输运方程

S-Gamma 模型适用于正在建模尺寸分布的特定相的离散区域。为了在相可以局部离散或连续的情况下启用 S-Gamma 建模，将相 k 的离散相分数定义 $k=\frac{{\alpha }_d}{\alpha }$ 。

对于欧拉连续-离散拓扑，相随处离散，因此 $\alpha ={\alpha }_d$ ，这会产生 $k=1$ 。对于多流态拓扑，相可以局部连续或离散， $0\le k\le 1$ 。然后，根据混合加权函数计算离散相分数 k，如相间相互作用拓扑中所述。

从 ${\alpha }_d=k\alpha$ 假设可推出，S-Gamma 模型控制方程写法如下。

零阶矩传输方程（颗粒数密度）

$S_0$ 的瞬时传输方程由 [505]、[507] 给出：

$$\frac{\partial {{\alpha }_{d}S}_0}{\partial t}+\nabla \cdot \left({{\alpha }_{d}S}_0{\mathbf{\text{v}}}_d\right)=s_{br}+s_{cl}+{\dot{N}}_0-s_{diss}$$

(2185)

其中：

• ${\mathbf{\text{v}}}_d$ 为通过多相速度求解器计算得出的离散相速度
• $s_{br}$ 为表示破碎效应的源项
• $s_{cl}$ 为表示聚结效应的源项
• $s_{diss}$ 为表示溶解（负贡献）的源项。此源项将引入 $S_0$ 传输方程，以确保有限颗粒消失率。当表面增长相间质量传递率 $\dot{M}>0$ 时，颗粒增长及其数密度不受质量传递的影响。但是，对于 $\dot{M}<0$ ，某些颗粒的直径会减小，直到最终因溶解而消失。溶解率 $s_{diss}$ 建模如下：

$$s_{diss}=(\frac{d_{32}}{d_{30}}-1)\cdot \max (0,\frac{\dot{M}}{\rho })\cdot \frac{S_0}{{\alpha }_d}$$

(2186)

Eqn. (2185) 的雷诺平均得出：

$$\frac{\partial {\overline{\alpha }}_d{\overline{S}}_0}{\partial t}+\nabla \cdot \left(\langle {\alpha }_d{S}_0{\mathbf{\text{v}}}_d\rangle \right)=\langle s_{br}\rangle +\langle s_{cl}\rangle +\langle \stackrel{\cdot }{N_0}\rangle -\langle s_{diss}\rangle$$

(2187)

对于任何标量 $\varphi$ （例如，温度、浓度、湍动能），雷诺平均通量建模为：

$$\langle {\alpha }_d\rho \varphi \mathbf{v}\rangle =\overline{{\alpha }_d}\rho \langle \mathbf{v}\rangle \overline{\varphi }+\langle {\alpha }_d\rho {\varphi }^{\prime }{\mathbf{v}}^{\prime }\rangle \approx \overline{{\alpha }_d}\rho \langle \mathbf{v}\rangle \langle \varphi \rangle -\overline{{\alpha }_d}\rho D_T\nabla \overline{\varphi }$$

(2188)

其中， $D_T$ 为湍流扩散系数，该系数根据湍流粘度、密度和湍流普朗特数计算如下：

$$D_T=\frac{{\nu }_T}{\rho \mathrm{Pr}}$$

(2189)

将 $S_0$ 重写为 ${\alpha }_d\rho \frac{S_0}{\alpha \rho }$ ， $S_0$ 的雷诺平均传输方程获取方式如下：

$$\frac{\partial {\overline{\alpha }}_d{\overline{S}}_0}{\partial t}+\nabla \cdot \left({\overline{\alpha }}_d{\overline{S}}_0\langle {\mathbf{\text{v}}}_d\rangle -\rho {\overline{\alpha }}_d{D}_T\nabla \frac{{\overline{S}}_0}{\rho RA}\right)=\langle s_{br}\rangle +\langle s_{cl}\rangle +\langle \stackrel{\cdot }{N_0}\rangle -\langle s_{diss}\rangle$$

Variable density does not play a role in the conservation of the number density of particles.

(2190)

二阶矩传输方程

对于 $S_2$ ，Wei 和 Morel [569] 给出离散相的交界面面积 $a_d$ 方程，形式如下：

$$\frac{\partial a_d}{\partial t}+\nabla \cdot \left(a_d{\mathbf{\text{v}}}_d\right)=s_{a,br}+s_{a,cl}+s_{a,m}-\frac{2a_d}{3\rho }(\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\mathbf{\text{v}}}_d\nabla \rho )$$

(2191)

$s_{a,br}$ 和 $s_{a,cl}$ 分别表示因破碎和聚结而产生的面源，而 $s_{a,m}$ 表示因相间质量传递而产生的面源。右侧的最后一项表示交界面面积上的可变密度效应。通过乘以 ${\rho }^{2/3}$ ，执行某些代数运算，最后除以 $\pi$ ，从而转换为 $S_2$ ，可以看出 $S_2$ 的传输方程为：

$$\frac{\partial {{\rho }^{2/3}{\alpha }_{d}S}_2}{\partial t}+\nabla \cdot \left({{\rho }^{2/3}{\alpha }_{d}S}_2{\mathbf{\text{v}}}_d\right)=s_{br}+s_{cl}+s_m+s_{nuc}$$

(2192)

$s_{nuc}$ 为表示成核速率的源项。此源将引入 $S_2$ 传输方程，以表示成核产生的总颗粒面积的增长（仅为正贡献）。

成核速率 $s_{nuc}$ 定义为：

$$s_{nuc}=\stackrel{\cdot }{{{\rho }^{\frac{2}{3}}N}_0}{d}_{nuc}^2$$

(2193)

其中， $d_{nuc}$ 为核的直径。

传输方程的雷诺平均版本定义为：

$$\frac{\partial {\rho }^{2/3}{\overline{\alpha }}_d{\overline{S}}_2}{\partial t}+\nabla \cdot \left({\rho }^{2/3}{{\overline{\alpha }}_d\overline{S}}_2\langle {\mathbf{\text{v}}}_d\rangle -\rho {\overline{\alpha }}_d{D}_T\nabla \frac{{\overline{S}}_2}{{\rho }^{2/3}}\right)=\langle s_{br}\rangle +\langle s_{cl}\rangle +\langle s_m\rangle +\langle s_{nuc}\rangle$$

(2194)

因质量传递而产生的 S-Gamma 源项为：

$${\dot{S}}_2=4G\sum n_i{d}_i=4G{S}_0{d}_{10}$$

(2195)

但是 $\dot{M}=\rho \pi S_{2}G$ ，因此相间质量通量 $G$ 给定为：

$$G=\frac{\dot{M}}{\rho \pi S_2}$$

(2196)

组合使用 Eqn. (2195) 与 Eqn. (2196) 可得到：

$${\dot{S}}_2=\frac{4\dot{M}}{\pi \rho }{\left(\frac{\pi S_0}{6{\alpha }_d}\right)}^{1/3}$$

(2197)