谐波时间依赖性

对于具有谐波时间依赖性的场，可以方便地使用其复数相量表示计算势。

具有谐波时间依赖性的标量场通常以幅值和相位形式写入。例如，标量势 $ϕ$ 可以写为：

图 1. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} ϕ = \tilde{ϕ} \cos (ω t + θ_{ϕ}) \end{matrix}

(4244 4251)

其中 $ϕ$ 遵循幅值 $\tilde{ϕ}$ 、角频率 $ω$ 和相位 $θ_{ϕ}$ 的余弦定律。

角频率 $ω$ 通过以下方程与频率 $f$ 相关：

图 2. EQUATION_DISPLAY

ω = 2 π f

(4245)

同样，具有谐波时间依赖性的矢量场具有时间谐波标量分量。例如，可通过矩阵矢量表示法使用局部坐标分量写入磁场

H

：

图 3. EQUATION_DISPLAY

H = H_{i} i + H_{j} j + H_{k} k ≜ [\begin{matrix} {\begin{matrix} H \end{matrix}}_{i} i \\ \begin{matrix} H_{j} j \\ H_{k} k \end{matrix} \end{matrix}]

(4246)

其中

i

、

j

和

k

为局部坐标单位矢量，为方便起见，可以忽略：

图 4. EQUATION_DISPLAY

H ≜ [\begin{matrix} {\begin{matrix} H \end{matrix}}_{i} \\ \begin{matrix} H_{j} \\ H_{k} \end{matrix} \end{matrix}]

(4247)

每个矢量分量都有自己的幅值和相位：

图 5. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} {\begin{matrix} H \end{matrix}}_{i} = {\tilde{H}}_{i} \cos (ω t + θ_{H_{i}}) \\ \begin{matrix} H_{j} = {\tilde{H}}_{j} \cos (ω t + θ_{H_{j}}) \\ H_{k} = {\tilde{H}}_{k} \cos (ω t + θ_{H_{k}}) \end{matrix} \end{matrix}

(4248)

使用矩阵矢量表示法， $H$ 可以用其幅值和相位矢量来表示：

图 6. EQUATION_DISPLAY

H = [\begin{matrix} \begin{matrix} {\tilde{H}}_{i} \\ {\tilde{H}}_{j} \end{matrix} \\ {\tilde{H}}_{k} \end{matrix}] ⊙ \cos (ω t + [\begin{matrix} θ_{H_{i}} \\ \begin{matrix} θ_{H_{j}} \\ θ_{H_{k}} \end{matrix} \end{matrix}]) = \tilde{H} ⊙ \cos (ω t + θ_{H})

(4249)

其中 $⊙$ 表示哈达玛积，幅值 $\tilde{H}$ 和相位 $θ_{H}$ 如下：

图 7. EQUATION_DISPLAY

\tilde{H} = [\begin{matrix} \begin{matrix} {\tilde{H}}_{i} \\ {\tilde{H}}_{j} \end{matrix} \\ {\tilde{H}}_{k} \end{matrix}], θ_{H} = [\begin{matrix} \begin{matrix} θ_{H_{i}} \\ θ_{H_{j}} \end{matrix} \\ θ_{H_{k}} \end{matrix}]

(4250)

对于具有谐波时间依赖性的场，可以方便地使用其复相量表示来计算电势。考虑具有单一谐波时间依赖性的电势：

图 8. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} A = \tilde{A} ⊙ \cos (ω_{0} t + θ_{A}) \\ ϕ = \tilde{ϕ} \cos (ω_{0} t + θ_{ϕ}) \end{array}

(4244 4251)

电势 $A$ 和 $ϕ$ 可以用其复相量表示 $\hat{A}$ 和 $\hat{ϕ}$ 写为：

图 9. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} A = ℜ [\hat{A}] = ℜ [\tilde{A} {⊙ e}^{i ω_{0} t} e^{i θ_{A}}] = ℜ [{\hat{A}}_{0} e^{i ω_{0} t}] \\ ϕ = ℜ [\hat{ϕ}] = ℜ [\tilde{ϕ} e^{i ω_{0} t} e^{i θ_{ϕ}}] = ℜ [{\hat{ϕ}}_{0} e^{i ω_{0} t}] \end{array}

