颗粒应力

颗粒-颗粒相互作用在固体颗粒流中意义重大。颗粒-颗粒相互作用被视为相中的内力。

Simcenter STAR-CCM+ 提供两个模型，以考虑固体颗粒-颗粒相互作用力。这些模型只适用于离散相。

固相压力

压缩力（或固相压力）作为固体颗粒流中颗粒-颗粒相互作用的一个模型提供。

它作为固体颗粒相动量方程中的以下内力项实现：

图 1. EQUATION_DISPLAY

{(F_{i n t})}_{i} = - \frac{α_{i}}{{Σ_{j = 1}}^{M} α_{p, j}} [e^{A (α_{p, \max} - \sum_{j = 1}^{M} α_{p, j})}] \nabla (\sum_{j = 1}^{M} α_{p, j})

(2348)

其中：

$α_{p, m a x}$ 为最大填充限制

$α_{p, j}$ 为第 j 个颗粒相的体积分数

$M$ 为颗粒相的数量

$A$ 为模型常数，默认情况下设为 -600.0

在多相流体模拟过程中激活时，仅当域的任何部分中的固相体积分数接近 $α_{p, m a x}$ 时，固相压力才会起作用。该力的作用是阻止随着固相体积分数接近最大填充限制而形成以指数级增加的不实际固体填充分数。此模型对于研究包含固体的多相流体非常有用，因为无需考虑由于摩擦和/或碰撞产生的固体应力效应。

默认情况下最大填充限制设为 0.624，代表刚性球形固体颗粒。

颗粒压力

颗粒压力模型提供一种方法来估计颗粒介质中的应力。该模型适用于气固流，通常用于流化床应用。

流化床反应器广泛用于燃烧、催化裂化和各种其他化工和冶金过程。颗粒运动可分为两个流态 - 运动和摩擦。在运动流态中，颗粒运动受颗粒之间的碰撞控制。通过气体运动理论类推，并假设颗粒的分布和碰撞属性之后，可以针对单一颗粒流衍生颗粒压力运动理论 [466] 和 [512]。

在摩擦流态中，颗粒运动受接触控制，采用从土壤力学借用的经验公式。使用颗粒压力模型时，可以使用多个颗粒相（即不同大小的颗粒）。Schaeffer [542] 在基于临界状态理论简化版本的摩擦流态中描述了应力。Johnson 和 Jackson [483] 也确立了摩擦流态中应力的本构关系。

然后获得完全应力张量以描述固相动量方程中的颗粒-颗粒相互作用项：

图 2. EQUATION_DISPLAY

{(F_{int})}_{p} = \nabla\cdot {\bar{S}}_{p}

(2349)

其中，颗粒应力张量定义为：

图 3. EQUATION_DISPLAY

{\bar{S}}_{p} = [- P_{p} + (ξ_{p} - \frac{2}{3} μ_{p}) \nabla\cdot v_{p}] I

(2350)

其中：

$P_{p}$ 为固相压力。
$μ_{p}$ 为有效颗粒粘度。
$I$ 为单位张量。
下标 p 用于表示颗粒相。

$ξ_{p}$ 为总体粘度。如果仅激活摩擦流态，则 $ξ_{p}$ 设为 0。如果仅激活运动流态，则使用 Eqn. (2381) 计算 $ξ_{p}$ 。如果同时激活这两个流态，则根据选择的摩擦模型计算 $ξ_{p}$ 。

运动流态

运动流态由低于最大填充限制 $α_{p, m a x}$ 的颗粒体积分数体现。在运动流态中，颗粒运动受颗粒之间的碰撞控制。颗粒温度 $θ_{p}$ 是颗粒的波动动能的度量：

图 4. EQUATION_DISPLAY

θ_{p} = \frac{1}{3} 〈 {v′}_{p i} \cdot {v′}_{p i} 〉

(2351)

