颗粒温度

通过求解颗粒能量守恒方程，可以估计颗粒温度 ${\theta }_p$。

波动颗粒动能的守恒方程给定为：

$$\frac{3}{2}[\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }{\alpha }_p{\rho }_p{\theta }_{p}dV+\underset{A}{\oint }{\alpha }_p{\rho }_p{\theta }_p{\mathbf{\text{v}}}_p\cdot da]=\underset{V}{\int }{\tau }_p\text{:}\nabla {\mathbf{\text{v}}}_{p}dV+\underset{A}{\oint }{\kappa }_{eff}\nabla {\theta }_p\cdot da-\underset{V}{\int }\gamma dV-\underset{V}{\int }{J}_{p}dV+\underset{V}{\int }{\alpha }_p{\rho }_p{ϵ}_{p}dV$$

(2366)

上面的 Eqn. (2366) 中的第一项是颗粒能量结果。壁面处理用于计算与壁面相邻的第一个网格单元中的颗粒能量结果的已修正值。

有效颗粒扩散系数 ${\kappa }_{eff}$ 为：

$${\kappa }_{eff}=\kappa +\frac{3{\mu }_{pt}}{2{\sigma }_{pt}}$$

(2367)

其中：

• $\kappa$ 为颗粒扩散系数
• ${\mu }_{pt}$ 为颗粒相的湍流粘度
• ${\sigma }_{pt}$ 为湍流颗粒扩散普朗特数。默认值为 1。

颗粒扩散系数 $\kappa$ 有两种形式：

• Gidaspow 形式：

$$\kappa =\frac{150{\rho }_p{d}_p\sqrt{\pi {\theta }_p}}{384(1+e)g_0}[\frac{{\alpha }_p}{{\alpha }_{p,sum}}+\frac{12}{5}{\alpha }_p(1+e)g_0+\frac{36}{25}{\alpha }_p{\alpha }_{p,sum}{(1+e)}^2{g_0}^2]+2{\alpha }_p{\alpha }_{p,sum}{\rho }_p{d}_p(1+e)g_0\sqrt{\frac{{\theta }_p}{\pi }}$$

(2368)

• Syamlal 形式：

$$\kappa =\frac{15{\alpha }_p{\rho }_p{d}_p\sqrt{\pi {\theta }_p}}{4\left(41-33\eta \right)}[1+\frac{12}{5}{\eta }^2\left(4\eta -3\right){\alpha }_{p,sum}{g}_0+\frac{16}{15\pi }\left(41-33\eta \right)\eta {\alpha }_{p,sum}{g}_0]$$

(2369)

其中：

• ${\rho }_p$ 为颗粒密度。
• $d_p$ 为颗粒直径。相互作用长度尺度设为与颗粒直径相等。
• $\eta =\frac{1}{2}(1+e)$

颗粒能量的耗散 $\gamma$ 为：

$$\gamma =\frac{12\left(1-e^2\right)g_0}{d_p\sqrt{\pi }}{\alpha }_p{\alpha }_{p,\text{sum}}{\rho }_p{{\theta }_p}^{3/2}$$

(2370)

由于相间曳力导致的颗粒能量耗散 $J_p$ 为：

$$J_p=A_D[3{\theta }_p-\frac{A_D{d}_p{(v_g-v_p)}^2}{4{\alpha }_p{\rho }_p{g}_0\sqrt{\pi {\theta }_p}}]$$

(2371)

其中，$A_D$ 为相间动量传递系数。

第一项归功于 Gidaspow 的 [466]，将始终包括在内。第二项归功于 Louge 等人的 [510]，仅当颗粒能量传递模型的交叉相关项属性设为 Louge 时才包括在内。

Eqn. (2366) 中的最后一项 ${\alpha }_p{\rho }_p{ϵ}_p$ 是颗粒相湍动能耗散所产生的源项。仅当使用湍流粘滞态对颗粒相建模时，此项才存在。

颗粒温度的代数模型

通过假设局部平衡（其中能量耗散和结果相互平衡），颗粒能量方程 Eqn. (2366) 可以简化为直接针对 ${\theta }_p$ 求解的二次方程：

$${\alpha }_p{K}_{4p}{\theta }_p+{\alpha }_p{K}_{1p}tr\left(S\right)\sqrt{{\theta }_p}-\{K_{2p}{\left[tr\right(S\left)\right]}^2+2K_{3p}(S:S)\}=0$$

