输运方程

体积分数(以及 S3 )的输运方程通过分离 EMP 流求解器(而非 S-Gamma 方法)进行求解。如果不需要尺寸分布的完整详细信息,可以只对 S2 进行求解。这称为单方程模式。在双方程模式下,同时求解 S2 S0 的方程。

S-Gamma 模型适用于正在建模尺寸分布的特定相的离散区域。为了在相可以局部离散或连续的情况下启用 S-Gamma 建模,将相 k 的离散相分数定义 k=αdα

对于欧拉连续-离散拓扑,相随处离散,因此 α=αd ,这会产生 k=1 。对于多流态拓扑,相可以局部连续或离散, 0k1 。然后,根据混合加权函数计算离散相分数 k,如相间相互作用拓扑中所述。

αd=kα 假设可推出,S-Gamma 模型控制方程写法如下。

零阶矩传输方程(颗粒数密度)

S0 的瞬时传输方程由 [505][507] 给出:

1. EQUATION_DISPLAY
αdS0t+(αdS0vd)=sbr+scl+N˙0sdiss
(2185)

其中:

  • vd 为通过多相速度求解器计算得出的离散相速度
  • sbr 为表示破碎效应的源项
  • scl 为表示聚结效应的源项
  • sdiss 为表示溶解(负贡献)的源项。此源项将引入 S0 传输方程,以确保有限颗粒消失率。当表面增长相间质量传递率 M˙>0 时,颗粒增长及其数密度不受质量传递的影响。但是,对于 M˙<0 ,某些颗粒的直径会减小,直到最终因溶解而消失。溶解率 sdiss 建模如下:
2. EQUATION_DISPLAY
sdiss=(d32d301)max(0,M˙ρ)S0αd
(2186)

Eqn. (2185) 的雷诺平均得出:

3. EQUATION_DISPLAY
α¯dS¯0t+(αdS0vd)=sbr+scl+N0sdiss
(2187)

对于任何标量 ϕ (例如,温度、浓度、湍动能),雷诺平均通量建模为:

4. EQUATION_DISPLAY
αdρϕv=αd¯ρvϕ¯+αdρϕvαd¯ρvϕαd¯ρDTϕ¯
(2188)

其中, DT 为湍流扩散系数,该系数根据湍流粘度、密度和湍流普朗特数计算如下:

5. EQUATION_DISPLAY
DT=νTρPr
(2189)

S0 重写为 αdρS0αρ S0 的雷诺平均传输方程获取方式如下:

6. EQUATION_DISPLAY
α¯dS¯0t+(α¯dS¯0vdρα¯dDTS¯0ρRA)=sbr+scl+N0sdiss

Variable density does not play a role in the conservation of the number density of particles.

(2190)
二阶矩传输方程

对于 S2 ,Wei 和 Morel [569] 给出离散相的交界面面积 ad 方程,形式如下:

7. EQUATION_DISPLAY
adt+(advd)=sa,br+sa,cl+sa,m-2ad3ρ(ρt+vdρ)
(2191)

sa,br sa,cl 分别表示因破碎和聚结而产生的面源,而 sa,m 表示因相间质量传递而产生的面源。右侧的最后一项表示交界面面积上的可变密度效应。通过乘以 ρ2/3 ,执行某些代数运算,最后除以 π ,从而转换为 S2 ,可以看出 S2 的传输方程为:

8. EQUATION_DISPLAY
ρ2/3αdS2t+(ρ2/3αdS2vd)=sbr+scl+sm+snuc
(2192)
snuc 为表示成核速率的源项。此源将引入 S2 传输方程,以表示成核产生的总颗粒面积的增长(仅为正贡献)。
成核速率 snuc 定义为:
9. EQUATION_DISPLAY
snuc=ρ23N0dnuc2
(2193)
其中, dnuc 为核的直径。

传输方程的雷诺平均版本定义为:

10. EQUATION_DISPLAY
ρ2/3α¯dS¯2t+(ρ2/3α¯dS¯2vdρα¯dDTS¯2ρ2/3)=sbr+scl+sm+snuc
(2194)

因质量传递而产生的 S-Gamma 源项为:

11. EQUATION_DISPLAY
S˙2=4Gnidi=4GS0d10
(2195)

但是 M˙=ρπS2G ,因此相间质量通量 G 给定为:

12. EQUATION_DISPLAY
G=M˙ρπS2
(2196)

组合使用 Eqn. (2195)Eqn. (2196) 可得到:

13. EQUATION_DISPLAY
S˙2=4M˙πρ(πS06αd)1/3
(2197)