超弹性材料

超弹性材料模型介绍了材料的行为，它们可以在负载下发生较大的弹性变形，在移除负载时恢复到其原始形状。对于超弹性材料（如橡胶），应变应力关系呈非线性状态。

应变能势能

超弹性材料的应变应力关系可以采用应变能密度函数来表示，该函数是一个帧不变势，其定义如下：

图 1. EQUATION_DISPLAY

Ψ (F) = Ψ (C) = Ψ (E) = Ψ (U)

(4528)

其中， $F$ 为变形梯度 (Eqn. (4428))， $C$ 为右柯西格林应变 (Eqn. (4446))， $E$ 为格林-拉格朗日应变 (Eqn. (4445))， $U$ 为右延伸张量 (Eqn. (4429))。

超弹性材料的常规应变应力关系可以写为：

图 2. EQUATION_DISPLAY

S = 2 \frac{\partial Ψ}{\partial C}

(4529)

其中， $S$ 为第二皮奥拉-基尔霍夫应力 (Eqn. (4435))。

应变能势能的二阶导数将材料正切定义为四阶张量：

图 3. EQUATION_DISPLAY

ℂ = 2 \frac{\partial S}{\partial C} = 4 \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial C \partial C}

(4530)

对于不可压缩和几乎不可压缩的材料，应变能势能可以分成偏量部分和体积部分：

图 4. EQUATION_DISPLAY

Ψ = Ψ^{d} (C^{d}) + Ψ^{v} (J)

(4531)

体积部分仅取决于体积比 $J = d e t (F)$ 。可以采用 $C^{d}$ 的不变量 $I_{1}^{d}, I_{2}^{d}$ （请参见张量不变量），或采用已修正右延伸 $U^{d}$ 的主延伸 $λ_{k}^{d}; k = 1, 2, 3$ (Eqn. (4448)) 来表示偏量部分。

对热膨胀建模时，Simcenter STAR-CCM+ 会将体积比 $J$ 替换为弹性体积比 $J_{e}$ ：

图 5. EQUATION_DISPLAY

J_{e} = \frac{J}{J_{T}} = \frac{J}{{(1 + ε_{T})}^{3}}

(4532)

其中， $ε_{T}$ 为各向同性热应变（请参见 Eqn. (4452)）。

Simcenter STAR-CCM+ 提供 Neo-Hookean、Mooney-Rivlin 和 Ogden 模型，这些模型可提供应变能势能的多项式表达式。多项式项的系数通过将多项式曲线拟合到材料测试数据来确定。Simcenter STAR-CCM+ 还提供了校准工具，该工具可根据已知的变形模式（单轴、双轴、剪切和体积）计算任何超弹性体模型的系数。有关更多信息，请参见超弹性材料校准。

Neo-Hookean 模型

Neo-Hookean 材料模型 [868] 是最简单的超弹性模型，是较大变形的胡克定律的扩展。此模型适用于可压缩或几乎不可压缩的材料，并且应该用于在没有更具体的材料数据的情况下近似材料。

在这种情况下，应变能势能由以下公式给出：

图 6. EQUATION_DISPLAY

Ψ = c_{10} (I_{1}^{d} - 3) + \frac{k_{b}}{2} {(J - 1)}^{2}

(4533)

其中， $I_{1}^{d}$ 为 $C^{d}$ 的第一个不变量 (Eqn. (5215))， $k_{b}$ 为初始体积模量， $c_{10}$ 为：

图 7. EQUATION_DISPLAY

c_{10} = \frac{μ}{2} = \frac{E}{4 (1 + ν)}

(4534)

其中， $μ$ 为初始剪切模量。

此材料模型对于 $< 20 %$ 的应变通常是精确的。

Mooney-Rivlin 模型

Mooney-Rivlin 材料模型 [868] 是常规多项式超弹性模型的一个特例，具有应变能势能：

图 8. EQUATION_DISPLAY

Ψ = \sum_{i, j = 0}^{N} [c_{i j} {(I_{1}^{d} - 3)}^{i} {(I_{2}^{d} - 3)}^{j}] + \frac{k_{b}}{2} {(J - 1)}^{2}

(4535)

其中， $I_{1}^{d}$ 和 $I_{2}^{d}$ 为 $C^{d}$ 的第一个和第二个不变量 (Eqn. (5215) 和 Eqn. (5216))， $k_{b}$ 为初始体积模量。系数 $c_{i j}$ 可通过将模型曲线拟合到实验应力应变曲线来获取。

Simcenter STAR-CCM+ 提供 2 项、5 项和 9 项 Mooney-Rivlin 模型。可以通过材料的应力应变曲线的实验测量来评估最佳项数。通常，2 项模型适用于没有拐点的应变应力曲线。5 项模型适用于具有一个拐点的应变应力曲线。9 项模型适用于具有两个拐点的应变应力曲线。

Mooney-Rivlin 2 项模型: 2 项模型是 Neo-Hookean 模型的线性扩展，适用于具有双轴应力状态的材料。应变能势能为：
图 9. EQUATION_DISPLAY

$Ψ = c_{10} (I_{1}^{d} - 3) + c_{01} (I_{2}^{d} - 3) + \frac{k_{b}}{2} {(J - 1)}^{2}$
(4536)