(2372)

其中：

$$K_{1p}=2g_0{\rho }_p(1+e)+3(e^2-1){\rho }_p{g}_0$$

(2373)

$$K_{2p}=\frac{4}{3\sqrt{\pi }}{\alpha }_p{\rho }_p{d}_p{g}_0(1+e)-\frac{2}{3}{K}_{3p}$$

(2374)

$$K_{3p}=\frac{4}{5\sqrt{\pi }}{\alpha }_p{\rho }_p{d}_p{g}_0(1+e)+\frac{{\mu }_p^K}{\sqrt{{\theta }_p}}$$

(2375)

$$K_{4p}=\frac{12\left(1-e^2\right)}{d_p\sqrt{\pi }}{\rho }_p{g}_0$$

(2376)

其中 $S$ 为应变率张量， $tr\left(S\right)$ 为应变率张量轨迹， ${\rho }_p$ 为颗粒密度， $d_p$ 为颗粒直径。相互作用长度尺度与颗粒直径相等。对有效颗粒粘度 ${\mu }_p^K$ 的动能贡献使用采用 Eqn. (2384) 或 Eqn. (2385) 的某一形式进行定义。

当使用颗粒温度的代数模型时，将忽略 Eqn. (2375) 中的最后一项：

$$$$ $$K_{3p}=\frac{4}{5\sqrt{\pi }}{\alpha }_p{\rho }_p{d}_p{g}_0(1+e)$$

(2377)

默认情况下，域中的最小颗粒温度设为 $1\times {10}^{-10}{m}^2/s^2$ ，但用户可以根据需要更改其值。要估计边界处的颗粒温度，可推算面网格单元处的颗粒温度，或者使用用户自定义的值。指定的颗粒温度值用于计算边界处的固相压力，它对结果具有显著影响。

固相压力、总体粘度和有效颗粒粘度的表达式作为颗粒温度的函数获得， ${\theta }_p$ 。固相压力包含碰撞和运动效应 [564]：

$$P_p=P_p^C+P_p^K$$

(2378)

$$P_p^C=2g_0{\rho }_p{\alpha }_p^2{\theta }_p(1+e)$$

(2379)

$$P_p^K={\rho }_p{\alpha }_p{\theta }_p$$

(2380)

总体粘度为 [542]：

$${\xi }_p=\frac{4}{3}{{\alpha }_p^2{\rho }_p{d}_{p}g}_0(1+e)\sqrt{\frac{{\theta }_p}{\pi }}$$

(2381)

有效颗粒粘度 ${\mu }_p$ 包含碰撞、运动和摩擦效应：

$${\mu }_p={\mu }_p^C+{\mu }_p^K+{\mu }_p^f$$

(2382)

用户自定义的最大固体粘度限制应用于 ${\mu }_p$ 。

$${\mu }_p^C=\frac{4}{5}{{\alpha }_p^2{\rho }_p{d}_{p}g}_0(1+e)\sqrt{\frac{{\theta }_p}{\pi }}$$

(2383)

可以在两种形式的颗粒动力学粘度之间选择：

• Gidaspow [466] 形式为：

  $${\mu }_p^K=\frac{10{\rho }_p{d}_p\sqrt{{\pi \theta }_p}}{96(1+e)g_0}{[1+\frac{4}{5}{g}_0{\alpha }_p(1+e)]}^2$$

  (2384)

• Syamlal [433] 形式为：

  $${\mu }_p^K=\frac{{{\alpha }_p\rho }_p{d}_p\sqrt{{\pi \theta }_p}}{6\left(3-e\right)}[0.5(3e+1)+\frac{2}{5}(1+e\left)\right(3e-1\left)g_0{\alpha }_p\right]$$

  (2385)

Syamlal 版本预测颗粒体积分数低于 0.3 时的较低粘度 [564]。建议根据所选的颗粒动力学粘度版本使用相应的线性拖曳法（Gidaspow 或 Syamlal）。