(4252)

其中， $i$ 是虚数单位，由 $i^{2} = - 1$ 定义， ${\hat{A}}_{0} = \tilde{A} ⊙ e^{i θ_{A}}$ 和 ${\hat{ϕ}}_{0} = \tilde{ϕ} ⊙ e^{i θ_{ϕ}}$ 是复幅值。

$A$ 的时间导数则为：

图 10. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial A}{\partial t} = ℜ [i ω_{o} \hat{A}]

(4253)

通过将电势和时间导数替换为其复数表示，Eqn. (4241) 和 Eqn. (4242) 变为：

图 11. EQUATION_DISPLAY

ℜ [\nabla\times {(\hat{μ})}^{- 1} \nabla\times \hat{A} + i ω_{0} \hat{σ} \hat{A}] = ℜ [- \hat{σ} \nabla \hat{ϕ} + {\hat{J}}_{e x}]

(4254)

图 12. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} ℜ [- \nabla \cdot (\hat{σ} \nabla \hat{ϕ})] = ℜ [\nabla \cdot (i ω_{0} \hat{σ} \hat{A}) + {\hat{S}}_{ϕ}] \end{matrix}

(4255)

其中， ${\hat{J}}_{e x}$ 是用户自定义源， ${\hat{S}}_{ϕ} = \nabla\cdot {\hat{J}}_{e x}$ 是用于考虑未求解物理量的用户自定义源（通常为零）。

复幅值 ${\hat{A}}_{0}$ 和 ${\hat{ϕ}}_{0}$ 可以按其实部和虚部表示如下：

图 13. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} {\hat{A}}_{0} = A_{0}^{'} + i A_{0}^{''} \\ {\hat{ϕ}}_{0} = ϕ_{0}^{'} + i ϕ_{0}^{''} \end{array}

(4256)

或以极坐标形式表示如下：

图 14. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} {\hat{A}}_{0} = \tilde{A} ⊙ e^{i θ_{A}} = \tilde{A} ⊙ (\cos θ_{A} + i \sin θ_{A}) \\ {\hat{ϕ}}_{0} = \tilde{ϕ} e^{i θ_{ϕ}} = \tilde{ϕ} (\cos θ_{ϕ} + i \sin θ_{ϕ}) \end{array}

(4257)

其中， $A_{0}^{'} = ℜ [{\hat{A}}_{0}]$ ， $A_{0}^{''} = ℑ [{\hat{A}}_{0}]$ ， $ϕ_{0}^{'} = ℜ [{\hat{ϕ}}_{0}]$ ， $ϕ_{0}^{''} = ℑ [{\hat{ϕ}}_{0}]$ 。

同样，复电势本身也可以按实部和虚部表示如下：

图 15. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} \hat{A} = A^{'} + i A^{''} = A + i A^{''} \\ \hat{ϕ} = ϕ^{'} + i ϕ^{''} = ϕ + i ϕ^{''} \end{matrix}

(4258)

其极坐标形式如下：

图 16. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} \hat{A} = {\hat{A}}_{0} e^{i ω_{0} t} = (A_{0}^{'} + i A_{0}^{''}) (\cos ω_{0} t + i \sin ω_{0} t) = (A_{0}^{'} \cos ω_{0} t - A_{0}^{''} \sin ω_{0} t) + i (A_{0}^{''} \cos ω_{0} t + A_{0}^{'} \sin ω_{0} t) \\ \hat{ϕ} = {\hat{ϕ}}_{0} e^{i ω_{0} t} = (ϕ_{0}^{'} + i ϕ_{0}^{''}) (\cos ω_{0} t + i \sin ω_{0} t) = (ϕ_{0}^{'} \cos ω_{0} t - ϕ_{0}^{''} \sin ω_{0} t) + i (ϕ_{0}^{''} \cos ω_{0} t + ϕ_{0}^{'} \sin ω_{0} t) \end{matrix}

(4259)

