自由表面波

Simcenter STAR-CCM+ 提供 VOF 波模型，用于模拟液体和气体（通常为大气）之间的交界面上的表面重力波。 例如，调查船舶周围的流或波对海洋结构的影响，便属于典型的 VOF 波应用。

稳定前进的周期波列概念是在海岸和海洋工程应用中使用的方便模型，用于提供由波导致的流体速度、压力和表面高程。 假设波传播稳定不变（稳态波问题），则可以采用三个物理长度尺度唯一指定并求解波列：水深、波长和波高。

平波

平波表示平静的水面。

一阶波

使用斯托克斯波理论的一阶近似对一阶波建模。 此近似生成具有规则周期性正弦分布的波。

水平速度的方程为：

$${\upsilon }_h=a\omega \cos (\mathbf{\text{K}}\cdot \mathbf{\text{x}}-\omega t)e^{Kz}$$

(2642)

垂直速度的方程为：

$${\upsilon }_v=a\omega \sin (\mathbf{\text{K}}\cdot \mathbf{\text{x}}-\omega t)e^{Kz}$$

(2643)

表面高度的方程为：

$$\eta =a\cos (\mathbf{\text{K}}\cdot \mathbf{\text{x}}-\omega t)$$

(2644)

其中：

• $a$ 为波幅值
• $\omega$ 为波频率
• $\mathbf{\text{K}}$ 为波矢量
• $K$ 为波矢量的幅值
• $z$ 为与平均水位的垂直距离。

波周期 $T$ 定义如下：

$$T=\frac{2\pi }{\omega }$$

(2645)

波长 $\lambda$ 定义如下：

$$\lambda =\frac{2\pi }{K}$$

(2646)

一阶波在有限水深 $d$ 中的耗散关系（波周期 $T$ 与波长 $\lambda$ 之间）为：

$$T={\left[\frac{g}{2\pi \lambda }\tanh \left(\frac{2\pi d}{\lambda }\right)\right]}^{-1/2}$$

(2647)

而对于无限水深，耗散关系为：

$$\lambda =\frac{g{T}^2}{2\pi }$$

(2648)

波形与深度无关。

五阶波

使用斯托克斯波理论的五阶近似对五阶波建模。 与通过一阶方法生成的波相比，此波更接近于真正的波。 波形和波相速度取决于水深、波高和水流。

五阶 VOF 波基于 Fenton 的作品 [125]。

Ursell 数 $U_R$ 定义为 [122]：

$$U_R=\frac{H{\lambda }^2}{d^3}$$

(2649)

其中， $H$ 为波高， $\lambda$ 为波长， $d$ 为水深。

此波理论只对小于 30 的 Ursell 数有效。

叠加波

叠加波是不同部分一阶波的线性叠加。 它可以用于模拟较复杂的波现象，如横浪或频谱波。 横浪是两个波系统以倾斜角度前行的海浪状态。 当一个天气系统中的水波继续前进而不管风向变化时，可能发生这种状态。

椭圆余弦波

椭圆余弦波是 Korteweg–de Vries 方程的非线性精确周期波求解，该方程描述了平层上的波传播。 Korteweg & de Vries [129] 获得了他们称之为“椭圆余弦”的周期求解，原因在于表面高度与雅可比椭圆函数 $\mathrm{c}\mathrm{n}\left(\right)$ 的平方成比例。 椭圆余弦波用于描述与流体深度相比具有较长波长的表面重力波。 椭圆余弦求解显示在自然浅水波中观察到的长平波谷和窄波峰。 随着波长趋于无穷大，椭圆余弦求解描述了一种孤波。

椭圆余弦求解采用波高扩大的形式呈现结果。 所使用的参数是相对于流体谷深 $H/h$ 的波高，以 $ϵ$ 表示。

级数以 $ϵ/m$ 幂级数表示，而不是以 $ϵ$ 的幂级数表示 [124]。 由于 $m$ 可小于 1，因此，监视 $ϵ/m$ 的幅值要优于在带有系数（为 $1/m$ 中的多项式）的 $ϵ$ 中拥有一个幂级数。

