颗粒热和质量传递

颗粒质量平衡

材料颗粒的质量守恒方程由以下公式给出：

图 1. EQUATION_DISPLAY

\frac{{dm}_{p}}{dt} = {\dot{m}}_{p}

(3010)

其中， $m_{p}$ 是颗粒的质量， ${\dot{m}}_{p}$ 是质量传递到颗粒的速率。除非发生质量传递（如蒸发），否则后者为零。

如果双向耦合处于活动状态，则 ${\dot{m}}_{p}$ 会在所有粒子束间累积并应用于连续相连续性方程。请参见与连续相双向耦合。

液滴蒸发

准稳态的单组分液滴蒸发假设液滴内部均匀，由一种液体组分（例如化学组分）构成。

准稳态蒸发引起的液滴质量变化率 ${\dot{m}}_{p}$ 可以编写为 [706]：

图 2. EQUATION_DISPLAY

{\dot{m}}_{p} = {- g}^{*} A_{s} \ln (1 + B)

(3011)

其中， $B$ 是 Spalding 传递数， $g^{*}$ 是质量传递电导（确切地说，在限值 $B \to 0$ 以内）。

多组分液滴蒸发也假设液滴内部均匀，由多种液体组分（例如不同的化学组分）在理想情况下混合而成，会传递其中某些组分。这意味着它们可以蒸发。此外，液滴和气体中都可以有惰性组分。

对于多组分液滴蒸发，准稳态蒸发引起的每个传递组分的质量变化率 ${\dot{m}}_{p i}$ 可以编写为：

图 3. EQUATION_DISPLAY

{\dot{m}}_{p i} = {- ε_{i} g}^{*} A_{s} \ln (1 + B)

(3012)

其中，顺序编号 $i$ 是指混合组分中的每个组分， $ε_{i}$ 是分数质量传递率。分数质量传递率具有以下属性：

图 4. EQUATION_DISPLAY

\sum_{T}^{} ε_{i} = 1

(3013)

对传递的 T 个组分求和。实际上，传递数表示蒸发的驱动力，它是液体和蒸汽的热力学条件的函数。另一方面，电导表示几何和力学效应，如液滴的大小和速度。这些物理量的表达式取决于蒸发模式，三种模式如下：

