谐波时间依赖性

对于具有谐波时间依赖性的场，可以方便地使用其复数相量表示计算势。

具有谐波时间依赖性的标量场通常以幅值和相位形式写入。例如，标量势 $\varphi$ 可以写为：

其中 $\varphi$ 遵循幅值 $\tilde{\varphi }$、角频率 $\omega$ 和相位 ${\theta }_{\varphi }$ 的余弦定律。

角频率 $\omega$ 通过以下方程与频率 $f$ 相关：

每个矢量分量都有自己的幅值和相位：

使用矩阵矢量表示法，$H$ 可以用其幅值和相位矢量来表示：

其中 $\odot$ 表示哈达玛积，幅值 $\tilde{H}$ 和相位 ${\theta }_H$ 如下：

对于具有谐波时间依赖性的场，可以方便地使用其复相量表示来计算电势。考虑具有单一谐波时间依赖性的电势：

电势 $A$ 和 $\varphi$ 可以用其复相量表示 $\hat{A}$ 和 $\hat{\varphi }$ 写为：

其中，$i$ 是虚数单位，由 $i^2=-1$ 定义，${\hat{A}}_0=\tilde{A}\odot e^{i{\theta }_A}$ 和 ${\hat{\varphi }}_0=\tilde{\varphi }\odot e^{i{\theta }_{\varphi }}$ 是复幅值。

$A$ 的时间导数则为：

通过将电势和时间导数替换为其复数表示，Eqn. (4241) 和 Eqn. (4242) 变为：

其中，${\hat{J}}_{ex}$ 是用户自定义源，${\hat{S}}_{\varphi }=\nabla \cdot {\hat{J}}_{ex}$ 是用于考虑未求解物理量的用户自定义源（通常为零）。

复幅值 ${\hat{A}}_0$ 和 ${\hat{\varphi }}_0$ 可以按其实部和虚部表示如下：

或以极坐标形式表示如下：

其中，$A_0^{\prime }=\Re \left[{\hat{A}}_0\right]$，$A_0^{\prime \prime }=\Im \left[{\hat{A}}_0\right]$，${\varphi }_0^{\prime }=\Re \left[{\hat{\varphi }}_0\right]$，${\varphi }_0^{\prime \prime }=\Im \left[{\hat{\varphi }}_0\right]$。

同样，复电势本身也可以按实部和虚部表示如下：

其极坐标形式如下：

电流密度源是时间谐波矢量，可以表示为复量的实部

其中

可以进一步扩展如下

导电率被视为与时间和频率无关的（对称张量）物理量，用于考虑位移电流，可表示如下：

在低频，可以将磁导率假设为实量。Eqn. (4254) 然后采用一般式：

通过使用矢量标识并施加库仑规范 $\nabla \cdot A=0$，Eqn. (4264) 的实部和虚部采用简单一般式：

同样，Eqn. (4255) 的实部和虚部采用一般式：

复磁通量密度 $\hat{B}$ 和磁场 $\hat{H}$ 的计算方法为：

复电场 $\hat{E}$ 和总电流密度 $\hat{J}$ 为：

电流密度的幅值 $\left|\hat{J}\right|$ 也称为峰值。均方根电流密度 $J_{RMS}$ 表示正弦系统的时间平均电流密度，通过 $\left|\hat{J}\right|=\sqrt{2}{J}_{RMS}$ 与 $\left|\hat{J}\right|$ 相关。