电流密度源是时间谐波矢量，可以表示为复量的实部

图 17. EQUATION_DISPLAY

J_{e x} = {\tilde{J}}_{e x} ⊙ \cos (ω_{0} t + θ_{J_{e x}}) = ℜ [{\hat{J}}_{e x}]

(4260)

其中

图 18. EQUATION_DISPLAY

{\hat{J}}_{e x} = {\tilde{J}}_{e x} ⊙ e^{i θ_{J_{e x}}} e^{i ω_{0} t} = {\hat{J}}_{{e x}_{0}} e^{i ω_{0} t} = (J_{{e x}_{0}}^{'} + i J_{{e x}_{0}}^{''}) e^{i ω_{0} t}

(4261)

可以进一步扩展如下

图 19. EQUATION_DISPLAY

{\hat{J}}_{e x} = (J_{{e x}_{0}}^{'} \cos ω_{0} t - J_{{e x}_{0}}^{''} \sin ω_{0} t) + i (J_{{e x}_{0}}^{''} \cos ω_{0} t + J_{{e x}_{0}}^{'} \sin ω_{0} t)

(4262)

导电率被视为与时间和频率无关的（对称张量）物理量，用于考虑位移电流，可表示如下：

图 20. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} \hat{σ} = σ^{'} + i σ^{"} = [\begin{matrix} σ_{i i}^{'} & σ_{j i}^{'} & σ_{i k}^{'} \\ σ_{i j}^{'} & σ_{j j}^{'} & σ_{j k}^{'} \\ σ_{i k}^{'} & σ_{j k}^{'} & σ_{k k}^{'} \end{matrix}] + i [\begin{matrix} σ_{i i}^{''} & σ_{i j}^{''} & σ_{i k}^{''} \\ σ_{i j}^{''} & σ_{j j}^{''} & σ_{j k}^{''} \\ σ_{i k}^{''} & σ_{j k}^{''} & σ_{k k}^{''} \end{matrix}] = [\begin{matrix} {\tilde{σ}}_{i i} e^{i θ_{σ_{i i}}} & {\tilde{σ}}_{i j} e^{i θ_{σ_{i j}}} & {\tilde{σ}}_{i k} e^{i θ_{σ_{i k}}} \\ {\tilde{σ}}_{i j} e^{i θ_{σ_{i j}}} & {\tilde{σ}}_{j j} e^{i θ_{σ_{j j}}} & {\tilde{σ}}_{j k} e^{i θ_{σ_{j k}}} \\ {\tilde{σ}}_{i k} e^{i θ_{σ_{i k}}} & {\tilde{σ}}_{j k} e^{i θ_{σ_{j k}}} & {\tilde{σ}}_{k k} e^{i θ_{σ_{k k}}} \end{matrix}] \end{matrix}

(4263)

在低频，可以将磁导率假设为实量。Eqn. (4254) 然后采用一般式：

图 21. EQUATION_DISPLAY

ℜ [\nabla\times μ^{- 1} \times (A^{'} + i A^{''}) + i ω_{0} (σ^{'} + σ^{''}) (A^{'} + i A^{''})] = ℜ [- (σ^{'} + i σ^{''}) \nabla \hat{ϕ} + (J_{e x}^{'} + i J_{e x}^{''})]

(4264)

查看时间谐波复数表示的扩展表达式的实部，可以看出，为了满足微分方程，必须满足这些具有复幅值的方程的实部和虚部。

图 22. EQUATION_DISPLAY

\nabla\times μ^{- 1} \times (A_{0}^{'} + i A_{0}^{''}) + i ω_{0} (σ^{'} + σ^{''}) (A_{0}^{'} + i A_{0}^{''}) = - (σ^{'} + i σ^{''}) \nabla {\hat{ϕ}}_{0} + (J_{e x_{0}}^{'} + i J_{{e x}_{0}}^{''})

(4265)

