使用时间子循环锐化交界面

将时间子循环应用于体积分数的传输可以提高两相之间交界面的分辨率。

在 Simcenter STAR-CCM+ 中实施的流体体积 (VOF) 方法采用高分辨率交界面捕捉 (HRIC) 格式，提供面上体积分数的二阶精确近似。 $α$ 同样，混合多相 (MMP) 方法将自适应界面锐化 (ADIS) 离散方案运用于体积分数的对流项，该方法在大尺度交界面附近使用高分辨率交界面捕捉 (HRIC) 方案。

为了屈服受影响的传输方程的适当问题，HRIC 格式受限于库朗数上限 (CFL)。如果超过 CFL 限制（通常小于 1），则该方法将回退到迎风格式以维持稳定性。作为一阶方法，迎风格式会生成不可逆的弥散交界面。

通过向体积分数的传输引入时间子循环，可局部校正面上的体积分数的较差近似。因此，当有效（局部）CFL（表示为）减少时，可获得尖锐交界面求解。 ${C F L}_{s u b}$ 有关更多详细信息，请参见高分辨率交界面捕捉 (HRIC)。

相的体积分数传输由 Eqn. (2584) 或 Eqn. (2875) 得出。 $i$

对于标准 FV 离散化和与时间无关的控制体积，将 Eqn. (2584) 或 Eqn. (2875) 在任意时间间隔内积分得出： $[t_{n,} t_{n} + Δ t]$

图 1. EQUATION_DISPLAY

α^{n + Δ t} V - α^{n} V + \int_{t^{n}}^{t^{n} + Δ t} (\sum_{A} α_{f} (s) v \cdot d a) d s = \int_{t^{n}}^{t^{n} + Δ t} (S (α (s), ...) d s

(2622)

其中，为面值体积分数，为当前时间步长，为当前时间级别。

α_{f}

Δ t

t^{n}

Eqn. (2584) 或 Eqn. (2875) 的右侧贡献已合并为单一源项。

S (α (s), ...)

单步

对于单步求解策略，求解器将按照以下关系对 Eqn. (2584) 或 Eqn. (2875) 进行逼近：

图 2. EQUATION_DISPLAY

α^{n + Δ t} V - α^{n} V + Δ t (\sum_{A} α_{f}^{n + Δ t} (Δ t) v \cdot d a) = Δ t S (α^{n + Δ t}, ...)

(2623)

面值通过 HRIC 方案计算，并相对于时间隐式处理。 $α_{f}^{n + Δ t}$

多步进将解析对全局时间步长的限制，方法是将时间间隔细分为 N 个均匀子间隔。

Δ t

[{t^{n}, t}^{n} + Δ t

[t_{i}, t_{i + 1}], i = 0, ..., N - 1

$t_{i}$ 子间隔定义为 $t_{i} = t^{n} + i τ$
$τ$ 为相应的子步时间步长，定义为 $τ = \frac{Δ t}{N}$
然后，将针对每个子间隔 i 计算的中间求解。 $α_{i + 1}$

Simcenter STAR-CCM+ 中有两个多步求解器方法：

显式多步: 仅适用于流体体积 (VOF) 多相模型。
图 3. EQUATION_DISPLAY

$α_{i + 1} V - α_{i} V + τ (\sum_{A} α_{f, i} (τ) v \cdot d a) = τ S (α^{n + Δ t}, ...), f o r i = 0, 1, ..., N - 1$

(2624)

隐式多步: 图 4. EQUATION_DISPLAY

$α_{i + 1} V - α_{i} V + τ (\sum_{A} α_{f, i + 1} (τ) v \cdot d a) = τ S (α^{n + Δ t}, ...), f o r i = 0, 1, ..., N - 1$

(2625)

在多步进中，HRIC 面值

α_{f}

的计算受减小的时间步长

τ

影响，因此将减少与 CFL 相关的迎风混合。所有子步的总和随后如下：

图 5. EQUATION_DISPLAY

α^{n + Δ t} V - α^{n} V + \sum_{i = 0}^{N - 1} τ (\sum_{A} α_{f, i (i + 1)} (τ) v \cdot d a) = Δ t S (α^{n + Δ t}, ...)