超临界
热传递限制蒸发
蒸汽扩散限制蒸发

根据定义，电导为正。传递数可以为正或为负，后者暗指冷凝，即将冷凝视为“逆向蒸发”。


蒸发模式	单组分液滴	多组分液滴
超临界当液滴温度超过临界温度时，此模式处于活动状态。	$T_{p} \geq T_{c}$ 其中， $T_{p}$ 是颗粒温度， $T_{c}$ 是材料的临界温度。	$T_{p} \geq \max (T_{c, i})$ 其中， $T_{c, i}$ 是所传递组分的临界温度。
热传递限制蒸发当液滴表面上的蒸汽饱和且在临界点之下时，此模式处于活动状态。它强制在潜热传递和其他热传递模式之间达到平衡，使液滴温度保持在液滴表面的饱和温度。对于涉及其他热传递模式的情况，例如辐射和用户提供的源，可通过重新计算平衡其他热传递模式所需的蒸发率来实现这种平衡，从而确保液滴温度不会超过液滴表面的饱和温度。应注意的是，对于饱和温度是局部蒸气压力的函数的情况，饱和温度可能会因强蒸发而随着时间推移升高。	饱和蒸气的条件是蒸汽的表面平衡摩尔分数超过 1： $X_{v, s} = \frac{p_{s a t} (T_{p})}{p} \geq 1$ 其中， $p_{s a t} (T_{p})$ 是液滴表面温度下的蒸汽饱和压力。在这种条件下，传递数为： $B = \frac{c_{p} (T - T_{p})}{L}$ 其中， $L$ 是蒸发的潜热。	饱和蒸汽的第一种条件为：图 5. EQUATION_DISPLAY $\sum_{T}^{} X_{i s} \geq 1$ (3014) 其中， $X_{i s}$ 是液滴表面上所传递组分 i 的平衡摩尔分数。 $X_{i s}$ 根据 Raoult 定律进行评估： $X_{i s} = \frac{γ_{i} p_{s a t}^{i} (T_{p})}{p} X_{i p}$ 其中： $γ_{i}$ 为组分 $i$ 的活性系数。对于默认 Raoult 定律公式， $γ_{i}$ 的值设为 1。 $p_{s a t}^{i} (T_{p})$ 为在液滴表面温度下计算的组分饱和压力。 $X_{i p}$ 为液滴中的组分摩尔分数。当满足 Eqn. (3014) 中的条件时，挥发组分将按其质量分数成比例地蒸发，即： $ε_{i} = \frac{Y_{i p}}{\sum_{T}^{} Y_{i p}}$ 饱和蒸汽的第二种条件为： $\sum_{T}^{} Y_{i} = 1$ 其中， $Y_{i}$ 是“自由流”（即包含液滴的网格单元）中组分 i 的质量分数。传递数为： $B = \frac{c_{p} (T - T_{p})}{\sum_{T}^{} ε_{i} L_{i}}$ 其中， $L_{i}$ 是蒸发的组分潜热。
	最后，电导为： $g^{*} = \frac{k {Nu}_{p}}{{c_{p} D}_{p}}$ 其中， ${Nu}_{p}$ 是努赛尔数。
蒸汽扩散限制蒸发当液滴表面上的蒸汽在临界点之下且未饱和时（即，当另外两种模式均未处于活动状态时），此模式处于活动状态。于是，蒸发率取决于蒸汽可从液滴扩散出去的比率。	在这种条件下，传递数为 [704] 图 6. EQUATION_DISPLAY $B = \frac{Y_{v, s} - Y_{v}}{1 - Y_{v, s}}$ (3015) 其中， $Y_{v}$ 是“自由流”（即网格单元）中的蒸汽质量分数， $Y_{v, s}$ 是表面平衡蒸汽质量分数图 7. EQUATION_DISPLAY $Y_{v, s} = X_{v, s} \frac{W_{v}}{W_{s}}$ (3016) 分子量 $W_{v}$ 和 $W_{s}$ 分别是液滴表面上蒸汽和气体混合物的分子量。	根据 [704]，分数质量传递率为： $ε_{i} = \frac{Y_{i s} (1 + B) - Y_{i}}{B}$ 传递数为： $B = \frac{\sum_{T}^{} Y_{i s} - \sum_{T}^{} Y_{i}}{1 - \sum_{T}^{} Y_{i s}}$ 其中， $Y_{i}$ 是“自由流”（即包含液滴的网格单元）中组分 i 的质量分数。 $Y_{i s}$ 为其表面平衡质量分数： $Y_{i s} = X_{i s} \frac{W_{i}}{W_{s}}$
	最后，电导为：图 8. EQUATION_DISPLAY $g^{*} = \frac{ρ D_{v} S h_{p}}{D_{p}}$ (3017) 其中， $D_{v}$ 是蒸汽的分子扩散率， $S h_{p}$ 是舍伍德数。

舍伍德数

舍伍德数实际上是无量纲质量传递电导。

舍伍德数通过 Eqn. (3017) 与实际质量传递电导相关。与曳力系数和热传递系数一样，也必须使用相关性来定义舍伍德数。

Simcenter STAR-CCM+ 提供了 Ranz-Marshall 相关性来定义舍伍德数。

Ranz-Marshall 相关性

Ranz-Marshall 相关性 [687] 适用于 ${Re}_{p} ≃ 5000$ （最大值）的球形颗粒。其设定为：

图 9. EQUATION_DISPLAY

{S h}_{p} = 2 (1 + 0.3 {Re}_{p}^{1 / 2} {S c}^{1 / 3})

(3018)

其中， $Sc$ 是连续相的施密特数。仅当连续相为粘性时，此相关性才可用。

颗粒能量平衡

假设材料颗粒内部均匀，从热的角度来看，这意味着毕奥数较小，例如，大约小于 0.1。

与此假设一致的一般形式的能量守恒方程如下：

图 10. EQUATION_DISPLAY

m_{p} c_{p} \frac{d T_{p}}{d t} = Q_{t} + {Q_{r a d} + Q}_{s}

(3019)

此处， $Q_{t}$ 表示从连续相到颗粒的对流热传递率， $Q_{r a d}$ 表示辐射热传递率， $Q_{s}$ 表示其他热源。

对流热传递

对流热传递项设定为：

图 11. EQUATION_DISPLAY

Q_{t} = f h A_{s} (T - T_{p})

(3020)

其中， $A_{s}$ 是颗粒表面积，h 是热传递系数。因子 $f$ 是质量传递校正因子，对其使用 El Wakil 等人的 [657] 中的公式

图 12. EQUATION_DISPLAY

f = \frac{z}{e^{z} - 1}

(3021)

