控制方程

固体力学研究指定的负载和约束下的固体连续体位移。控制固体力学的基本定律与描述流体力学的定律（即质量、线性动量、角动量和能量的守恒）相同。

守恒定律 Eqn. (654)、Eqn. (655) 和 Eqn. (658) 以欧拉形式编写。在固体力学中，使用拉格朗日法表示守恒定律更加自然，在拉格朗日方法中，观察者随着固体材料沿空间和时间的移动进行观察。

质量守恒

在拉格朗日方法中，质量始终守恒。包含在任何变形体积中的质量与最初包含在未变形体积中的质量相同：

图 1. EQUATION_DISPLAY

M = \int_{V} ρ (t) d V = \int_{V_{0}} ρ_{0} d V = c o n s t

(4456)

由于体积中质量守恒，体积变化导致密度变化。实际上，这会导致 Simcenter STAR-CCM+ 中指定的材料密度产生略微不同的解释。指定的密度是参考温度下未变形配置中的材料密度。如果 $M_{0}$ 是密度为 $ρ_{0}$ 的体积 $V_{0}$ 中包含的质量，则变形配置中的密度为：

图 2. EQUATION_DISPLAY

ρ (V, T) = \frac{M_{0}}{V (T)} = \frac{\int_{V_{0}} ρ_{0} d V}{\int_{V (T)} d V}

(4457)

其中， $T$ 为当前的温度。

例如，对于线性各向同性弹性体材料（请参见 Eqn. (4511)）和无限小应变 $ε$ (Eqn. (4444))，相对于变形体积的体积变化为：

图 3. EQUATION_DISPLAY

\frac{V - V_{0}}{V} = ε = α (T - T_{r e f}) + \frac{σ_{m}}{K}

(4458)

其中， $K$ 为体积模量 (Eqn. (4512))， $σ_{m}$ 为平均应力 (Eqn. (4438))。密度为：

图 4. EQUATION_DISPLAY

ρ (σ_{m}, T) = ρ_{0} (1 - α (T - T_{r e f}) - \frac{σ_{m}}{K})

(4459)

其中， $T_{r e f}$ 为参考温度。

固体运动受表示连续体线性动量守恒的柯西平衡方程控制。在拉格朗日方法中，Eqn. (655) 中的对流项消失，速度的时间导数减小到位移的二阶偏导数：

图 5. EQUATION_DISPLAY

ρ \ddot{u} - \nabla\cdot σ - b = 0

(4460)

其中：

当固体结构具有预先指定规律的旋转和平移时，Simcenter STAR-CCM+ 还会考虑因惯性力而导致的弹性变形。有关详细信息，请参见网格运动的守恒方程。

Eqn. (4460) 受狄利克雷和诺伊曼边界条件（在固体力学中称为约束和负载）约束：

图 6. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} u = \bar{u} & Dirichlet b.c. (constraint) \\ τ = σ \cdot n = \bar{τ} & Neumann b.c. (load) \end{array}

(4461)

其中， $\bar{u}$ 为表面 $Γ_{u}$ 上指定的位移， $\bar{τ}$ 为具有表面法向 $n$ 的表面 $Γ_{τ}$ 上的指定拉力矢量。在 Simcenter STAR-CCM+ 中，还可以在点处施加约束和力。

平衡问题的备选公式是虚功原理，它特别适用于有限元方法的离散化。要衍生虚功原理，需要将 Eqn. (4460) 乘以测试函数 $δ u$ ，并对空间域积分：

图 7. EQUATION_DISPLAY

δ Π = \int_{V} δ u \cdot (ρ \ddot{u} - \nabla\cdot σ - b) d V = 0

(4462)

此公式使用虚拟位移 $δ u$ 作为测试函数，该位移必须满足狄利克雷边界条件。在分部积分并引入诺伊曼边界条件后，Eqn. (4462) 可简化为：

图 8. EQUATION_DISPLAY

δ Π = \int_{V} δ u \cdot ρ \ddot{u} d V - \int_{V} δ u \cdot b d V + \int_{V} δ e : σ d V - \int_{Γ_{τ}} δ u \cdot \bar{τ} d Γ = 0

(4463)

其中，

δ e : σ

为应力所致的单位体积的应变能变化。 Eqn. (4463) 假设以下边界条件：

表面 $Γ_{u}$ 处的狄利克雷边界条件（即指定的位移） $δ u = 0$ 。
表面 $Γ_{τ}$ 处的诺伊曼边界条件（即指定的表面拉力） $τ = \bar{τ}$ 。为简单起见，Eqn. (4463) 仅包括表面边界条件。点处的诺伊曼边界条件包括在离散方程 Eqn. (4556) 中。
剩余表面 $Γ_{r} = Γ - Γ_{u} - Γ_{τ}$ 没有负载和约束。

微分方程 Eqn. (4460) 称为强型。虚功原理 Eqn. (4463) 称为弱型，因为在积分（或弱）意义上满足这些方程。

Eqn. (4463) 写入当前配置中。大多数固体力学公式使用总拉格朗日方法，其中所有物理量都在初始配置中指定。在无限小应变近似中，初始和当前配置之间没有差别。

应力引发的应变能变化 $δ e : σ$ 可以在初始配置中表示为 $δ E : S$ ，其中， $δ E$ 为格林-拉格朗日应变的变化， $S$ 为第二皮奥拉-基尔霍夫应力（请参见 Eqn. (4453)）。

在初始配置中，Eqn. (4463) 变为：

图 9. EQUATION_DISPLAY

δ Π = \int_{V_{0}} δ u \cdot ρ_{0} \ddot{u} d V - \int_{V_{0}} δ u \cdot b d V + \int_{V_{0}} δ E : S d V - \int_{Γ_{τ}} δ u \cdot \bar{τ} d Γ = 0

(4464)

其中：

Eqn. (4464) 满足线性和角动量守恒。拉格朗日方法还确保质量守恒。