对于较小应变， $μ = 2 (c_{10} + c_{01})$ 。
Mooney-Rivlin 5 项模型: 5 项模型的应变能势能为：
图 10. EQUATION_DISPLAY

$\begin{matrix} Ψ = & c_{10} (I_{1}^{d} - 3) + c_{01} (I_{2}^{d} - 3) + \\ + c_{11} (I_{1}^{d} - 3) (I_{2}^{d} - 3) + \\ + c_{20} {(I_{1}^{d} - 3)}^{2} + c_{02} {(I_{2}^{d} - 3)}^{2} + \frac{k_{b}}{2} {(J - 1)}^{2} \end{matrix}$
(4537)
Mooney-Rivlin 9 项模型: 9 项模型的应变能势能为：
图 11. EQUATION_DISPLAY

$\begin{matrix} Ψ = & c_{10} (I_{1}^{d} - 3) + c_{01} (I_{2}^{d} - 3) + \\ + c_{11} (I_{1}^{d} - 3) (I_{2}^{d} - 3) + \\ + c_{20} {(I_{1}^{d} - 3)}^{2} + c_{02} {(I_{2}^{d} - 3)}^{2} + \\ + c_{21} {(I_{1}^{d} - 3)}^{2} (I_{2}^{d} - 3) + \\ + c_{12} (I_{1}^{d} - 3) {(I_{2}^{d} - 3)}^{2} + \\ + c_{30} {(I_{1}^{d} - 3)}^{3} + c_{03} {(I_{2}^{d} - 3)}^{3} + \frac{k_{b}}{2} {(J - 1)}^{2} \end{matrix}$
(4538)

Ogden 模型

Ogden 材料模型 [868] 通常用于具有较大应变的材料。应变势能采用主延伸 $λ_{1}^{d} \leq λ_{2}^{d} \leq λ_{3}^{d}$ 形式编写，它是已修正右延伸张量 $U^{d}$ 的特征值（请参见 Eqn. (5210)）：

图 12. EQUATION_DISPLAY

Ψ = \sum_{i = 1}^{N} Q_{i} (λ_{1}^{d}, λ_{2}^{d}, λ_{3}^{d}) + \sum_{i = 1}^{N} \frac{k_{i}}{2} {(J - 1)}^{2 i}

(4539)

且：

图 13. EQUATION_DISPLAY

Q_{i} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{μ_{i}}{α_{i}} [{(λ_{k}^{d})}^{α_{i}} - 1]

(4540)

其中， $λ_{k}^{d}$ 为 $U^{d}$ 的 $k^{t h}$ 主延伸， $μ$ 为初始经典剪切模量， $k_{i}$ 为 $i^{t h}$ 体积模量， $μ_{i}$ 为 $i^{t h}$ 恒定剪切模量， $α_{i}$ 为无量纲系数。

对于较小应变：

图 14. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} 2 μ = \sum_{i = 1}^{N} μ_{i} α_{i}; & μ_{i} α_{i} > 0 \end{matrix}

(4541)

Simcenter STAR-CCM+ 将项数限制为 6。与 Mooney-Rivlin 材料模型相同，Ogden 模型的系数可通过模型与实验数据的曲线拟合找到。

超弹性材料校准

Simcenter STAR-CCM+ 提供了校准工具，该工具可通过将模型曲线拟合到实验数据来计算任何超弹性体模型的系数。

对于计算，Simcenter STAR-CCM+ 假定材料根据以下某种变形模式发生变形：单轴、双轴、剪切或体积。对于单轴、双轴和剪切模式，Simcenter STAR-CCM+ 假定材料不可压缩（即，材料体积保持不变）。

在校准工具中，以表格形式提供实验数据。第一列包含测量的变形，即应变或体积比，第二列包含测量的标称应力。每种模式的输入类型和变形张量汇总如下。

单轴变形

输入类型：应变与单轴应力。

对于单轴变形，变形张量为：

图 15. EQUATION_DISPLAY

F = [\begin{matrix} λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 / \sqrt{λ} & 0 \\ 0 & 0 & 1 / \sqrt{λ} \end{matrix}]

(4542)

其中， $λ = 1 + ϵ$ 为主延伸， $ϵ$ 表示实验单轴应变。

双轴变形

输入类型：应变与双轴应力。

对于双轴变形，变形张量为：

图 16. EQUATION_DISPLAY

F = [\begin{matrix} λ & 0 & 0 \\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 / λ^{2} \end{matrix}]

(4543)

其中， $λ = 1 + ϵ$ 为主延伸， $ϵ$ 表示实验双轴应变。

剪切变形

输入类型：剪切应变与剪切应力。

对于剪切变形，变形张量为：

图 17. EQUATION_DISPLAY

F = [\begin{matrix} λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 / λ \end{matrix}]

(4544)

其中， $λ = 1 + ϵ$ 为主延伸， $ϵ$ 表示实验剪切应变。

体积变形

输入类型：体积比与体积应力。

对于体积变形，变形张量为：

图 18. EQUATION_DISPLAY

F = [\begin{matrix} λ & 0 & 0 \\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix}]

(4545)

其中， $λ = J^{1 / 3}$ ， $J$ 表示实验体积比。