存在完整的三阶求解。 此求解更适用于较短和幅值更小的波，其中的参数 $m$ 小于 0.96。

符号 $\mathrm{c}\mathrm{n}$ 用于表示 $\mathrm{c}\mathrm{n}(\alpha X/h|m)=\mathrm{c}\mathrm{n}(\alpha (x-ct)/h\left|m\right)$ 。

表面高度计算

$$\frac{\eta }{h}=1+\left(\frac{ϵ}{m}\right)m{\mathrm{c}\mathrm{n}}^2+{\left(\frac{ϵ}{m}\right)}^2(-\frac{3}{4}{m}^2{\mathrm{c}\mathrm{n}}^2+\frac{3}{4}{m}^2{\mathrm{c}\mathrm{n}}^4)+{\left(\frac{ϵ}{m}\right)}^3\left(\right(-\frac{61}{80}{m}^2+\frac{111}{80}{m}^3){\mathrm{c}\mathrm{n}}^2+(\frac{61}{80}{m}^2-\frac{53}{20}{m}^3){\mathrm{c}\mathrm{n}}^4+\frac{101}{80}{m}^3{\mathrm{c}\mathrm{n}}^6)$$

(2650)

波计算框架中的水平流体速度

假设 $x$ 方向上的变化相对较小，且可采用缩放的无量纲变量 $\alpha x/h$ 表示。 $\alpha$ 为一个较小的物理量，表示 $x$ 方向上的相对较慢变化， $h$ 为谷深。

级数表示为 ${\alpha }^2$ （具体为 $\delta =4{\alpha }^2/3$ ）[126]。 即使对于高波，结果也是精确的。

$$\frac{U}{\sqrt{gh}}=-1+\delta (\frac{1}{2}-m+m{\mathrm{c}\mathrm{n}}^2)+{\delta }^2(-\frac{19}{40}+\frac{79}{40}m-\frac{79}{40}{m}^2+{\mathrm{c}\mathrm{n}}^2(-\frac{3}{2}m+3m^2)-m^2{\mathrm{c}\mathrm{n}}^4+{\left(\frac{Y}{h}\right)}^2(-\frac{3}{4}m+\frac{3}{4}{m}^2+{\mathrm{c}\mathrm{n}}^2(\frac{3}{2}m-3m^2)+\frac{9}{4}{m}^2{\mathrm{c}\mathrm{n}}^4))+{\delta }^3(\frac{55}{112}-\frac{3471}{1120}m+\frac{7113}{1120}{m}^2-\frac{2371}{560}{m}^3+{\mathrm{c}\mathrm{n}}^2(\frac{71}{40}m-\frac{339}{40}{m}^2+\frac{339}{40}{m}^3)+{\mathrm{c}\mathrm{n}}^4(\frac{27}{10}{m}^2-\frac{27}{5}{m}^3)+\frac{6}{5}{m}^4{\mathrm{c}\mathrm{n}}^6+{\left(\frac{Y}{h}\right)}^2(\frac{9}{8}m-\frac{27}{8}{m}^2+\frac{9}{4}{m}^3+{\mathrm{c}\mathrm{n}}^2(-\frac{9}{4}m+\frac{27}{2}{m}^2-\frac{27}{2}{m}^3)+{\mathrm{c}\mathrm{n}}^4(-\frac{75}{8}{m}^2+\frac{75}{4}{m}^3)-\frac{15}{2}{m}^3{\mathrm{c}\mathrm{n}}^6)+{\left(\frac{Y}{h}\right)}^4(-\frac{3}{16}m+\frac{9}{16}{m}^2-\frac{3}{8}{m}^3+{\mathrm{c}\mathrm{n}}^2(\frac{3}{8}m-\frac{51}{16}{m}^2+\frac{51}{16}{m}^3)+{\mathrm{c}\mathrm{n}}^4(\frac{45}{16}{m}^2-\frac{45}{8}{m}^3)+\frac{45}{16}{m}^3{\mathrm{c}\mathrm{n}}^6))$$

