磁矢势模型

磁矢势方程

Simcenter STAR-CCM+ 使用有限体积或有限元方法求解磁矢势。根据离散化方法，Simcenter STAR-CCM+ 求解 Eqn. (4241) 的不同积分形式。当使用有限体积法时，Simcenter STAR-CCM+ 允许选择守恒和非守恒公式。

以下方程考虑 3D 模式和横向电模式（其中磁矢势位于由 2D 域定义的平面中）。有关横向磁模式（其中磁矢势垂直于 2D 域）的信息，请参见横向磁模式。

当 Simcenter STAR-CCM+ 求解电势时，基于 Eqn. (4277) 计算此项。当 Simcenter STAR-CCM+ 不求解电势时，方程中不包括此项。

在稳态和准非稳态应用中，Eqn. (4234) 中用于定义涡流密度的瞬态项已不存在。

有限体积磁矢势：守恒公式

在守恒公式中，Simcenter STAR-CCM+ 不施加测量条件，而是求解方程：

$${\oint }_A^{}\frac{1}{\mu }\nabla \mathbf{\text{A}}\cdot d\mathbf{\text{a}}-{\oint }_A^{}\frac{1}{\mu }(\nabla \mathbf{\text{A}}{)}^T\cdot da+{\int }_V^{}\sigma \frac{\partial \mathbf{\text{A}}}{\partial t}dV+{\int }_V^{}\sigma \nabla \varphi dV=-{\int }_V^{}{J}_{ex}dV$$

(4298)

有限体积磁矢势：非守恒公式

在非守恒方法中，Simcenter STAR-CCM+ 求解方程：

$${\oint }_A^{}\frac{1}{\mu }\nabla \mathbf{\text{A}}\cdot d\mathbf{\text{a}}+{\int }_V^{}\sigma \frac{\partial \mathbf{\text{A}}}{\partial t}dV+{\int }_V^{}\sigma \nabla \varphi dV=-{\int }_V^{}{J}_{\mathrm{ex}}dV$$

(4299)

Simcenter STAR-CCM+ 强制实施库仑规范，并求解所谓投影变量的额外标量方程。如果 $\mathbf{A}$ 是求解，则任意势 ${\mathbf{\text{A}}}_0=\mathbf{\text{A}}-\nabla \phi$ ，其中 $\phi$ 为称作投影变量的任意标量场，也是有效的求解。通过在 ${\mathbf{A}}_0$ 上强制实施库仑规范来构造投影方程：

$$\nabla \cdot \nabla \phi =\nabla \cdot \mathbf{\text{A}}$$

(4300)

此方程以增量形式进行求解。

有限元磁矢势

在稳态和准非稳态分析中，Simcenter STAR-CCM+ 求解 Eqn. (4241) 的以下正则化弱型：

$$\begin{array}{c}{\int }_V\begin{array}{c}\frac{1}{\mu }(\nabla \times A)\cdot (\nabla \times \delta A)\end{array}dV-{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_N}\begin{array}{c}\left[n\times \delta A\right]\cdot \left[n\times J_S\right]\end{array}da+{\int }_V\begin{array}{c}\kappa A\cdot \delta A\end{array}dV={\int }_V\begin{array}{c}{J}_{ex}\cdot \delta A\end{array}dV\\ \end{array}$$

(4301)

其中， $\delta A$ 为任意测试函数， $J_{ex}$ 为电流密度的源， $J_S$ 为边界 ${\Gamma }_N$ 处的电流片。

Eqn. (4301) 确保唯一定义磁矢势，因为它实现测量条件：

$$\nabla \cdot \kappa A=0$$

(4302)

这说明 $\kappa A$ 的法向分量在具有不同磁导率的交界面上是连续的。

参数 $\kappa$ 定义为：

$$\kappa =\frac{1}{\mu }\tilde{\kappa }$$

(4303)

其中， $\tilde{\kappa }$ 为用户指定的正则化参数。

在瞬态分析中，正则化项：

$$\begin{array}{c}{\int }_V\begin{array}{c}\kappa A\cdot \delta A\end{array}dV\end{array}$$

(4304)

将替换为瞬态项：

$$\begin{array}{c}{\int }_V\begin{array}{c}\sigma \frac{\partial A}{\partial t}\cdot \delta A\end{array}dV\end{array}$$

(4305)

Eqn. (4301) 在空间上离散化，需要使用有限元方法求解。在每个单元域中，使用节点形状函数对位置进行插值，而使用最低阶 H(旋度) 共形形状函数对磁矢势进行插值。有关详细信息，请参见H(旋度) 层级形状函数。

对于最低阶有限元空间的正确表示，将提供以下形式的磁矢势分布：

$$A=a+(b\times x)$$

(4306)

其中， $a$ 和 $b$ 为常数矢量， $x$ 为位置矢量。

谐波平衡 Fv 磁矢势

对于具有单一谐波时间依赖性的势，Simcenter STAR-CCM+ 基于下式计算复磁矢势：

$$\begin{array}{l}\begin{array}{c}-\underset{A}{\oint }\left(\frac{1}{\mu }\nabla A^{\prime }\right)\cdot da-{\omega }_0\underset{V}{\int }({\sigma }^{"}{A}^{\prime }+{\sigma }^{\prime }{A}^{"})dV+\underset{V}{\int }({\sigma }^{\prime }\nabla {\varphi }^{\prime }-{\sigma }^{"}\nabla {\varphi }^{"})dV=\underset{V}{\int }{J}_{ex}^{\prime }dV\end{array}\\ \begin{array}{c}-\underset{A}{\oint }\left(\frac{1}{\mu }\nabla A^{"}\right)\cdot da+{\omega }_0\underset{V}{\int }({\sigma }^{\prime }{A}^{\prime }-{\sigma }^{"}{A}^{"})dV+\underset{V}{\int }({\sigma }^{\prime }\nabla {\varphi }^{"}+{\sigma }^{"}\nabla {\varphi }^{\prime })dV=\underset{V}{\int }{J}_{ex}^{"}dV\end{array}\end{array}$$