且

图 13. EQUATION_DISPLAY

z = \frac{- {\dot{m}}_{p} c_{p}}{h A_{s}}

(3022)

具有限值 ${\dot{m}}_{p} \to 0$ ， $f \to 1$ 。

到颗粒的热传递在能量方程中始终处于活动状态。也可以编写为：

图 14. EQUATION_DISPLAY

Q_{t} = \frac{{f m}_{p} c_{p} (T - T_{p})}{τ_{T}}

(3023)

其中， $τ_{T}$ 是热松弛时间尺度：

图 15. EQUATION_DISPLAY

τ_{T} = \frac{m_{p} c_{p}}{h A_{s}}

(3024)

如果双向耦合模型处于活动状态，则 $Q_{t}$ 会在所有粒子束间累积并应用于连续相能量方程。

热传递系数

与曳力系数一样，也必须使用相关性来定义热传递系数 h。

热传递系数通常从颗粒努赛尔数的角度给出：

图 16. EQUATION_DISPLAY

{Nu}_{p} \equiv \frac{h D_{p}}{k}

(3025)

其中， $k$ 是连续相的导热率。

Simcenter STAR-CCM+ 提供了 Ranz-Marshall 相关性来定义热传递系数。

Ranz-Marshall 相关性

Ranz-Marshall 相关性 [687] 适用于 ${Re}_{p} ≃ 5000$ （最大值）的球形颗粒。其设定为：

图 17. EQUATION_DISPLAY

{Nu}_{p} = 2 (1 + 0.3 {Re}_{p}^{1 / 2} {Pr}^{1 / 3})

(3026)

其中， $\Pr$ 是连续相的普朗特数。仅当连续相为粘性时，此相关性才可用。

辐射热传递

如果颗粒辐射模型处于活动状态，则辐射引起的热传递将包括在能量方程中。到颗粒的辐射热传递 $Q_{r a d}$ 定义如下：

图 18. EQUATION_DISPLAY

Q_{r a d} = \frac{A_{s}}{4} Q_{a, p} (G - 4 σ T_{p}^{4})

(3027)

其中， $A_{s}$ 是颗粒表面积， $Q_{a, p}$ 是颗粒的吸收效率， $G$ 是入射辐射热通量， $σ$ 是斯特藩-玻尔兹曼常数。

其他热传递源

能量方程中的其他项是用户自定义的能量源和潜热传递：

图 19. EQUATION_DISPLAY

Q_{s} = V_{p} q_{u} + {\dot{m}}_{p} L_{e f f}

(3028)

其中， $q_{u}$ 是用户能量源（单位体积）， $L_{e f f}$ 是所传递材料的有效潜热，它取决于质量传递模型和所传递材料的成分。用户能量源在能量方程中由用户自定义的能量源模型激活。

多相混合物蒸发

多相混合物蒸发模型的公式与多组分液滴蒸发模型相同。

REA 喷雾干燥蒸发

喷雾干燥是一种通过高温干燥气体快速除去多余水分，使用内含固体的液体流生产干燥粉末的方法。REA（反应工程法）模型最早由 Chen 和 Xie 引入 [654]。它是一种半经验模型，专门用于模拟注入到干燥器且内含固体的材料（例如牛奶液滴）的干燥过程。REA 模型通过关联瞬时表面蒸汽密度 $ρ_{v, s}$ 与其饱和值 $ρ_{v, s}^{sat}$ 控制脱水率：

图 20. EQUATION_DISPLAY

\frac{{d m}_{p}}{d t} = - h_{m} A_{p} (ρ_{v, s} - ρ_{v, b})

(3029)

图 21. EQUATION_DISPLAY

ρ_{v, s} = ψ ρ_{v, s}^{sat}

(3030)

其中：

$m_{p}$ 为颗粒的质量。
$h_{m}$ 为质量传递系数。
$ρ_{v, b}$ 为大量干燥气体中水蒸汽的部分密度。
$ψ$ 为速率减少因子

在干燥的初始阶段，颗粒完全浸入液体中，根据平衡假设，蒸汽密度等于其饱和值，得到 $ψ = 1$ 。因此，将在此条件下恢复纯液滴的蒸发公式。预期 $ψ$ 的值逐渐降低，因为阻碍水分去除的颗粒表面上的固体分数增加。

