本构关系

本构关系描述应力张量和用于 Boussinesq 近似的平均应变率之间的关系。

默认情况下，Boussinesq 近似表示线性本构关系。通过添加应变和涡旋张量的非线性函数，非线性本构关系可以考虑湍流各向异性。对于 Simcenter STAR-CCM+ 中的 SST (Menter) K-Omega 模型，提供了二次和三次本构关系。三次本构关系衍生自雷诺应力模型，因此表示显式代数雷诺应力模型 (EARSM)：


本构关系	公式
二次 [325]	图 1. EQUATION_DISPLAY $T_{RANS, N L} = - 2 μ_{t} 0.04645 (O ∙ S - S ∙ O)$ (1241)
三次 [322]、[327]	图 2. EQUATION_DISPLAY $T_{RANS, N L} = - ρ k [β_{3} (W^{} ∙ W^{} - \frac{1}{3} {I I}_{Ω} I) + β_{4} (S^{} ∙ W^{} - W^{} ∙ S^{}) + β_{6} (S^{} ∙ W^{} ∙ W^{} + W^{} ∙ W^{} ∙ S^{} - {I I}_{Ω} S^{*} - \frac{2}{3} I V I)]$ (1242)

其中：

$ρ$ 为密度。
$I$ 为单位张量。
$β_{3}$ 、 $β_{4}$ 和 $β_{6}$ 为模型系数。

S

为 Eqn. (1130) 给出的应变率张量，

S^{*}

由以下公式给出：

图 3. EQUATION_DISPLAY

S^{*} = \frac{1}{β^{*} ω} S

(1243)

其中， $β^{*}$ 在 K-Omega 模型 — 模型系数中给出。

W

为 Eqn. (1132) 给出的涡旋张量，

W^{*}

由以下公式给出：

图 4. EQUATION_DISPLAY

W^{*} = \frac{1}{β^{*} ω} W

(1244)

且：

图 5. EQUATION_DISPLAY

O = \frac{W}{\sqrt{(S - W) (S - W)}}

(1245)

图 6. EQUATION_DISPLAY

{I I}_{Ω} = W^{*} {: W^{*}}^{T}

(1246)

图 7. EQUATION_DISPLAY

I V = S^{*} ∙ W^{*} ∙ W^{*}

(1247)

对于动量方程 Eqn. (665)，应力张量 $T_{RANS}$ 定义如下：

图 8. EQUATION_DISPLAY

T_{RANS} = T_{RANS, L} + T_{RANS, N L}

(1248)

其中， $T_{RANS, L}$ 由 Eqn. (1147) 给出。

湍流粘度关系

应用线性或二次本构关系时，SST (Menter) K-Omega 模型的湍流粘度由 Eqn. (1207) 给出。对于三次本构关系， $μ_{t}$ 计算如下：

图 9. EQUATION_DISPLAY

μ_{t} = \frac{C_{μ}}{β^{*}} ρ k T

(1249)

系数 $C_{μ}$ 通过以下公式获得：

图 10. EQUATION_DISPLAY

C_{μ} = - \frac{1}{2} (β_{1} + {I I}_{Ω} β_{6})

(1250)

其中， $β_{1}$ 和 $β_{6}$ 为模型系数。

模型系数

系数 $β_{i}$ 由以下公式给出：

图 11. EQUATION_DISPLAY

β_{1} = - \frac{N (2 N^{2} - 7 {I I}_{Ω})}{Q}

(1251)

图 12. EQUATION_DISPLAY

β_{3} = - \frac{12 I V}{N Q}

(1252)

图 13. EQUATION_DISPLAY

β_{4} = - \frac{2 (N^{2} - 2 {I I}_{Ω})}{Q}

(1253)

图 14. EQUATION_DISPLAY

β_{6} = - \frac{6 N}{Q}

(1254)

图 15. EQUATION_DISPLAY

Q = \frac{5}{6} (N^{2} - 2 {I I}_{Ω}) (2 N^{2} - {I I}_{Ω})

(1255)

其中， $N$ 由以下公式给出：

图 16. EQUATION_DISPLAY

N = {\begin{matrix} \frac{A_{3}^{'}}{3} + \sqrt[3]{P_{1} + \sqrt{P_{2}}} + s i g n (P_{1} - \sqrt{P_{2}}) \sqrt[3]{| P_{1} - \sqrt{P_{2}} |} & f o r P_{2} \geq 0 \\ \frac{A_{3}^{'}}{3} + 2 \sqrt[6]{P_{1}^{2} - P_{2}} \cos [\frac{1}{3} \cos^{-1} (\frac{P_{1}}{\sqrt{P_{1}^{2} - P_{2}}})] & f o r P_{2} < 0 \end{matrix}

(1256)

其中：

图 17. EQUATION_DISPLAY

P_{1} = A_{3}^{'} (\frac{{A_{3}^{'}}^{2}}{27} + \frac{9}{20} {I I}_{S} - \frac{2}{3} {I I}_{Ω})

(1257)

图 18. EQUATION_DISPLAY

P_{2} = P_{1}^{2} - {(\frac{{A_{3}^{'}}^{2}}{9} + \frac{9}{10} {I I}_{S} - \frac{2}{3} {I I}_{Ω})}^{3}

(1258)

图 19. EQUATION_DISPLAY

A_{3}^{'} = \frac{9}{5} + \frac{9}{4} 2.2 \max (1 + β_{1}^{e q} {I I}_{S}, 0)

(1259)

图 20. EQUATION_DISPLAY

β_{1}^{e q} = - \frac{6}{5} (\frac{\frac{81}{20}}{{(\frac{81}{20})}^{2} - 2 {I I}_{Ω}})

(1260)

图 21. EQUATION_DISPLAY

{I I}_{S} = S^{*} {: S^{*}}^{T}

(1261)