(4307)

上述公式通过对 Eqn. (4266) 进行网格单元域积分获得。假设磁导率 $\mu ={\mu }_0$ 为常数并等于真空渗透率。

Simcenter STAR-CCM+ 使用有限体积法对 Eqn. (4307) 进行离散和求解。当 Simcenter STAR-CCM+ 不为电势求解 Eqn. (4278) 时，左侧的最后一项将消隐。

谐波平衡 FE 磁矢势

借助有限元法，Simcenter STAR-CCM+ 可从以下方面计算复磁矢势：

$$\begin{array}{c}{\int }_V\begin{array}{c}\frac{1}{\mu }(\nabla \times \hat{A})\cdot (\nabla \times \delta A)\end{array}dV+{\int }_V\begin{array}{c}i{\omega }_0\hat{\sigma }\hat{A}\cdot \delta A\end{array}dV-{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_N}\begin{array}{c}da[\hat{H}\times n]\cdot \delta A\end{array}={\int }_V\begin{array}{c}\hat{J}\cdot \delta A\end{array}dV\\ \end{array}$$

(4308)

这通过将 Eqn. (4254) 与任意测试函数 $\delta A\in H\left(\mathrm{curl}\right)$ 相乘然后进行分部积分来获得（请参见 H(Curl) Hierarchical Shape Functions）。

如果涡电流被抑制，则以下项：

$${\int }_V\begin{array}{c}i{\omega }_0\hat{\sigma }\hat{A}\cdot \delta A\end{array}dV$$

(4309)

将替换为正则项：

$${\int }_V\begin{array}{c}i\frac{\tilde{k}}{\mu }\hat{A}\cdot \delta A\end{array}dV$$

(4310)

其中， $\tilde{\kappa }$ 为用户指定的正则化参数。

源项

一般情况下， $J_{\mathrm{ex}}$ 可以写为：

其中， ${\mathbf{\text{J}}}_u$ 为用户自定义的电流密度， ${\mathbf{\text{J}}}_{pm}$ 为永磁所致的电流密度：

${\mathbf{\text{B}}}_r$ 为永磁剩余磁通量密度，即在没有外部磁场的情况下存在于磁体中的磁通量密度。

对于谐波时间依赖性， ${\hat{J}}_{\mathrm{ex}}$ 是复数， ${\mathbf{\text{J}}}_{pm}$ 不可用。

当对励磁线圈或磁流体动力建模时，Simcenter STAR-CCM+ 将额外源项添加到 Eqn. (4311)。这些项将在专门的章节中讨论。

边界和交界面条件

在域边界处，求解必须满足狄利克雷或诺伊曼边界条件。狄利克雷边界条件定义磁矢势 $A$ 。诺伊曼边界条件定义电流片 $J_S$ ，即与边界相切的磁场：

在 Eqn. (4307) 中，磁矢势和电流片是复量。

狄利克雷边界条件的实现取决于离散化方法。在有限体积实现中，狄利克雷边界条件规定边界处的磁矢势 $A$ 。在有限元实现中，狄利克雷边界条件规定与边界相切的 $A$ 分量。

在有限元架构中，还可以规定交界面处的电流片 $J_S$ ：

其中， $H_1$ 和 $H_0$ 表示交界面两侧的磁场， $n$ 为从 0 侧指向 1 侧的表面法向。

Eqn. (4313) 根据 Eqn. (4314) 得出，其中域边界处的磁场为 $H_0$ ，计算域外部的磁场为 $H_1=0$ 。

对于电磁线圈，电流片边界（或交界面）条件可以解释为：

其中， $n_t$ 为线圈匝数， $I$ 为流过单匝线圈的电流， $L$ 为线圈长度。

周期和反周期交界面

在电机等许多应用中，可以使用周期交界面将横截面场分析减少至一定数量的极。

在周期交界面处，有限元磁矢势模型可用于指定周期或反周期条件，从而分别将分析减少至偶数个或奇数个极。

在有限元实现中，自由度位于网格单元边（请参见 H(旋度) 层级形状函数）。在周期交界面处，交界面一侧的单元边与交界面另一侧的对应边相连。

在周期条件下：

其中， $p$ 为极对数， $r$ 和 $\theta$ 为极坐标， ${\tau }_1$ and ${\tau }_2$ 为在交界面处彼此相连的两条边。

即在交界面的每一侧，转换后磁矢势的方向相同。

在反周期条件下：

即在交界面的每一侧，转换后磁矢势的方向相反。

横向磁势模型还支持周期和反周期条件。有关详细信息，请参见横向磁模式。

α-β 比例缩放

此比例缩放方法用于为剩余通量密度、磁导率和曲线拐点通量密度指定固有通量密度去磁曲线的温度拟合因子。拟合因子为 $S_{\alpha }\left(T\right)$ （垂直）和 $S_{\beta }\left(T\right)$ （水平）；它们通过设置四个常数 ${\alpha }_L$ 、 ${\alpha }_Q$ 、 ${\beta }_L$ 和 ${\beta }_Q$ 以及标准温度 $T_s$ 进行确定。请参见永磁的曲线观点已调整比例缩放方法和 B-H 曲线。因为该软件没有对这些值设定任何约束，请确保它们是现实的。函数与设置之间的关系如下：