小火焰生成流形

小火焰生成流形 (FGM) 模型与化学平衡 (CE) 模型和稳态层流小火焰 (SLF) 模型不同，因为小火焰生成流形模型包括一个表示反应进展的进展变量，用于对热化学进行参数化。FGM 模型适用于对预混和部分预混火焰建模。

在当前实现中，可以使用 0D 恒压反应器或 1D 预混应变或自由传播小火焰来生成流形。热化学通过混合分数、热损失率（与 CE 中的定义相同）以及进展变量进行参数化。

非标准化进展变量

FGM 模型可对非标准化进展变量 $y$ 的传输方程进行求解。

非标准化进展变量定义如下：

图 1. EQUATION_DISPLAY

y = Σ (W_{k} Y_{k})

(3532)

其中， $W_{k}$ 为第 $k$ 个组分权重， $Y_{k}$ 为第 $k$ 个组分的质量分数。

$y$ Favre 平均传输方程可以写为：

图 2. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial ρ y}{\partial t} + \nabla \cdot (ρ u y) - \nabla \cdot (Γ_{y} \nabla y) = {\dot{ω}}_{y}

(3533)

注	为了清晰起见，Overbars（RANS 平均）和 overtildes（Favre 平均）被排除。

其中，

{\dot{ω}}_{y}

为非标准化进展变量源项，

Γ_{y}

为根据材料属性计算的扩散率：

图 3. EQUATION_DISPLAY

Γ_{y} = ρ D_{l a m} + \frac{μ_{t}}{σ_{t, y}}

(3534)

$D_{l a m}$ 为层流扩散率。
$μ_{t}$ 为湍流粘度。
$σ_{t, y}$ 为非标准化过程变量的湍流施密特数。

则进展变量定义为：

图 4. EQUATION_DISPLAY

c = \frac{y - y_{u}}{y_{b} - y_{u}}

(3535)

其中：

$y$ 为混合物的非标准化进展变量 Eqn. (3532)。
$y_{u}$ 为初始未燃烧状态下的非标准化进展变量。
$y_{b}$ 为燃烧（平衡）状态下的非标准化进展变量。

Unnormalized Progress Variable Variance(非标准化进展变量变化)

有两个选项可用于计算 Unnormalized Progress Variable Variance(非标准化进展变量变化)：

代数关系
此选项使用以下方程计算非标准化进展变量变化：
图 5. EQUATION_DISPLAY

$y_{v a r} = c_{v} Δ^{2} (\nabla {y_{m e a n})}^{2}$

(3536)

其中，

$c_{v}$ = 模型常数

$Δ$ = 网格尺寸

代数关系选项适用于大涡模拟 (LES)。

传输方程
此选项使用传输方程计算非标准化进展变量变化：

图 6. EQUATION_DISPLAY

$\frac{\partial}{\partial t} (ρ y_{v a r}) + \nabla • (ρ U y_{v a r} - Γ_{y} \nabla y_{v a r}) = \frac{2 μ_{t}}{σ_{t, y_{var}}} t r {(\nabla y)}^{2} - C_{d} ρ \frac{ε}{k} y_{v a r}$

(3537)

其中
图 7. EQUATION_DISPLAY

$y_{v a r} = \bar{{(y - y_{m e a n})}^{2}}$

(3538)

$σ_{t, y_{var}}$ = 过程变量变化的湍流施密特数

$C_{d}$ = 耗散常数

进展变量源

对 Eqn. (3533) 中的项

{\dot{ω}}_{y}

使用不同的源项，具体取决于为进展变量源选择的选项：

FGM 动能速率
Eqn. (3533) 中的源项 ${\dot{ω}}_{y}$ 将基于从 FGM 表插值的化学动力学反应率计算得出。
拟序火焰模型 (CFM)
源项，Eqn. (3533) 中的 ${\dot{ω}}_{y, c f m}$ ，将基于 CFM 火焰传播方法 Eqn. (3555) 计算得出。
湍流火焰封闭 (TFC)
源项，Eqn. (3533) 中的 ${\dot{ω}}_{y, t f c}$ ，将基于 TFC 火焰传播方法 Eqn. (3556) 计算得出。

FGM 制表

独立变量是：

混合分数 $Z$
Heat Loss Ratio（热损失率） $γ$
过程变量 $c$

0D 点火反应器类型控制方程

在制表过程期间，将对每个

Z

和

γ

求解以下方程。

图 8. EQUATION_DISPLAY

{\begin{matrix} \frac{\partial Y_{i}}{\partial t} = R_{i, k i n} \\ \frac{\partial T}{\partial t} = - Σ_{i = 1}^{N} \frac{h_{i} R_{i, k i n}}{C_{p}} \end{matrix}

