒值，因此仍需针对每个混合分数 $i$ 的原始混合分数空间求出传输方程的时间平均值：
图 13. EQUATION_DISPLAY

$\frac{\partial}{\partial t} (ρ χ Z_{m e a n, i}) + \nabla \cdot [ρ v Z_{m e a n, i} - (ρ D_{Z} + \frac{μ_{t}}{σ_{t, Z_{m e a n}}}) \nabla Z_{m e a n, i}] = 0$

(3510)

其中， $D_{Z}$ 为层流混合分数扩散系数， $μ_{t}$ 为湍流粘度， $σ_{t, Z_{m e a n}}$ 为混合分数的湍流施密特数。
计算定标混合分数空间。
为每个定标混合分数的二阶矩 $s_{i}, Z_{var, s i}$ （也称为定标混合分数偏差）衍生出一个方程：
图 14. EQUATION_DISPLAY

$\frac{\partial}{\partial t} (ρ χ Z_{var, i}) + \nabla \cdot (ρ v Z_{var, i} - \frac{μ_{t}}{σ_{t, Z_{m e a n}}} \nabla Z_{var, i}) = \frac{2 μ_{t}}{σ_{t, Z_{m e a n}}} {(\nabla Z_{m e a n, i})}^{2} - C_{d} ρ \frac{ε}{k} Z_{var, i}$

(3511)

其中：
图 15. EQUATION_DISPLAY

$Z_{var, i} = \bar{{(Z_{i} - Z_{m e a n, i})}^{2}}$

(3512)

$σ_{t, Z_{m e a n}}$ 为混合分数的湍流施密特数， $C_{d}$ 为耗散常数。
假设 PDF 的形状仅取决于这两个力矩。定标混合分数的这一假定 PDF 是 β 函数，形式如下：
图 16. EQUATION_DISPLAY

$P (s_{i}) = \frac{s_{1}^{a_{1} - 1} {(1 - s_{i})}^{b_{1} - 1}}{\int_{0}^{1} s_{1}^{a_{1} - 1} {(1 - s_{i})}^{b_{1} - 1} d s_{i}}$

(3513)

其中， $a$ 和 $b$ 与平均值和方差相关，具体如下：
图 17. EQUATION_DISPLAY

$a_{1} = \frac{s_{i, m e a n}}{Z_{var, s i}} [s_{i, m e a n} (1 - s_{i, m e a n}) - Z_{var, s i}]$

(3514)

和
图 18. EQUATION_DISPLAY

$b_{i} = \frac{(1 - s_{i, m e a n}) a_{i}}{s_{i, m e a n}}$

(3515)