其中， ${v′}_{p i}$ 为颗粒相的随机波动速度， $〈〉$ 表示整体平均。

颗粒碰撞的概率由颗粒径向分布函数 $g_{0}$ 体现。径向分布函数表示颗粒的空间分布，因此它们的接近值可以与离散相体积分数相关。[451] 中的形式已实现：

图 5. EQUATION_DISPLAY

g_{0} = \frac{3}{5} {[1 - {(\frac{α_{p}}{α_{p, m a x}})}^{1 / 3}]}^{- 1}

(2352)

当 $α_{p}$ 逼近最大填充限制 $α_{p, m a x}$ 时，此函数变为未定义。在此限制内，对于 $α_{p} > α_{c r i t}$ ，Eqn. (2352) 由 [563] 中建议的方程补充：

图 6. EQUATION_DISPLAY

g_{0} = 1.08 \times 10^{3} + 1.08 \times 10^{6} (α_{p} - α_{c r i t}) + 1.08 \times 10^{9} {(α_{p} - α_{c r i t})}^{2} + 1.08 \times 10^{12} {(α_{p} - α_{c r i t})}^{3}

(2353)

其中：

图 7. EQUATION_DISPLAY

α_{c r i t} = α_{p, m a x} {(1 - \frac{0.6}{1.08 \times 10^{3}})}^{3}

(2354)

颗粒碰撞耗散的能量由恢复系数 e 体现。可以指定 e（默认情况下 e = 0.9）。

混合物最大填充分数

Yu 和 Standish [575] 建议了经验相关性，以估计多颗粒混合物的最大填充限制。此相关性的混合物颗粒数没有任何限制。

$M$ 个颗粒混合物的累积颗粒体积分数 $α_{p, s u m}$ 为：

图 8. EQUATION_DISPLAY

α_{p, s u m} = \sum_{n = 1}^{M} α_{n}

(2355)

混合物最大填充分数为：

图 9. EQUATION_DISPLAY

α_{p, m a x}^{m} = m i n {\frac{α_{i, m a x}}{1 - \sum_{j = 1}^{i} (1 - \frac{α_{i, m a x}}{p_{i j}}) (\frac{c x_{i}}{X_{i j}}) - \sum_{j = i + 1}^{M} (1 - \frac{α_{i, m a x}}{p_{i j}}) (\frac{c x_{i}}{X_{i j}})}}

(2356)

其中， $i$ =1、2... $M$ ，是模拟中按从最粗到最细顺序排列的颗粒相。

图 10. EQUATION_DISPLAY

c x_{i} = \frac{α_{i}}{α_{p, s u m}}

(2357)

图 11. EQUATION_DISPLAY

X_{i j} = {\begin{matrix} \frac{1 - r_{i j}^{2}}{2 - α_{i, m a x}} & j < i \\ 1 - \frac{1 - r_{i j}^{2}}{2 - α_{i, m a x}} & j \geq i \end{matrix}

(2358)

图 12. EQUATION_DISPLAY

r_{i j} = {\begin{matrix} \frac{d_{p, i}}{d_{p, j}} & j \leq i \\ \frac{d_{p, j}}{d_{p, i}} & j > i \end{matrix}

(2359)

图 13. EQUATION_DISPLAY

p_{i j} = {\begin{matrix} α_{i, m a x} + α_{i, m a x} (1 - α_{i, m a x}) (1 - 2.35 r_{i j} + 1.35 r_{i j}^{2}) & r_{i j} \leq 0.741 \\ α_{i, m a x} & r_{i j} > 0.741 \end{matrix}

(2360)

摩擦流态

可以在摩擦流态中使用以下模型：

已修正的约翰逊模型
Schaeffer

已修正的约翰逊摩擦模型

在累积颗粒体积分数 $α_{p, s u m}$ 超过指定的最小摩擦体积分数填充限制 $α_{p, m i n}^{f}$ 的区域中，已修正的约翰逊模型 [483] 会激活。此流态中的固相压力由摩擦固相压力 $P_{p}^{f}$ 给出：