(3539)

物理时间

t

时的每个点将转换为 Eqn. (3535) 中对应的进展变量

c

。

1D 预混应变反应器类型控制方程

对于 1D 预混小火焰，在混合分数固定的进展变量空间中求解以下反向流体预混方程，请参见 Eqn. (3535)。

假设路易斯数为 1，反应过程空间中的反向流体应变预混火焰方程为:

图 10. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial Y_{i}}{\partial τ} = χ_{c} \frac{\partial^{2} Y_{i}}{\partial c^{2}} + \frac{{\dot{ω}}_{i}}{ρ} - \frac{\partial Y_{i}}{\partial c} \frac{{\dot{ω}}_{c}}{ρ}

(3541)

图 11. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial T}{\partial τ} = \frac{χ_{c}}{C_{p}} (\frac{\partial C_{p}}{\partial c} + Σ_{i = 1}^{N} C_{p_{i}} \frac{\partial Y_{i}}{\partial c}) \frac{\partial T}{\partial c} + χ_{c} \frac{\partial^{2} T}{\partial c^{2}} - \frac{1}{ρ C_{p}} Σ_{i = 1}^{N} h_{i} {\dot{ω}}_{i} - \frac{\partial T}{\partial c} \frac{{\dot{ω}}_{c}}{ρ}

(3542)

其中，

τ

为伪时间，

T

为温度，

Y_{i}

为

i t h

组分的质量分数，

C_{p}

为热容，

ρ

为密度。

h_{i}

和

{\dot{ω}}_{i}

分别为组分

i t h

的焓和反应率。

{\dot{ω}}_{c}

是根据 Eqn. (3532) 和 Eqn. (3535) 计算的过程变量反应率。方程在伪时间中进行积分，直到左侧的非稳态项变小为止。对于温度和后处理组分，残差定义为所有点上非稳态项的归一化绝对值的总和。当此残差小于指定的“小火焰收敛容差”参数时，会将方程视为已收敛。

1D 预混流形 FGM 表中的进展变量耗散率（在任意

Z

和

c

处计算）定义如下：

图 12. EQUATION_DISPLAY

χ_{c} (Z, c) = χ_{Z} \exp [- 2 {({e r f c}^{- 1} (2 c))}^{2}]

(3543)

其中，

{e r f c}^{- 1}

为补余误差函数的倒数，

χ_{Z}

为

Z

方向上的标量耗散函数，如下所示：

图 13. EQUATION_DISPLAY

χ_{Z} = χ_{Z, s t o} \exp [- 2 {({e r f c}^{- 1} (\frac{Z}{Z_{s t o}}))}^{2}]

(3544)

其中，

χ_{Z, s t o}

为化学计量条件下进展变量的指定最大耗散率。

1D 预混自由传播反应器类型控制方程

用于进展变量空间中自由传播预混火焰的方程，假设混合物平均扩散为 [765]：

图 14. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial Y_{i}}{\partial τ} = g_{c}^{2} D_{i} \frac{\partial^{2} Y_{i}}{\partial c^{2}} + \frac{g_{c}}{ρ} \frac{\partial}{\partial_{c}} (ρ g_{c} (D_{i} + Y_{c} V_{c})) \frac{\partial Y_{i}}{\partial c} - \frac{g_{c}}{ρ} \frac{\partial}{\partial_{c}} (ρ g_{c} Y_{i} V^{*}) + \frac{{\dot{ω}}_{i}}{ρ} - \frac{\partial Y_{i}}{\partial c} \frac{{\dot{ω}}_{c}}{ρ}

(3545)

图 15. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial T}{\partial τ} = \frac{g_{c}}{ρ} (\frac{1}{C_{p}} \frac{\partial}{\partial c} (g_{c} λ) + \frac{\partial}{\partial c} (ρ g_{c} Y_{c} V_{c}) - \frac{ρ g_{c}}{C_{p}} \underset{i}{Σ} C_{p, i} (- D_{i} \frac{\partial Y_{i}}{\partial c} + Y_{i} V^{*})) \frac{\partial T}{\partial c} + \frac{g_{c}^{2} λ}{ρ C_{p}} \frac{\partial^{2} T}{\partial c^{2}} - \frac{1}{ρ C_{p}} \underset{i}{Σ} h_{i} {\dot{ω}}_{i} - \frac{\partial T}{\partial c} \frac{{\dot{ω}}_{c}}{ρ}

