接触力

Hertz-Mindlin 无滑移接触模型

Hertz-Mindlin 接触模型是非线性弹簧-阻尼器接触模型（基于 Hertz-Mindlin 接触理论 [726]、[722]）的一种变体。A 和 B 这两个球体之间的力由以下方程组表示：

其中， $F_n$ 和 $F_t$ 分别为法向和切向分量的幅值。

法向由以下各项定义：

• 法向力：

  $$F_n={-K}_n{d}_n-N_n{v}_n$$

  (3251)
• 法向弹簧刚度：

  $$K_n=\frac{4}{3}{E}_{eq}\sqrt{d_n{R}_{eq}}$$

  (3252)
• 法向阻尼：

  $$N_n=\sqrt{\left({5K}_n{M}_{eq}\right)}{N}_{n\text{ damp}}$$

  (3253)

  其中，$N_{n\text{ damp}}$ 为法向阻尼系数，如 Eqn. (3257) 中给定。

切向由以下各项定义：

• 如果 $\left|K_t{d}_t\right|<\left|K_n{d}_n\right|C_{fs}$ ，其中， $C_{fs}$ 为静摩擦系数，则切向力由 $-K_t{d}_t-N_t{v}_t$ 定义。否则：

  $$F_t=\frac{\left|K_n{d}_n\right|C_{fs}{d}_t}{\left|d_t\right|}$$

  (3254)
• 切向弹簧刚度：

  $$K_t=8G_{eq}\sqrt{d_n{R}_{eq}}$$

  (3255)
• 切向阻尼：

  $$N_t=\sqrt{\left({5K}_t{M}_{eq}\right)}{N}_{t\text{ damp}}$$

  (3256)

  其中，$N_{t\text{ damp}}$ 为切向阻尼系数，如 Eqn. (3258) 中给定。

此处，$C_{n\text{ rest}}$ 和 $C_{t\text{ rest}}$ 为法向和切向恢复系数，属于用户设置的模型参数。如果 $C_{n\text{ rest}}=0$，则 $N_{n\text{ damp}}=1$；如果 $C_{t\text{ rest}}=0$，则 $N_{t\text{ damp}}=1$。

等效半径定义为：

等效颗粒质量为：

等效杨氏模量表示为：

等效剪切模量为：

其中：

• $M_A$ 和 $M_B$ 为球体 A 和 B 的质量。
• $d_n$ 和 $d_t$ 为接触点处的法向和切向重叠。
• $R_A$ 和 $R_B$ 为球体的半径。
• $E_A$ 和 $E_B$ 为球体的杨氏模量。
• ${\nu }_A$ 和 ${\nu }_B$ 为泊松比。
• ${\nu }_n$ 和 ${\nu }_t$ 为接触点处相对球体表面速度的法向和切向速度分量。

对于颗粒-壁面碰撞，这些公式保持不变，但假设壁面半径和质量为 $R_{wall}=\infty$ 和 $M_{wall}=\infty$ ，因此等效半径减少至 $R_{eq}=R_{particle}$ ，等效质量减少至 $M_{wall}=M_{particle}$ 。

Di Renzo 和 Di Maio [722] 针对切向微滑移和切向力计算的细节处理提出了几个公式。Simcenter STAR-CCM+ 使用 Tsuji 提出的公式 [737]，其中假设切向力为非线性，但细节微滑移追踪由解析表达式替换。生成的代码计算效率较高，且仍与实验数据匹配。

临界速度

当颗粒壁面冲击速度超过临界速度时，颗粒有足够的能量穿过壁面边界。Simcenter STAR-CCM+ 计算临界速度的方程如下：

$$v_{\text{crit}}=\sqrt{\frac{4}{5}\frac{E}{\pi \rho (1-{\nu }^2)}}$$

(3263)

其中 $E$ 为杨氏模量， $\rho$ 为密度， $\nu$ 为泊松比。

线性弹簧接触模型

该模型基于 Cundall 和 Strack 的成果 [720]。法向力和切向力 ${\mathbf{F}}_n$ 和 ${\mathbf{F}}_t$ 如 Eqn. (3251) 和 Eqn. (3254) 中所定义，但是参数 $K_n$ 、 $K_t$ 、 $N_n$ 和 $N_t$ 的定义如下：

• $K_n$ 为法向弹簧常数。
• $K_t$ 为切向弹簧常数。
• $N_n=2N_{n\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}}\sqrt{K_n{M}_{eq}}$ 其中：
  • $N_{n\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}}$ 为法向阻尼系数，如 Eqn. (3257) 中所示。
  • $M_{eq}$ 为等效颗粒质量，如 Eqn. (3260) 中所示。
• $N_t=2N_{t\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}}\sqrt{K_t{M}_{eq}}$ 其中， $N_{t\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}}$ 为切向阻尼系数，如 Eqn. (3258) 中所示。

当线性弹簧模型使用基于颗粒材料方法时，基于线性模型是线性化 Hertz 模型的假设估计弹簧刚度，其中最大法向接触力为：

其中：

• ${\delta }_{\mathit{max}\mathit{}}$ 为最大重叠。

• $E_{eq}$ 为 Eqn. (3261) 中定义的等效杨氏模量。

• $R_{eq}$ 为 Eqn. (3259) 中定义的等效半径。

要计算弹簧常数，假设：

由此得出法向弹簧常数 $K_n$ 为：

切向弹簧常数 $K_t$ 为：

其中， $G_{eq}$ 为等效剪切模量，如 Eqn. (3262) 中定义。

沃尔顿布劳恩迟滞接触模型

沃尔顿布劳恩迟滞塑料弹性接触系统具有以下关系：

加载接触时，以及：

卸载期间，其中：

$E$ 为材料杨氏模量， $\delta$ 为接触法向重叠， $\mathbf{\text{n}}$ 为接触法向矢量，屈服应力分数是一个用户可控模型属性，用于定义塑性变形的开始。 $E_f$ 是一个用户可控能量分数，用于定义卸载期间恢复的能量， ${\delta }_{\text{max}}$ 为接触加载期间达到的最大重叠。

接触循环

形成颗粒接触后，将在每个时间步追踪接触状态，如下所示：

• 如果 ${\mathbf{\text{v}}}_r\cdot \mathbf{\text{n}}\ge 0$ 且 $\delta >{\delta }_{\text{max}}$ ，其中， ${\mathbf{\text{v}}}_r$ 为相对表面速度，则接触视为加载。

  加载接触时，使用 $K_1$ 刚度计算力，并将 ${\delta }_{\text{max}}$ 更新为 $\delta$ 的值。

• 如果不加载接触，则为卸载 ( ${\mathbf{\text{v}}}_r\cdot \mathbf{\text{n}}<0$ ) 或重新加载 ( $\delta \le {\delta }_{\text{max}}$ )。卸载期间，使用 $K_2$ 刚度计算法向力，但不更新 ${\delta }_{\text{max}}$ 的值。
• 如果颗粒完全分离，则移除颗粒追踪信息并将后续接触视为新接触。

几何解释

加载/卸载循环的几何表示如下：