图 14. EQUATION_DISPLAY

P_{p}^{f} = {\begin{matrix} \frac{α_{p}}{α_{p, s u m}} F r (\frac{{(α_{p, s u m} - α_{p, m i n}^{f})}^{r}}{{(α_{p, m a x}^{m} - α_{p, s u m})}^{s}}) & α_{p, s u m} > α_{p, m i n}^{f} \\ 0 & α_{p, s u m} \leq α_{p, m i n}^{f} \end{matrix}

(2361)

其中：

$α_{p, m a x}^{m}$ 为混合物最大填充分数

$F r$ 、 $r$ 和 $s$ 为用户指定的经验常数

此流态中的有效颗粒粘度 $μ_{p}^{f}$ 由摩擦粘度给出：

图 15. EQUATION_DISPLAY

μ_{p}^{f} = {\begin{matrix} m i n (\frac{P_{p}^{f} \sin ϕ}{\sqrt{2 D_{p} D_{p} + \frac{θ_{p}}{d_{p}^{2}}}}, μ_{p, m a x}) & α_{p, s u m} > α_{p, m i n}^{f} \\ 0 & α_{p, s u m} \leq α_{p, m i n}^{f} \end{matrix}

(2362)

其中：

$ϕ$ 为内摩擦角。使用约翰逊模型时，建议的值为 28.5 $°$ 。
$D_{p}$ 为颗粒相的应变率张量。
$μ_{p, m a x}$ 为应用于 $μ_{p}$ 的用户自定义的最大固体粘度限制。

在未激活运动流态的情况下，忽略涉及颗粒温度 $θ_{p}$ 的项。

在摩擦流态中，当累积颗粒体积分数超过最小摩擦体积分数 $α_{p, m i n}^{f}$ 时，总体粘度 $ξ_{p}$ 设为 0，在其他情况下，将使用 Eqn. (2381) 来计算。

Schaeffer 摩擦模型

在累积颗粒体积分数 $α_{p, s u m}$ 超过指定的混合物最大填充分数 $α_{p, m a x}^{m}$ 的区域中，Schaeffer [542] 模型会激活。此流态中的固相压力由摩擦固相压力 $P_{p}^{f}$ 给出：

图 16. EQUATION_DISPLAY

P_{p}^{f} = {\begin{matrix} \frac{α_{p}}{α_{p, s u m}} (10^{25} {(α_{p, s u m} - α_{p, m a x}^{m})}^{10}) & α_{p, s u m} > α_{p, m a x}^{m} \\ 0 & α_{p, s u m} \leq α_{p, m a x}^{m} \end{matrix}

(2363)

此流态中的有效颗粒粘度 $μ_{p}^{f}$ 由摩擦粘度给出：

图 17. EQUATION_DISPLAY

μ_{p}^{f} = {\begin{matrix} m i n (\frac{P_{p}^{f} \sin ϕ}{\sqrt{4 I_{2 D}}}, μ_{p, m a x}) & α_{p, s u m} > α_{p, m a x}^{m} \\ 0 & α_{p, s u m} \leq α_{p, m a x}^{m} \end{matrix}

(2364)

其中：

$ϕ$ 为内摩擦角，默认情况下设为 25^o。
$μ_{p, m a x}$ 为应用于 $μ_{p}$ 的用户自定义的最大固体粘度限制。
$I_{2 D}$ 是应变率张量偏应力的第二个不变量：

图 18. EQUATION_DISPLAY

I_{2 D} = \frac{1}{6} [{(D_{p 11} - D_{p 22})}^{2} + {(D_{p 22} - D_{p 33})}^{2} + {(D_{p 33} - D_{p 11})}^{2}] + D_{p 12}^{2} + D_{p 23}^{2} + D_{p 31}^{2}

(2365)

在同时指定流态和摩擦的摩擦流态中，当超过混合物最小填充分数 $α_{p, m a x}^{m}$ 时，总体粘度 $ξ_{p}$ 设为 0，在其他情况下，将使用 Eqn. (2381) 来计算。