S-Gamma 相间相互作用

预积分 S-Gamma

此模型使用分析方法计算积分。

破碎

通过对具有尺寸 $d$ 的气泡或液滴按各种直径破碎的效应进行积分，可找到破碎的源项。破碎的一般形式来自 Lo 和 Zhang [507]：

$$\frac{d}{dt}{S}_{\gamma }={\int }_{{\text{d}}_{lo}}^{{\text{d}}_{hi}}nP\left(d\right)\frac{\left(N{\left(d\right)}^{1-\gamma /3}-1\right)}{\tau \left(d\right)}{d}^{\gamma }d\left(d\right)$$

(2198)

其中：

• $N$ 为气泡分解时产生的碎片或子气泡数。
• $\tau$ 为破碎的时间尺度。
• $d_{lo}$ 和 $d_{hi}$ 为特定破碎流态的上限和下限。

Simcenter STAR-CCM+ 中的实现同时考虑粘性破碎流态和惯性破碎流态。对于层流，粘性破碎的下限为临界直径 $d_{cr}$ ，上限为无穷大。对于湍流，上限为 Kolmogorov 长度尺度 $L_k$ ；如果 $d_{cr}$ 大于 $L_k$ ，则粘性破碎不起任何作用。对于惯性破碎，将执行从 $L_k$ 和 $d_{cr}$ 中的较大者到无穷大的积分。通过采用以下形式编写 $N\left(d\right)$ 和 $\tau \left(d\right)$ ：

$$N\left(d\right)=\mathrm{N\text{'}}{d}^b$$

(2199)

$$\tau \left(d\right)=\mathrm{\tau \prime }{d}^a$$

(2200)

可以采用以下形式编写该积分：

$$\frac{d}{dt}{S}_{\gamma }=\frac{{\mathrm{N\text{'}}}^{1-\gamma /3}}{\mathrm{\tau \prime }}{\int }_{{\text{d}}_{lo}}^{{\text{d}}_{hi}}nP\left(d\right)d^{{\delta }_1}d\left(d\right)-\frac{1}{\mathrm{\tau \prime }}{\int }_{{\text{d}}_{lo}}^{{\text{d}}_{hi}}nP\left(d\right)d^{{\delta }_2}d\left(d\right)$$

(2201)

其中， ${\delta }_1=\gamma +b-b\gamma /3-a$ 并且 ${\delta }_2=\gamma -a$ 。此方程形式来自 Hill [474]。

粘性破碎

对于粘性破碎，临界直径给定为（[507]、[474]）：

$$d_{cr}=\frac{2{\sigma \Omega }_{cr}}{{\mu }_c\dot{\gamma }}$$

(2202)

其中：

• ${\mu }_c$ 为连续相的粘度。
• $\sigma$ 为表面张力。
• $\dot{\gamma }$ 为局部剪切速率。
• ${\Omega }_{cr}$ 为临界毛细管数 [474]。

假定碎片数为二进制 [507]，即：

$$N\left(d\right)=2$$

(2203)

破碎时间尺度来自 [507]：

$$\tau \left(d\right)=\frac{{\mu }_{c}d}{\sigma }f\left(\lambda \right)$$

(2204)

其中：

• ${\mu }_c$ 为连续相动力粘度。
• $\sigma$ 为表面张力。
• $\text{log}f\left(\lambda \right)=p_0+p_1\text{log}\left(\lambda \right)+p_2{\left(\text{log}\left(\lambda \right)\right)}^2$ 和 $\lambda ={\mu }_d/{\mu }_c$ ，并且常数在 [474] 中给定。

惯性破碎

对于惯性破碎，临界气泡直径和相关的值计算如下（[507]、[474]）：

$$d_{cr}=(1+C_{\alpha }{\alpha }_d){\left(\frac{2{\sigma We}_{cr}}{{\rho }_c}\right)}^{3/5}{\epsilon }^{-2/5}$$

(2205)

$$\tau \left(d\right)=2\pi k_{br}{\left(\frac{3{\rho }_d+2{\rho }_c}{192\sigma }\right)}^{1/2}{d}^{3/2}$$

(2206)

$$N\left(d\right)=2$$

(2207)