速率减小因子在 REA 中根据以下公式进行建模：

图 22. EQUATION_DISPLAY

ψ = exp (- \frac{Δ E_{v}}{R_{u} T_{s}})

(3031)

其中：

$Δ E_{v}$ 为表面活化能。
$T_{s}$ 为颗粒表面温度。
$R_{u}$ 为通用气体常数。

表面温度将在假设小毕奥数的情况下使用颗粒温度进行约值。

此公式假设蒸发是一个活化过程，必须克服颗粒表面上（例如）形成多孔结皮而导致的能垒。无论干燥阶段和干燥阻碍原因如何，表面活化能都表示提取水分的难度度量。

为了进一步扩展模型对变化干燥气体条件的适用性， $Δ E_{v}$ 使用其干燥气体平衡值进行标准化。平衡活化能定义如下

图 23. EQUATION_DISPLAY

Δ E_{v, b} = - R_{u} T_{b} \ln (ρ_{v, b} / ρ_{v, b}^{sat} (T_{b}))

(3032)

其中：

$T_{b}$ 为大量干燥气体的温度。
$ρ_{v, b}$ 为蒸汽密度。
$ρ_{v, b}^{sat}$ 为蒸汽密度饱和值。

标准化活化能 $g$ 仅为颗粒表面水分含量与其干燥气体平衡值的偏差 $(X_{s} - X_{e q})$ 的函数：

图 24. EQUATION_DISPLAY

g (X_{s} - X_{e q}) = \frac{Δ E_{v}}{Δ E_{v, b}}

(3033)

干燥基水分含量 $X$ 定义为可蒸发液体质量与固体组分质量之比（在这种情况下，不可蒸发液体视为固体）。

图 25. EQUATION_DISPLAY

X = \frac{m_{l}}{m_{p} - m_{l}}

(3034)

当颗粒表面最初液体饱和时，标准化活化能非常低（接近于零）。当颗粒的水分含量在干燥过程中减少时，此值将逐渐增加，该值在平衡时预期为一。标准化活化能分布视为单个材料的特性（或指纹），主要受材料的成分及其初始水分含量的影响。

Simcenter STAR-CCM+ 中当前实施适用于标准化活化能的 Chen-Lin 模型 [654]：

图 26. EQUATION_DISPLAY

\frac{{Δ E}_{v}}{{Δ E}_{v, b}} = a \cdot exp (b \cdot {[X_{s} - X_{e q}]}^{c})

(3035)

默认模型常数 $a$ = 0.998， $b$ = -1.405， $c$ = 0.93，它们与 20 wt% 的脱脂牛奶溶液有关。不同材料和初始成分的相关性可以从文献中查找，并借助用户自定义场函数实施。

平衡水分含量 $X_{e q}$ 为干燥气体的水活性 $a_{w}$ 的函数，根据正在干燥的材料的实验吸附等温线进行构造：

图 27. EQUATION_DISPLAY

X_{e q} = f (a_{w})

(3036)

水活性与食品材料的水分含量相关，定义为样本中水的分蒸气压与相同温度下纯水的分蒸气压之比。

Simcenter STAR-CCM+ 中当前实施了适用于平衡水分含量的 GAB (Guggenheim-Anderson-de Boer) 模型 [715]：

图 28. EQUATION_DISPLAY

X_{e q} (a_{w}, T) = \frac{C \cdot K \cdot X_{m o} \cdot a_{w}}{(1 - K \cdot a_{w}) (1 - K \cdot a_{w} + C \cdot K \cdot a_{w})}

(3037)

图 29. EQUATION_DISPLAY

C = C_{0} exp (\frac{Δ H_{1}}{R T})

(3038)

图 30. EQUATION_DISPLAY

K = K_{0} exp (\frac{Δ H_{2}}{R T})

(3039)

常数的默认值如下：

$C_{0}$ = 1.645 x 10^-3
$K_{0}$ = 5.71
$Δ H_{1}$ = 2.4831 x 10⁷ [J/kmol]
$Δ H_{2}$ = -5.118 x 10⁴ [J/kmol]
$X_{m o}$ = 0.06156

这些常数与 20 wt% 脱脂牛奶溶液有关。不同材料和初始成分的相关性可以从文献中查找，并借助用户自定义场函数实施。

质量传递系数 $h_{m}$ 可通过适当的舍伍德数相关性（如 Eqn. (3018) 中给定的 Ranz-Marshall 公式）进行评估。