(2651)

产生前导项 $-1$ ，原因在于将此波视为沿 $x$ 正向行进。 流体沿相对于波的 $x$ 负向以波速阶的速度在波下流动。

垂直流体速度计算

垂直流体速度可通过质量守恒方程 $\partial U/\partial X+\partial V/\partial Y=0$ 和 $d\left(\mathrm{c}\mathrm{n}\left(\theta \right|m)\right)/d\theta =-\mathrm{s}\mathrm{n}\left(\theta \right|m)\mathrm{d}\mathrm{n}\left(\theta \right|m)$ 从 Eqn. (329) 计算得出。 每个含有 ${(Y/h)}^i{\mathrm{c}\mathrm{n}}^j(\alpha X/h|m)$ （其中， $j>0$ ）的项都替换为 $\alpha \mathrm{s}\mathrm{n}\left(\right)\mathrm{d}\mathrm{n}\left(\right)\left(\frac{j}{i+1}\right)\times {(Y/h)}^{i+1}{\mathrm{c}\mathrm{n}}^{j-1}\left(\right)$ 。 因此，如果 Eqn. (329) 写为：

$$\frac{U}{\sqrt{gh}}=-1+\sum _{i=1}^5{\delta }^i\sum _{j=0}^{i-1}{\left(\frac{Y}{h}\right)}^{2j}\sum _{k=0}^i{\mathrm{c}\mathrm{n}}^{2k}\left(\right){\mathrm{\Phi }}_{ijk}$$

(2652)

其中，每个系数 ${\mathrm{\Phi }}_{ijk}$ 均为参数 $m$ 中度数 $i$ 的多项式，则垂直速度分量为：

$$\frac{V}{\sqrt{gh}}=2\alpha \mathrm{c}\mathrm{n}\left(\right)\mathrm{s}\mathrm{n}\left(\right)\mathrm{d}\mathrm{n}\left(\right)\sum _{i=1}^5{\delta }^i\sum _{j=0}^{i-1}{\left(\frac{Y}{h}\right)}^{2j+1}\sum _{k=1}^i{\mathrm{c}\mathrm{n}}^{2(k-1)}\left(\right)\frac{k}{2j+1}{\mathrm{\Phi }}_{ijk}$$

(2653)

不规则波

不规则波使用波谱（即海面垂直位移的功率谱密度函数）对风浪（短期海况）进行建模。 不规则波可使用 Pierson-Moskowitz 频谱或 JONSWAP 频谱 [123]。 这两种频谱均描述大多数恶劣海况下通常会发生的风浪状况。

Pierson-Moskowitz 频谱 $S_{PM}\left(\omega \right)$ 定义如下：

$$S_{PM}\left(\omega \right)=\frac{5}{16}\left(H_S^2{\omega }_p^4\right){\omega }^{-5}\text{exp}\left(-\frac{5}{4}{\left(\frac{\omega }{{\omega }_p}\right)}^{-4}\right)$$

(2654)

其中， ${\omega }_p=\left(2\pi \right)/\left(T_p\right)$ 表示角谱峰值频率。

JONSWAP 频谱 $S_J\left(\omega \right)$ 表示为：

$$S_J\left(\omega \right)=A_{\gamma }{S_{PM}\left(\omega \right)\gamma }^{\text{exp}\left(-0.5{\left(\frac{\omega -{\omega }_p}{{\sigma \omega }_p}\right)}^2\right)}$$

(2655)

其中：

• $S_{PM}\left(\omega \right)$ 为 Pierson-Moskowitz 频谱
• $\gamma$ 为无量纲峰形参数
• $A_{\gamma }=1-0.287\text{ln}\left(\gamma \right)$ 为归一化因子
• $\sigma$ 为频谱宽度参数：

  $\omega \le {\omega }_p$ 时， ${\sigma }_a$

  $\omega >{\omega }_p$ 时， ${\sigma }_b$ 。