其中：

• ${\rho }_d$ 和 ${\rho }_c$ 为离散相密度和连续相密度。
• $\epsilon$ 为连续相湍流耗散率。
• ${We}_{cr}$ 为定义的临界韦伯数，其默认值为 0.25。
• $C_{\alpha }$ 和 $k_{br}$ 是默认值分别为 4.6 和 0.2 的常数。

Kocamustafaogullari

Kocamustafaogullari 模型基于随机二次液滴 (SSD) 模型。Kocamustafaogullari [488] 通过将 Levich [501] 公式代入湍流液滴的运动方程，关联环形流中液滴尺寸分布的实验数据。Eqn. (2255) 将按滑移速度 Eqn. (2261) 的所有可能实现平均，得到：

$$\mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{}\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}=B_1\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{8}{3\pi }\frac{{\rho }_g}{{\rho }_l}\frac{{\langle w}_t^2\rangle }{{Dp}^2}\right)}^{1/2}(1+\beta {We}_{cr})\exp (-\beta {We}_{cr})& ,U=0\\ \sqrt{\frac{{\rho }_g}{{\rho }_l}}\frac{\langle w\rangle }{Dp}& ,U\gg \sqrt{{We}_{cr}}\end{array}$$

(2208)

其中：

• ${We}_{cr}$ 为临界韦伯数。默认值为 12。
• $B_1$ is a parameter regulating the speed of breakup. Large values signify that breakup occurs later. The default value is $2\sqrt{3}$ .
• ${\rho }_l$ 为液体的密度。
• ${\rho }_g$ 为气体的密度。
• $Dp$ 为液滴直径
• $w_t$ 为液滴通过连续相的湍流滑移速度。

此方法与 AMUSIG 模型中的对应方法相同。有关方法公式的更多详细信息，请参见 AMUSIG 破碎和聚结。

液体粘度影响

液体粘度对破碎率的影响由奥内佐格数 [470] 表征：

$$\mathrm{Oh}=\frac{{\mu }_l}{\sqrt{{\rho }_l{D}_p\sigma }}$$

(2209)

其中， ${\mu }_l$ 为液体粘度， $\sigma$ 为液体的表面张力。

为了考虑更多粘性液滴的增强稳定性，临界韦伯数和奥内佐格数的相关性定义如下：

$${We}_{cr}={We}_{cr|O_h=0}\cdot (1+a{Oh}^b)$$

(2210)

其中， $a$ 和 $b$ 为常数，由格尔丰德在 [464] 中推导得出。

聚结

要精确计算聚结项，执行二重积分并不可行。根据等效直径 $d_{eq}$ （此处视为等于 $d_{3\gamma }$ ）为每个矩开发了简化的源项。

[507] 中给定的源项为：

$$\frac{d}{dt}{S}_{\gamma }=F_{cl}\left(2^{\gamma /3}-2\right){\left(\frac{6\alpha }{\pi }\right)}^2{k}_{coll}{u}_{rel}{P}_{cl}\left(d_{eq}\right)d_{eq}^{\gamma -4}$$

(2211)

其中：

• $F_{cl}$ 为标定系数。
• $k_{coll}$ 为碰撞率。
• $u_{rel}$ 为典型相速度差。
• $P_{cl}\left(d_{eq}\right)$ 为碰撞导致聚结的概率。

为了将源项拆分为碰撞率（即，每单位时间和单位体积的碰撞数）和聚结概率，这两者中的任一项都可以由定义的函数替换。已稍微对此公式进行重新排列，从而给出：

$$\frac{\partial }{\partial t}{S}_{\gamma }=F_{cl}\left(2^{\gamma /3}-2\right)K_{coll}{P}_{cl}\left(d_{eq}\right)d_{eq}^{\gamma }$$

(2212)

其中， $K_{coll}$ 为碰撞率，其公式为：

$$K_{coll}=k_{coll}{u}_{rel}{d}_{eq}^2{\left(\frac{6\alpha }{\pi d_{eq}^3}\right)}^2$$

(2213)

对于湍流，粘性效应和惯性效应会产生聚结，并且会为每种效应求解以上所示形式的源项。通过将 $\gamma$ 相继设为 0 和 2，可获得零阶矩和二阶矩 S-Gamma 传输方程的源项。