通过使用矢量标识并施加库仑规范 $\nabla\cdot A = 0$ ，Eqn. (4264) 的实部和虚部采用简单一般式：

图 23. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} \begin{matrix} - \nabla\cdot (μ^{- 1} \nabla A_{0}^{'}) - ω_{0} σ^{"} A_{0}^{'} - ω_{0} σ^{'} A_{0}^{''} + σ^{'} \nabla ϕ_{0}^{'} - σ^{"} \nabla ϕ_{0}^{''} - J_{e x}^{'} = 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - \nabla\cdot (μ^{- 1} \nabla A_{0}^{''}) + ω_{0} σ^{'} A_{0}^{'} - ω_{0} σ^{"} A_{0}^{''} + σ^{'} \nabla ϕ_{0}^{''} + σ^{"} \nabla ϕ_{0}^{'} - J_{e x}^{"} \end{matrix} = 0 \end{array}

(4266)

同样，Eqn. (4255) 的实部和虚部采用一般式：

图 24. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} \begin{matrix} - \nabla\cdot (σ^{'} \nabla ϕ_{0}^{'}) + \nabla\cdot (σ^{"} \nabla ϕ_{0}^{''}) + ω_{0} \nabla\cdot (σ^{'} A_{0}^{''}) + ω_{0} \nabla\cdot (σ^{"} A_{0}^{'}) - S_{ϕ}^{'} = 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - \nabla\cdot (σ^{'} \nabla ϕ_{0}^{''}) - \nabla\cdot (σ^{"} \nabla ϕ_{0}^{'}) - ω_{0} \nabla\cdot (σ^{'} A_{0}^{'}) + ω_{0} \nabla\cdot (σ^{"} A_{0}^{''}) - S_{ϕ}^{"} = 0 \end{matrix} \end{array}

(4267)

复磁通量密度 $\hat{B}$ 和磁场 $\hat{H}$ 的计算方法为：

图 25. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} \hat{B} = \nabla\times A_{0}^{'} + i \nabla\times A_{0}^{''} \\ \hat{H} = μ^{- 1} (\nabla\times A_{0}^{'} + i \nabla\times A_{0}^{''}) \end{array}

(4268)

复电场 $\hat{E}$ 和总电流密度 $\hat{J}$ 为：

图 26. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} \hat{E} = - \nabla ϕ_{0}^{'} + ω_{0} A_{0}^{''} - i (\nabla ϕ_{0}^{''} + ω_{0} A_{0}^{'}) \\ \hat{J} = J^{'} + i J^{"} = (σ^{'} + {i σ}^{"}) \hat{E} \end{array}

(4269)

电流密度的幅值 $| \hat{J} |$ 也称为峰值。均方根电流密度 $J_{R M S}$ 表示正弦系统的时间平均电流密度，通过 $| \hat{J} | = \sqrt{2} J_{R M S}$ 与 $| \hat{J} |$ 相关。

谐波横向磁势

同样，对于位于由 2D 域定义的平面上的磁场，Eqn. (4243) 可以写为：

图 27. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} \begin{matrix} - \nabla\cdot (μ^{- 1} \nabla A_{n}^{'}) - ω_{0} σ^{"} A_{n}^{'} - ω_{0} σ^{'} A_{n}^{"} - J_{n, e x}^{'} = 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - \nabla\cdot (μ^{- 1} \nabla A_{n}^{"}) + ω_{0} σ^{'} A_{n}^{'} - ω_{0} σ^{"} A_{n}^{'} - J_{n, e x}^{"} \end{matrix} = 0 \end{array}

(4270)

其中，总电流密度垂直于 2D 域：

图 28. EQUATION_DISPLAY

{\hat{J}}_{n} = J_{n}^{'} + i J_{n}^{"}

(4271)

求解

Simcenter STAR-CCM+ 提供多个谐波平衡模型，这些模型使用有限体积法或有限元法计算复电势。有关为每个模型求解的积分方程的信息，请参见：


谐波平衡 Fv 电动势谐波平衡 Fv 磁矢势	这些模型使用有限体积法求解此复电势的耦合方程组 Eqn. (4266)-Eqn. (4267)。
谐波平衡 FE 磁矢势	此模型使用有限元法求解复磁矢势的 Eqn. (4254)。在 Eqn. (4254)中，将忽略包含电势的项。
谐波平衡 Fv 横向磁势	此模型使用有限体积法求解复磁势的 Eqn. (4270)。