(3546)

图 16. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial g_{c}}{\partial τ} = - \frac{g_{c}^{2}}{ρ} \frac{\partial^{2}}{\partial c^{2}} (ρ g_{c} Y_{c} V_{c}) + \frac{g_{c}}{ρ} \frac{\partial {\dot{ω}}_{c}}{\partial_{c}} - \frac{{\dot{ω}}_{c}}{ρ} \frac{\partial g_{c}}{\partial c}

(3547)

层流火焰速度由以下方程计算的解确定：

图 17. EQUATION_DISPLAY

S_{u} = \frac{1}{ρ_{0}} (- \frac{\partial (g_{c} ρ Y_{c} V_{c})}{\partial c} + \frac{{\dot{ω}}_{c}}{g_{c}})

(3548)

其中，

g_{c}

为物理空间中的进展梯度，

D_{i}

为扩散系数组分

i

，

λ

为导热率，

ρ_{0}

为未燃烧气体密度。

Y_{c} {\tilde{V}}_{c}

为进展变量的扩散通量：

图 18. EQUATION_DISPLAY

Y_{c} V_{c} = Σ_{i} W_{i} (- D_{i} \frac{\partial Y_{i}}{\partial c} + Y_{i} V^{*})

(3549)

W_{i}

表示用于计算进展变量的组分权重，

V^{*}

为组分扩散的修正项：

图 19. EQUATION_DISPLAY

V^{*} = Σ_{i} D_{i} \frac{\partial Y_{i}}{\partial c}

(3550)

最优进展变量权重

在使用最优组分权重制表期间，使用通用优化算法最小化反应进展变量空间中的梯度。进展变量定义为 CO₂、CO、H₂O 和 H₂ 质量分数的线性组合。组分权重针对下述成本函数和约束进行了优化。对于混合分数、混合分数偏差和热损失率空间中的所有表点，成本函数定义为每个因变量的最大梯度之和（作为进展变量的函数）：

图 20. EQUATION_DISPLAY

C = \underset{t p}{Σ} \underset{k}{Σ} C_{t p, k}

(3551)

其中，

t p

表示混合分数、混合分数偏差和热损失率空间中的所有表点，

k

表示因变量。因变量包括温度、进展变量源项和所有表格化组分。

C_{t p, k}

为给定因变量和表点的成本，定义如下：

图 21. EQUATION_DISPLAY

C_{t p, k} = \frac{\max_{y, t p} | \frac{d ϕ_{k, t p} (y)}{d y} |}{ϕ_{k}^{\max} - ϕ_{k}^{\min}}

(3552)

其中，

ϕ_{k}

为因变量，

y

为非标准化进展变量。

ϕ_{k}^{\max}

和

ϕ_{k}^{\min}

是完整表中

ϕ_{k}

的最大值和最小值。此全局优化在进展变量空间中产生下导数，从而在 CFD 模拟中降低对进展变量误差的灵敏度。

FGM 积分

使用

c

统计上独立的假定形状 β PDF 和焓

γ

（热损失率）的 δ 函数 PDF 对湍流波动建模。

积分后，FGM 表具有五个自变量：

混合分数 $Z_{m e a n}$
Heat Loss Ratio（热损失率） $γ$
过程变量 $c_{m e a n}$
混合分数偏差 $Z_{var}$
过程变量变化 $c_{var}$

对于每个点，

Z_{m e a n}

、

γ

、

c_{m e a n}

、

Z_{var}

和

c_{var}

，平均数量

Q

（根据密度加权平均值）取决于：

图 22. EQUATION_DISPLAY

Q (Z_{m e a n}, c_{m e a n}, γ, Z_{var}, c_{var}) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{- 1}^{1} Q (Z, c, γ) P (Z, c, γ) d Z d c d γ = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} Q (Z, c, γ) P (Z, c) d Z d c = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} Q (Z, c, γ) P_{c} (c | Z) P_{Z} (Z) d Z d c

(3553)

其中，δ 函数用于热损失率的 PDF。

P_{Z} (Z)

是由

Z_{m e a n}

和

Z_{var}

（请参见 Beta 概率密度函数（PDF）。

P_{c} (c | Z)

是基于混合分数的

c

的 β PDF，由

c_{m e a n}

和

c_{var}

进行参数化。