粘性聚结

对于粘性聚结，碰撞率为 [507]：

$$K_{coll,v}={\left(\frac{8\pi }{3}\right)}^{1/2}\left(\dot{\gamma }{d}_{eq}\right)d_{eq}^2{\left(\frac{6\alpha }{\pi d_{eq}^3}\right)}^2$$

(2214)

其中 $\dot{\gamma }$ 为剪切速率。对于层流，可使用速度场计算剪切速率。对于湍流场，剪切速率为 $\dot{\gamma }=\sqrt{\epsilon {\rho }_c/{\mu }_c}$ [505]，其使用连续相中的湍流耗散率、密度和粘度。概率来自 [507]：

$$P_v\left(d_{eq}\right)=\text{exp}\left(-t_d\dot{\gamma }\right)$$

(2215)

实际上，这是将气泡互动的时间与液膜最初分离然后流走所需的时间进行比较。用于导流模式的四个模型来自 [505]。按照从给定最长导流时间（因此为最低聚结率）到最短导流时间的模型的顺序，这些模型称为：

• 完全不动：

$$t_d=\frac{3{\mu }_c{d}_{eq}^2{F}_i}{64\pi {\sigma }^2{h}_{cr}^2}$$

(2216)

• 部分移动交界面（短碰撞时间）：

$$t_d=\frac{3}{2}\left(\frac{F_i{d}_{eq}^2\sqrt{{\mu }_d{\rho }_d}}{32\pi {\sigma }^2{h}_{cr}}\right)$$

(2217)

• 部分移动交界面（准稳态）：

$$t_d=\frac{{\pi \mu }_d\sqrt{F_i}}{2h_{cr}}{\left(\frac{d_{eq}}{4\pi \sigma }\right)}^{3/2}$$

(2218)

• 完全移动：

$$t_d=\frac{{3\mu }_c{d}_{eq}}{4\sigma }\text{ln}\left(\frac{d_{eq}}{8h_{cr}}\right)$$

(2219)

其中， $F_i={(3/2)\pi \mu }_c\dot{\gamma }{d}_{eq}^2$ 。

临界液膜厚度为：

$$h_{cr}={\left(\frac{A_H{d}_{eq}}{24\pi \sigma }\right)}^{1/3}$$

(2220)

其中：

• $A_H$ 为 Hamaker 常数，其默认值为 $5\times {10}^{-21}$ 。
• $\sigma$ 为表面张力。

参考 [507] 可提供除完全不动表达式外的所有方程。

惯性聚结

对于惯性聚结，碰撞率和概率来自 [507]：

$$K_{coll,i}={\left(\frac{2\pi }{15}\right)}^{1/2}{\left({\epsilon d}_{eq}\right)}^{1/3}{d}_{eq}^2{\left(\frac{6\alpha }{\pi d_{eq}^3}\right)}^2$$

(2221)

$$P\left(d_{eq}\right)={\frac{{\Phi }_{max}}{\pi }\left(1-\frac{k_{cl,2}^2{\left(We-{We}_0\right)}^2}{{\Phi }_{max}^2}\right)}^{1/2}$$

(2222)

${\Phi }_{max}$ ，最大相差为：

$${\Phi }_{max}=\left(2h_0^2{\rho }_c\sigma \right)/\left({{{We}_0\mu }_d^{2}d}_{eq}\right)$$

(2223)

此外：

$${We}_0=0.8{We}_{cr}$$

(2224)

$$h_0=8.3h_{cr}$$

(2225)

可以设置 ${We}_{cr}$ 和 $k_{cl,2}$ ，后者的默认值为 12.7。

离散求积 S-Gamma

此模型使用自适应离散求积法计算与破碎和聚结关联的积分。它还对在多流态场景中由于将一个相夹带入另一个相而创建的新离散相进行建模。

Coulaloglou 和 Tsouris 聚结效率

Coulaloglou 和 Tsouris 聚结效率由 (Tsouris-Tavlarides [560]) 给出：

$$\lambda =\exp (-C\frac{{\rho }_c{\mu }_c{ϵ}_c}{{\sigma }^2{(1+{\alpha }_d)}^3}{d}_{eff}^4)$$