(2626)

下表简要汇总了 Simcenter STAR-CCM+ 中的一阶时间积分器：


	单步	隐式多步	显式多步（仅 VOF）
$\int_{t^{n}}^{t^{n} + Δ t} (\sum_{A} α_{f} (s) v \cdot d a) d s$	图 6. EQUATION DISPLAY $Δ t (\sum_{A} α_{f}^{n + Δ t} (Δ t) v \cdot d a)$ (2627)	图 7. EQUATION DISPLAY $\sum_{i = 0}^{N_{i m p - 1}} τ (\sum_{A} α_{f, i + 1} (τ) v \cdot d a)$ (2628) 其中，为隐式子步数 $N_{i m p}$	图 8. EQUATION DISPLAY $\sum_{i = 0}^{N_{e x p - 1}} τ (\sum_{A} α_{f, i} (τ) v \cdot d a)$ (2629) 其中， $N_{e x p}$ 为显式子步数
稳定性	无条件稳定	无条件稳定	有条件稳定： $\frac{C F L}{N_{\exp}} \leq 1$
精度（锐化交界面）	$C F L \leq 0.5$	$\frac{C F L}{N_{i m p}} \leq 0.5$	$\frac{C F L}{N_{\exp}} \leq 0.5$
计算成本	低	$N_{i m p}$ 由用户输入确定	$N_{\exp}$ 由稳定性约束确定

显式积分施加 CFL 条件，其中和 VOF 显式多步求解器自动确定所需的显式子步数。

\frac{C F L}{N_{\exp}} \leq 1

N_{\exp}

MMP 和 VOF 的隐式多步进不受时间步长限制的约束，而且隐式子步数由用户选择。 $N_{i m p}$ 如果减小的时间步长超过 HRIC 方案的 CFL 限制，则体积分数求解可能越来越发散。 $τ$

每次内部迭代时，多步进使用上一时间步的体积分数求解作为初始数据。在子步进后，VOF 显式多步求解器仅在上一次内部迭代的处将亚松弛校正应用于最终求解，而隐式多步求解器将亚松弛校正应用于所有中间求解。 ${t = t}^{n} + Δ t$

隐式多步求解每个子间隔处的传输方程 Eqn. (2625)，因此会为每个子间隔计算此方程的残差。

r_{i}

Simcenter STAR-CCM+ 将整个时间步的残差

r

定义为这些子间隔残差的平均值：

图 9. EQUATION_DISPLAY

r = \frac{{\sum r_{i}}_{i = 0}^{N - 1}}{N}

(2630)

在 VOF 显式多步（已弃用）求解器中自动确定子步长

确定子步长的过程如下：

1.标识属于 VOF 交界面的网格单元

其中任何 VOF 相的梯度幅值超过最小阈值的所有网格单元都视为属于 VOF 交界面：

图 10. EQUATION_DISPLAY

\nabla α_{i} \geq \nabla α_{\min}

(2631)

体积分数梯度幅值的最小阈值等于：

图 11. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} \nabla α_{\min} = \frac{Δ α_{\max}}{l_{r e f}} = \frac{1}{f_{c} V^{\frac{1}{3}}} & f_{c} : = 20 \end{matrix}

(2632)

其中：

$Δ α_{\max}$ 为体积分数（等于 1.0）的最大可能变化
$l_{r e f}$ 为网格单元基准长度尺度（与网格单元体积相关的网格单元的长度尺度）
$V$ 为网格单元体积
$f_{c}$ 为任意选择的硬编码常数 (20)，用于定义自由表面。

如果网格单元的体积分数梯度至少等于 $f_{c}$ x $l_{r e f}$ 距离内体积分数的最大可能变化，则将其视为属于自由表面。也就是说，只考虑弥散高达 20 个网格单元或更少的交界面。

2.缩放 VOF 交界面网格单元中的 CFL 数

在先前步中标识的网格单元中的 CFL 数将缩放以仅考虑垂直于 VOF 交界面的对流速度。如果速度与 VOF 交界面相切（例如在空气域的液体射流侧），尽管 CFL 数可能较大，但液体和气体体积分数的校正为零（或非常接近于零）。可以忽略这些网格单元。缩放的 CFL 数 ${C F L}^{*}$ 为：

图 12. EQUATION_DISPLAY

{C F L}^{*} = C F L 〈 \frac{v}{| v |}, \frac{\nabla α}{| \nabla α |} 〉

(2633)

其中， $C F L$ 为“常规”库朗数， $v$ 为速度矢量。

3.计算子步长

图 13. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} Δ t_{k} = \frac{Δ t}{k} & k = \frac{\max ({C F L}^{*})}{{C F L}_{\max}^{*}} \end{matrix}

(2634)

其中， ${C F L}_{\max}^{*}$ 为用户指定的目标库朗数。请参见显式多步（已弃用）求解器属性。