(2226)

其中：

• $C$ [ $m^2$ ] 为维度标定常数

• ${\rho }_c$ 为连续相的密度

• ${\mu }_c$ 为连续相的动力粘度

• ${ϵ}_c$ 为连续相的湍流耗散率

• $\sigma$ 为表面张力

• ${\alpha }_d$ 为离散相的体积分数。

O'Rourke 聚结效率

O’Rourke 聚结效率模型 ([524]) 用于检测连续气相中的液滴碰撞。碰撞的液滴会因连续相的湍流波动发生混乱运动。此方法与 AMUSIG 模型中的对应方法相同。有关方法公式的更多详细信息，请参见O'Rourke 聚结效率。

夹带

在自然过程和工程应用中，可以真切观察到一个相夹带到另一个相中。Simcenter STAR-CCM+ 中的 S-Gamma 夹带实施允许指定颗粒（气泡/液滴）的产生率和直径。提供了两种预测气体夹带率的方法。使用这些方法，通过标识大尺度交界面处的高湍流耗散率网格单元来考虑夹带过程，当湍流耗散达到指定的临界值时，允许产生气泡。

最常用的临界耗散率方法是 Yu 等人([576]) 创建的方法，其中给定：

其中：

• $g$ 为重力。
• ${We}_l$ 为韦伯数的下边界。
• ${Fr}_u$ 为弗劳德数的上边界。

余（尺度分离）夹带率

Yu（尺度分离）夹带率模型 ([576]) 可检测离散相中气泡的产生和夹带。此方法假设对于临界耗散率，上限 $r_u$ 和下限 $r_l$ 气泡半径边界相等 $r_u\left({ϵ}_{cr}\right)=r_l\left({ϵ}_{cr}\right)$ ，其中：

$$r_u=4({Fr}_u^{2}g{)}^{-3}{ϵ}^2$$

(2229)

$$r_l=2^{-\frac{8}{5}}(\frac{\sigma {We}_l}{\rho }{)}^{\frac{3}{5}}{ϵ}^{-\frac{2}{5}}$$

(2230)

然后，临界气泡半径 $r_c$ 假设为重力影响主导夹带的半径，反之亦然。当重力和表面张力平衡时，相应的气泡半径给定如下：

$$r_o=r_c=0.5{\left(\frac{\sigma }{\rho g}\right)}^{\frac{1}{2}}$$

(2231)

$r_u$ 和 $r_l$ 将因网格单元而异，而 $r_o$ 不会如此，关系 $r_l\le r_o\le r_u$ 在所有候选网格单元中都保持为真。

在 Simcenter STAR-CCM+ 中实施的气泡尺寸使用 Hinze 尺度的有限自适应 ([576])，其中假设更改的斜率（重力影响）主导着夹带。Hinze 估算的气泡直径给定如下：

$$d_e=2r$$

(2232)

适用于：

$$r=r_l\le r_H\le r_u$$

(2233)

Yu 等人建议，要夹带气泡，需要克服交界面的电势和表面能量，其中每单位体积的气泡产生率 (/m³/s) 定义为：

$${B\left(d_e\right)=c}_b\frac{\rho \alpha {ϵ}^{\frac{2}{3}}{d}_e^{\frac{2}{3}}}{t_{turb}(\frac{\pi }{3}{\rho }_l{d}_e^4+\pi d_e^2\sigma )}$$

(2234)

其中：

• $t_{turb}$ 为湍流时间尺度。
• $c_b$ 为夹带校准因子。

此方程可确保当夹带由重力或基于气泡尺寸的表面张力主导时，数密度在不同指数时发生变化。

Ma（气泡表面能量）夹带率

Ma（气泡表面能量）夹带率模型 ([576]) 可检测离散相中气泡的产生和夹带。该方法假设，要夹带气泡则需要克服表面张力，并且在大交界面处产生的气泡与 $ϵ$ 成线性比例。Ma 等人将每单位体积的气泡产生率 (/m³/s) 定义为：

$$B\left(d_e\right)=\frac{c_b}{\pi }\left(\frac{\rho }{\sigma }\right){\alpha }_l{d}_e^{-2}ϵ$$

(2235)